Boyer-Lindquist vs Kerr-Schild

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Yukterez
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Boyer-Lindquist vs Kerr-Schild

Beitragvon Yukterez » Do 19. Okt 2017, 07:19

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Gemeinsame Komponenten:

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Boyer-Lindquist Koordinaten:

Diese Koordinaten stellen, ähnlich wie Schwarzschild Koordinaten (auf die sie sich mit a=0 reduzieren), das Geschehen im Bezugssystem eines feldfreien Beobachters dar. Die Zeitdilatation wird am äußeren Horizont unendlich, alle einfallenden Objekte frieren dort ein und korotieren mit stehengebliebenen Uhren unendlich oft mit dem schwarzen Loch mit.

Sortierung:

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Metrischer Tensor:

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statisches Limit:

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Kartesische Einbettung:

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Kerr-Schild Koordinaten:

Mit der geglätteten Zeitachse legen polar einfallende Lichtrahlen pro GM/c³ Koordinatenzeit ein GM/c² Koordinatenstrecke zurück. Wie in Finkelstein Koordinaten (mit a=0 reduzieren sich die Kerr-Schild Koordinaten auf erweiterte Eddington-Finkelstein Koordinaten) kann die Bahn so über die Horizonte hinaus bis zum Ende der Weltlinie am Cauchyhorizont und mit geeigneten Startbedingungen auch durch die Ringsingularität hindurch bis zum Austritt im Antiversum bis in die Unendlichkeit geplottet werden.

Sortierung:

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Metrischer Tensor:

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statisches Limit:

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Kartesische Einbettung:

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Übersetzung:

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Gemeinsamkeiten:

Photonenorbits und andere Bahnen mit kontantem r stellen sich in beiden Koordinatenssystemen gleich dar (wenn dr=0 ergibt sich dt̄=dt und dφ̄=dФ). Die Polwinkel von drehimpulsfreien und aus dem Unendlichen einfallenden Freifallern (Raindrops) bleiben ebenfalls in beiden Koordinatensystemen konstant, allerdings nur in der pseudosphärischen r,θ,φ-Darstellung und nicht in der kartesischen x,y,z-Einbettung (siehe hier für einen Vergleich r,θ,φ vs x,y,z).
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Farbcode, Horizonte:

In den folgenden Beispielen werden Freifaller (lokale radiale Fallgeschwindigkeit gleich der negativen Fluchtgeschwindigkeit, Epot=-Ekin, L=0, θ=konstant) und Photonen (lokale Radialgeschwindigkeit konstant c) aus verschiedenen Richtungen direkt auf ein schwarzes Loch (a=0.998) geschossen, und deren Bahnanimationen und Weltlinienplots in beiden Systemen verglichen. Die Rotation des schwarzen Lochs läuft auf der x,y-Projektion (rechts) gegen den Uhrzeigersinn. Farbcode wie hier:

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Animationsdisplay:

  • 1. Spalte: τ propr = Eigenzeit, t coord = Koordinatenzeit eines feldfreien Beobachters, т coord = finkelsteinartige Kerr-Schild Koordinatenzeit, affineP = affiner Parameter (bei Photonen anstatt der Eigenzeit), γ total = insgesamte Zeitdilatation relativ zum feldfreien Beobachter (innerhalb des Ereignishorizonts ohne physikalische Bedeutung), ς gravt = gravitative Zeitdilatation, Lapse Funktion (innerhalb von r+ wie γ), r coord = r Koordinate, φ longd = Azimutwinkel, je nach Koordinaten entweder φ̄ oder Ф, θ lattd = pseudosphärischer Polarwinkel

  • 2. Spalte: M irred = irreduzible Masse, Ř cic.φ = azimutaler Gyrationsradius, Σ crc.θ = polarer Gyrationsradius, E kinet = kinetische Energie relativ zum auf fixer r-Koordinate schwebenden ZAMO, E poten = potentielle Energie, E total = Gesamtenergie des Testpartikels, CarterQ = Carter Konstante, a SpinP = Spinparameter

