Relativistischer Raytracer

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Do 29. Mär 2018, 14:12

Kerr Newman || Kerr || Reissner Nordström || Schwarzschild || Geodäten || Paraboloid || Gravitationslinsen || Projektionen || Kartographie Bild

Das ist die deutschsprachige Version. Bild

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Last update: 30.7.2019
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Inhalt: Codes || Leinwand || Milchstraße || Landschaft || Aberration || Nackte Singularitäten || Akkretionsscheibe || Anhang
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ungelinste (oben) und verzerrte Ansicht (unten) eines Kerr Newman SL mit Akkretionsscheibe (hier die geometrische Verzerrung ohne Rotverschiebung), FOV=90°×45°: Bild

Codes (Syntax: Wolfram) Bild

☑ Aktuelle Version (all in one): Output der verzerrten Scheibengeometrie mit und ohne Kreisgeschwindigkeit derselben, Frequenzverschiebung, Hintergrund- und Horizontverzerrung. Als Layer für die umspannende Kugelschale werden Bilder im Plattkartenformat verwendet, andere Formate müssen zuerst in dieses Format transformiert werden. Für die Aberration kann die Lokalgeschwindigkeit des Beobachters eingegeben werden. Deren Betrag muss kleiner als 1 sein, und wird relativ zum ZAMO bemessen. Ein negatives vr steht für eine radiale Bewegung auf das schwarze Loch zu und ein positives von ihm weg, ein positives vφ für eine prograde und ein negatives für eine retrograde, und ein positives vθ im Bereich φ=-π/2..+π/2 für eine Bewegung in Richtung Südpol, und ein negatives in Richtung Nordpol (und umgekehrt in der gegenüberliegenden Kugelschalenhälfte). Falls in gewissen Konfigurationen (insbesondere mit dem Beobachter sehr nahe am Horizont) Artefakte auftreten kann R0 verringert und der Betrag von tmax erhöht werden.

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* > raytracing.yukterez.net | 07.04.2018 - 29.07.2019 | Version 8A | Simon Tyran, Vienna *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"];  
Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];
                                       
kernels = 6;                                                          (* Parallelisierung *)
grain   = 5;                            (* Subparallelisierung auf kernels*grain Streifen *)
rsp     = "Nearest";                                                        (* Resampling *)

breite  = 120;                                               (* Zielabmessungen in Pixeln *)
hoehe   = 120;          (* Höhe sollte ein ganzzahliges Vielfaches von kernels*grain sein *)
zoom    = 15;                                 (* doppelter Zoom ergibt halben Sichtwinkel *)
 
LaunchKernels[kernels]
wp = MachinePrecision;                                                     (* Genauigkeit *)
st = 0.02;                                                    (* Auflösung des Gradienten *)
 
pic1 = Import["http://yukterez.net/mw/2/flip70.png"];        (* Hintergrundpanorama laden *)
pic2 = Import["https://i.stack.imgur.com/5ARxo.jpg"];          (* Sphärenoberfläche laden *)
pic3 = Import["http://yukterez.net/mw/akkretionsscheibe.jpg"];    (* Scheibentextur laden *)
pic4 = Import["http://yukterez.net/mw/disk.png"];              (* Scheibengeometrie laden *)
pic5 = Import["http://yukterez.net/mw/gradient1.png"];       (* Helligkeitsgradient laden *)
pic6 = Import["http://yukterez.net/mw/gradient2.png"];              (* Farbgradient laden *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 1) Startbedingungen und Position des Beobachters ||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0   = 100;                                           (* Radialkoordinate des Beobachters *)
R0   = 500;                              (* Radius des umspannenden Kugelschalenpanoramas *)
R1   = Max[1, Re[1.01 rA]];                                                     (* Sphäre *)
si   = isco;                                             (* Akkretionsscheibe Innenradius *)
sr   = 7;                                                (* Akkretionsscheibe Außenradius *)
θ0   = 70 π/180;                                                           (* Breitengrad *)
φ0   = 0;                                                                   (* Längengrad *)
 