  • 3. Spalte: L axial = azimutaler Drehimpuls, L polar = polarer Drehimpuls, α dv/dτ = Beschleunigung im System des Testpartikels, R carts = kartesischer Radius, xyz carts = kartesische Koordinaten, s dstnc = aufintegrierte Strecke

  • 4. Spalte: ω fdrag = Frame Dragging Winkelgeschwindigkeit dφ/dt, v fdrag = Geschwindigkeit mit der ein Partikel vor Ort retrograd fliegen müsste um relativ zu einem feldfreien Beobachter stationär zu bleiben bzw. Korotationsgeschwindigkeit eines lokal drehimpulsfreien ZAMO (innerhalb der Ergosphäre größer als c), Ω fdrag = auf kartesische Hintergrundkoordinaten projizierte Frame Dragging Geschwindigkeit, v propr = Proper Velocity (Rapidität), v obsvd = beobachtete Geschwindigkeit, v escape = Fluchtgeschwindigkeit (innerhalb von r+ ohne direkte physikalische Bedeutung), v delay = beobachtete Geschwindigkeit abzüglich der Frame Dragging Komponente, v local = lokale Geschwindigkeit relativ zu einem ZAMO
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Beispiele (beide Koordinatensysteme in kartesischer Projektion): siehe unten
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Plunge, θ=0°

Beitragvon Yukterez » Do 22. Feb 2018, 02:36

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Freifaller, θ=0°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Freifaller, θ=0°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Der Freifaller wird zurückbeschleunigt und landet an der Spitze der inneren Ergosphäre, wo er wegen infiniter Blauverschiebung der von außen auf ihn einregnenden Signale und der richtungsabhängigen Undurchlässigkeit der Raumzeit doppelt termininert wird.
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Photon, θ0=0°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Photon, θ0=0°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Das Photon fliegt durch die Ringsingularität und tritt im negativen Antiraum wieder aus.
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Plunge, θ=10°

Beitragvon Yukterez » Do 22. Feb 2018, 02:37

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Freifaller, θ=10°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Freifaller, θ=10°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Der Testpartikel wird zurückbeschleunigt und verendet mit stehenbleibender Uhr um die Spitze der inneren Ergosphäre kreiselnd an infiniter Blauverschiebung.
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Photon, θ0=10°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Photon, θ0=10°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Das Photon fliegt durch die Ringsingularität und landet im Antiversum.
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Plunge, θ=45°

Beitragvon Yukterez » Do 22. Feb 2018, 02:37

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Freifaller, θ=45°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Freifaller, θ=45°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Der Partikel wird bei z=0 zurückgeschleudert und endet am inneren Cauchyhorizont.
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Photon, θ0=45°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Photon, θ0=45°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Das Photon fliegt durch die Ringsingularität und tritt im Aniversum wieder aus.
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Plunge, θ=80°

Beitragvon Yukterez » Do 22. Feb 2018, 02:37

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Freifaller, θ=80°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Freifaller, θ=80°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Der Testpartikel wird von der Ringsingularität zurückreflektiert und endet mit stehengebliebener Uhr auf einer Kreisbahn die von innen auf den Cauchy-Horizont zukonvergiert.
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Photon, θ0=80°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Photon, θ0=80°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Repulsion und hochspiralieren in der inneren Ergospäre.
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Plunge, θ=90°

Beitragvon Yukterez » Do 22. Feb 2018, 02:38

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Freifaller, θ=90°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Freifaller, θ=90°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Der Freifaller knallt auf die Ringsingularität, wo seine Weltlinie endet.
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Photon, θ0=90°, BL - Boyer-Lindquist, Animationsparameter Koordinatenzeit:

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Photon, θ0=90°, KS - Selbe Situation in horizontüberschreitenden Kerr-Schild Koordinaten:

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Das Photon knallt auf die Ringsingularität.
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Alle Polwinkel

Beitragvon Yukterez » Fr 16. Mär 2018, 01:41

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Oben: bahndrehimpulsfreier und aus der Unendlichkeit einfallender Freifaller (θ bleibt entlang der Strecke konstant); unten: von r=5 einfallende bahndrehimpulsfreie Photonen (θ ändert sich am Weg), beide in Kerr-Schild Koordinaten. Animationsparameter θ=0..90°:

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Ringsingularität

Beitragvon Yukterez » Di 27. Mär 2018, 13:04

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Cartoon-Image der Nord- und Süd-Passage durch die Ringsingularität in den negativen Raum und wieder zurück:

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Text folgt; bis dahin siehe Tahvildar, The Tiger and the Magic Hoop, Hamilton, Rennie & Maimon, Madore
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Cauchy-Horizont, Carter Zeitmaschine

Beitragvon Yukterez » Di 27. Mär 2018, 13:11

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Penrose-Diagramm des Kerr-Interiors:

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Vergleiche auch Andrew Hamiltons Diagramme.
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Oberes Doppelbild: Geodäte eines bahndrehimpulsbehafteten Testpartikels der am parallelen Cauchyhorizont eine unendliche Blauverschiebung von außen erfährt. Unteres Doppelbild: Bahn eines Testpartikels bei gleicher lokaler Gesamtgeschwindigkeit, aber rein radialem Impuls; dieser Partikel tritt wie in den obersten Beispielen ungehindert durch den Cauchyhorizont, und erleidet nach der Repulsion eine unendliche Blauverschiebung am inneren Antihorizont:

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Animationsparameter: Finkelsteinzeit. γ total steht in dieser Animation nicht für die insgesamte Zeitdilatation relativ zu einem externen und relativ zu den Fixsternen stationären Beobachter, sondern zu eben dieser Finkelsteinzeit. Auf konstantem r entspricht diese der Blauverschiebung der von außen empfangenen Signale. Die Animationen enden eine kurze Eigenzeitspanne bevor die Blauverschiebung unendlich wird.

Ein unzerstörbarer Testpartikel würde je nach Bahn entweder nach dem Überqueren des parallelen Cauchyhorizonts, oder nach dem Überqueren des Cauchy Antihorizonts bei voranschreitender Eigenzeit eine rückwärtsschreitende Koordinatenzeit des Universums messen. Zwei Beobachter die sich nach dem sie auf unterschiedliche Weise innerhalb des inneren Horizonts gelandet sind dort begegnen nehmen sich gegenseitig in der Zeit zurücklaufend wahr, wobei der durch den parallelen Cauchyhorizont gefallene Beobachter auch die Außenzeit des Universum rückwärts laufend misst.

Für einen durch den regulären Cauchyhorizont gefallenen Beobachter kehrt sich die Richtung der Außenzeit erst beim zweiten Überschreiten des inneren Horizonts, also beim Austritt aus dem weißen Loch, um. Da die Koordinatenzeit des Universums im Augenblick des Überschreitens unendlich weit in die Zukunft und wieder zurück läuft würde ein zerstörbarer Testpartikel während des Überschreitens von der in seinem System blauverschobenen Strahlung die dabei seinen Pfad kreuzt zerstrahlt werden. Ein mögliches Kausalitätsproblem das sich beim unbeschadeten Überqueren eines solchen Zeitumkehrportals ergeben könnten wird im unteren Absatz auf abstrahierte Weise illustriert.
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Cartoon-Image der Carter Time Machine; t=Koordinatenzeit, τ=Eigenzeit des Reisenden:

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oberes Doppelbild: unsabotiert, unteres Doppelbild: induzierte Kausalitätsverletzung durch Aufstellen eines Hindernisses auf einer Seite des Portals

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Der obere Teil der Doppelbilder zeigt die Reise aus dem Bezugssystem des Reisenden, und der untere Teil aus dem eines Beobachters auf konstantem r.
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Inhaltsverzeichnis: Intro || || 10° || 45° || 80° || 90° || 0°..90°
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Dieser Beitrag ist ein Unterkapitel von [blank]http://kerr.yukterez.net[/blank], wo sich auch der Code für den Simulator und eine Liste mit weiterführender Literatur und Referenzen befindet. Abgespeckter Code mit {r,τ} vs r{,t} Plot: klick
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Zur mathematischen, physikalischen und unphysikalischen Bedeutung der Passage durch die Ringsingularität siehe Roy Black, Vortrag: Spinning Kerr Holes Ⅰ, 26.12 und Ⅱ, 48.5.
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