tmax =-3 R0;                                            (* zeitlicher Integrationsbereich *)
 
a    = 0.7;                                                              (* Spinparameter *)
℧    = 0.7;                                     (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)
v0   = 1;                                                 (* Geschwindigkeit der Photonen *)
q    = 0;                                                          (* Ladung der Photonen *)
 
vr   = 0;                                      (* Radiale Geschwindigkeit des Beobachters *)
vϑ   = 0;                                       (* Polare Geschwindigkeit des Beobachters *)
vφ   = 0;     (* Azimutale Geschwindigkeit des Beobachters: 0 für ZAMO, -й0 für stationär *)
 
hvs  = ArcSin[vφ];                                   (* horizontaler Versatz in Radianten *)
vvs  = ArcSin[vϑ];                                     (* vertikaler Versatz in Radianten *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 2) Bildreflektion |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

fpt[{x_, y_}] := {If[y<0, x+1, x], If[y<0, -y, y]}
 
pcr1 = ParallelTable[
ImageTransformation[pic1, fpt, DataRange->{{-1, 1}, {0, 1}},
PlotRange->{{-1, 1}, {-1+(x-1)/kernels, -1+x/kernels}}, Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],
{x, 1, 2 kernels}];
pct1 = ImageAssemble[{Table[{pcr1[[x]]}, {x, 2 kernels, 1, -1}]}];

pcr2 = ParallelTable[
ImageTransformation[pic2, fpt, DataRange->{{-1, 1}, {0, 1}},
PlotRange->{{-1, 1}, {-1+(x-1)/kernels, -1+x/kernels}}, Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],
{x, 1, 2 kernels}];
pct2 = ImageAssemble[{Table[{pcr2[[x]]}, {x, 2 kernels, 1, -1}]}];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 3) Funktionen |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
gtt = (2r0-℧^2)/Σ-1;
grr = Σ/Δ;
gθθ = Σ;
gφφ = Χ/Σ Sin[θ0]^2;
gtφ =-a (2r0-℧^2) Sin[θ0]^2/Σ;
 
Σ = r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
Δ = r0^2-2 r0+a^2+℧^2;
Χ = (r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 Δ;

Σs[rs_] := rs^2;
Δs[rs_] := rs^2-2 rs+a^2+℧^2;
Χs[rs_] := (rs^2+a^2)^2-a^2 Δs[rs];
κs[rs_] := a;

Σj[rt_, θt_] := rt^2+a^2 Cos[θt]^2;
Δj[rt_, θt_] := rt^2-2 rt+a^2+℧^2;
Χj[rt_, θt_] := (rt^2+a^2)^2-a^2 Sin[θt]^2 Δj[rt, θt];
ωj[rt_, θt_] := (a(2 rt-℧^2))/Χj[rt, θt];

ς = Sqrt[Χ/Δ/Σ];

j[v_] := Sqrt[1-v^2];
Ы[rs_]  := Sqrt[Χs[rs]/Σs[rs]];
ωs[rs_] := (a (2 rs - ℧^2))/Χs[rs];
 
ε[rs_]  := Sqrt[Δs[rs] Σs[rs]/Χs[rs]]/j[vt]+Lz[rs] ωs[rs];
Lz[rs_] := vt Ы[rs]/j[vt];

nq[x_] := If[NumericQ[x], If[Element[x, Reals], x, 0], 0];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 4) Geschwindigkeitskomponenten ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

εj[rt_, δt_, δr_, δθ_, δφ_] := δt (1-(2 rt-℧^2)/rt^2)+(a δφ (2 rt-℧^2))/rt^2;
vrj[rt_, δt_, δr_, δθ_, δφ_] := δr/Sqrt[Δj[rt, θt]] Sqrt[Σj[rt, π/2]];
vθj[rt_, δt_, δr_, δθ_, δφ_] := δθ Sqrt[Σj[rt, π/2]];
vφj[rt_, δt_, δr_, δθ_, δφ_] := (-(((a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2) (a^2+℧^2-2 rt+rt^2) Sin[(π/2)] (-δφ-
(a q ℧ rt)/((a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2) (a^2+℧^2-2 rt+rt^2))+
(εj[rt, δt, δr, δθ, δφ] Csc[(π/2)]^2 (a (-a^2-℧^2+2 rt-rt^2) Sin[(π/2)]^2+a (a^2+
rt^2) Sin[(π/2)]^2))/((a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2) (a^2+℧^2-2 rt+rt^2))+(a q ℧ rt (a^2+
℧^2-2 rt+rt^2-a^2 Sin[(π/2)]^2))/((a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2)^2 (a^2+℧^2-2 rt+
rt^2))))/((a^2+℧^2-2 rt+rt^2-a^2 Sin[(π/2)]^2) Sqrt[((a^2+rt^2)^2-
a^2 (a^2+℧^2-2 rt+rt^2) Sin[(π/2)]^2)/(a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2)])));

vtj[rt_, δt_, δr_, δθ_, δφ_] := Sqrt[vrj[rt, δt, δr, δθ, δφ]^2+
vθj[rt, δt, δr, δθ, δφ]^2+vφj[rt, δt, δr, δθ, δφ]^2];
vφt[rt_, δt_, δr_, δθ_, δφ_] := vφj[rt, δt, δr, δθ, δφ]/vtj[rt, δt, δr, δθ, δφ];
shf[rt_, δt_, δr_, δθ_, δφ_] := ς/(1-vs[rt] vφt[rt, δt, δr, δθ, δφ])/δt;
 
dφ[rt_, tt_] := (tt+r0) φs[rt]/ts[rt];
 
vθ  =-vϑ;
θs  = π/2;
θi  =-θ0+π;
rA  = 1+Sqrt[1-a^2-℧^2];
rE  = 1+Sqrt[1-℧^2];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 5) Photonensphäre und ISCO ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
rp = ц/.Solve[4 a^2 (ц-℧^2)-(ц^2-3 ц+2 ℧^2)^2==0 && ц>=If[Element[rA, Reals], rA, 0], ц];
rP = 1.01 Min[rp]; Rp = 1.01 Max[rp];
isco = Quiet[Min[RI/.NSolve[0 == RI (6 RI-RI^2-9 ℧^2+3 a^2)+4 ℧^2 (℧^2-a^2)-8 a (RI-
℧^2)^(3/2) && RI>=If[Element[rA, Reals], rA, 0], RI]]];
{"r horizon" -> [email protected], "r ergosphere" -> [email protected], "r isco" -> [email protected],
"r photon pro" -> [email protected][rp], "r photon ret" -> [email protected][rp], "r disk" -> [email protected],
"r observer" -> [email protected], "θ observer" -> [email protected]θ0 180/π}
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 6) Geschwindigkeit und Zeitdilatation auf der Scheibe |||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
red[rs_] := Quiet[Reduce[
dt == (Lz[rs] (-a (a^2+rs^2)+Δs[rs] κs[rs])+ε[rs] ((a^2+rs^2)^2-
Δs[rs] κs[rs]^2))/(Δs[rs] Σs[rs])
&&
0 == ((a^2+(-2+rs) rs+℧^2) (16 a dt dΦ rs (rs-℧^2)+8 dt^2 rs (-rs+℧^2)+
dΦ^2 rs (8 rs (-a^2+rs^3)+a^2 (4 a^2+4 ℧^2-4 (a-℧) (a+℧)))))/(8 rs^6)
&&
dΦ == (Lz[rs] (-a^2+Δs[rs])+ε[rs] (a (a^2+rs^2)-Δs[rs] κs[rs]))/(Δs[rs] Σs[rs])
&&
vt > 0,
{vt, dΦ, dt},
Reals]];
 
vs = Interpolation[ParallelTable[{rr, If[[email protected][red[rr][[1, 2]]],
red[rr][[1, 2]], 0]}, {rr, 0, sr+st, st}]];
φs = Interpolation[ParallelTable[{rr, If[[email protected][red[rr][[2, 2]]],
red[rr][[2, 2]], 0]}, {rr, 0, sr+st, st}]];
ts = Interpolation[ParallelTable[{rr, If[[email protected][red[rr][[3, 2]]],
red[rr][[3, 2]], 0]}, {rr, 0, sr+st, st}]];
 
plot[func_, label_] := Plot[func, {rr, rP, sr},
GridLines -> {{nq[Min[rp]], nq[Max[rp]], nq[rA], nq[si], nq[isco], nq[rE], nq[sr]}, {}},
Frame -> True, ImagePadding -> {{40, 1}, {12, 1}}, ImageSize -> 340,
PlotLabel -> label, PlotRange->{{0, sr}, Automatic}]
 
Grid[{{
plot[Sqrt[Χs[rr]/Δs[rr]/Σs[rr]],  "Gravitational time dilation: y=dt/dт, x=r"],
plot[φs[rr]/ts[rr], "Shapirodelayed angular velocity: y=dφ/dt, x=r"]},{
plot[ts[rr],  "Total time dilation: y=dt/dτ, x=r"],
plot[φs[rr],  "Coordinate speed: y=dφ/dτ, x=r"]}, {
plot[(a (2 rr-℧^2))/((a^2+rr^2)^2-a^2 (a^2-2 rr+rr^2+℧^2)), "Frame Dragging: y=dφ/dт, x=r"],
plot[vs[rr],  "Local velocity: y=v=dl/dτ, x=r"]}}]

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 7) Frame Dragging und Gammafaktor |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
й0  = (a (2 r0-℧^2) Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]);
 
U={+vr, +vθ, +vφ};
γ=1/Sqrt[1-Norm[U]^2];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 8) Rotationsmatrix für die auf der Sichtebene eintreffenden Strahlen ||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Xyz[{x_, y_, z_}, α_] := {x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};
xYz[{x_, y_, z_}, β_] := {x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};
xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_] := {x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]};
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 9) Raytracing Funktionscontainer ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
raytracer[{Ф_, ϑ_}] :=
 
Quiet[Module[{DGL, sol, εj, pθi, pr0, Q, k, V, W, vw,
vr0i, vθ0i, vφ0i, vr0n, vθ0n, vφ0n, vr0a, vθia, vφ0a, vt0a,
t10, r10, Θ10, Φ10, t, r, θ, φ, τ,
т, т0, т1, т2, т3, т4, т5,
plunge, plunge0, plunge1, plunge2, plunge3, plunge4, plunge5, plunge6,
dθ0, dφ0, δφ0, δθ0, δr0, δt0, tt0, rt0, θt0, φt0,
dθ1, dφ1, δφ1, δθ1, δr1, δt1, tt1, rt1, θt1, φt1,
dθ2, dφ2, δφ2, δθ2, δr2, δt2, tt2, rt2, θt2, φt2,
dθ3, dφ3, δφ3, δθ3, δr3, δt3, tt3, rt3, θt3, φt3,
dθ4, dφ4, δφ4, δθ4, δr4, δt4, tt4, rt4, θt4, φt4,
dθ5, dφ5, δφ5, δθ5, δr5, δt5, tt5, rt5, θt5, φt5,
dθ6, dφ6, δφ6, δθ6, δr6, δt6, tt6, rt6, θt6, φt6,
X, Y, Z, ξ, stepsize, laststep, mtl, mta, ft, fτ, varb,
ft0s, ft1s, ft2s, ft3s, ft4s,
ft0v, ft1v, ft2v, ft3v, ft4v,
ft0f, ft1f, ft2f, ft3f, ft4f,
ft5h, ft5b},
 
vw=xyZ[Xyz[{0, 1, 0}, ϑ], Ф+π/2];
                                 (* Übersetzung des Einfallswinkels in den lokalen Tetrad *)
vr0a = vw[[3]] Sqrt[grr];
vφ0a = vw[[2]] Sqrt[gφφ]/r0/Sin[θi];
vθia = vw[[1]] Sqrt[gθθ]/r0;
                                                                                (* Betrag *)
vt0a = Sqrt[vr0a^2+vφ0a^2+vθia^2];
                                                                            (* Normierung *)
vr0n = vr0a/vt0a;
vφ0n = vφ0a/vt0a;
vθ0n = vθia/vt0a;
                                              (* Relativistische Geschwindigkeitsaddition *)
V={vr0n, vθ0n, vφ0n};
W=(U+V+γ/(1+γ)(U\[Cross](U\[Cross]V)))/(1+U.V);
                                                                            (* Aberration *)
vr0i = W[[1]];
vθ0i = W[[2]];
vφ0i = W[[3]];
                     
DGL = {                                               (* Kerr Newman Bewegungsgleichungen *)
 
t''[τ]==-(((r'[τ] ((a^2+r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+
2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ]))+a (2 a^4 Cos[θ[τ]]^2+a^2 ℧^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]-
a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ])+a^2 θ'[τ] (Sin[2 θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])-2 a Cos[θ[τ]] (℧^2-
2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 φ'[τ]))/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2),
 
t'[0]==-((a (2 r0-℧^2) Sin[θi]^2 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2))))/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)))+\[Sqrt](((vr0i^2 (a^2-2 r0+
r0^2+℧^2)+vθ0i^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)+
(a^2 (-2 r0+℧^2)^2 Sin[θi]^4 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+
r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)-((2 r0-r0^2-℧^2-a^2 Cos[θi]^2) Sin[θi]^2 ((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2) (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)),
t[0]==0,
 
r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+
(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+
r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+
8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+
8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2),
 
r'[0]==vr0i/Sqrt[(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)/(a^2+(-2+r0) r0+℧^2)],
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+
10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+
a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2),
 
θ'[0]==vθ0i/Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θi]^2],
θ[0]==θi,
 
φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))((r'[τ] (4 a q ℧ (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2)-
8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(℧^2-r[τ]) r[τ]) t'[τ]+(a^2 (3 a^2+8 ℧^2+a^2 (4 Cos[2 θ[τ]]+
Cos[4 θ[τ]])) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-
16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+
θ'[τ] (8 a Cot[θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+(8 Cot[θ[τ]] (a^2+r[τ]^2)^2-
2 a^2 (3 a^2+2 ℧^2+4 (-1+r[τ]) r[τ]) Sin[2 θ[τ]]-a^4 Sin[4 θ[τ]]) φ'[τ])),
 
φ'[0]==(vφ0i ((-2+r0) r0+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θi]^2)]+(a vφ0i (2 r0-
℧^2) Sin[θi])/((r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)])))/((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)),
φ[0]==φ0,
 
WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr &&
NumericQ[plunge0]==False,
(plunge0=τ) &&
(tt0=t[τ]) && (rt0=r[τ]) && (θt0=θ[τ]) && (φt0=φ[τ]) &&
(δt0=t'[τ]) && (δr0=r'[τ]) && (δθ0=θ'[τ]) && (δφ0=φ'[τ])],

WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0 &&
NumericQ[plunge1]==False,
(plunge1=τ) &&
(tt1=t[τ]) && (rt1=r[τ]) && (θt1=θ[τ]) && (φt1=φ[τ]) &&
(δt1=t'[τ]) && (δr1=r'[τ]) && (δθ1=θ'[τ]) && (δφ1=φ'[τ])],

WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0 &&
NumericQ[plunge2]==False,
(plunge2=τ) &&
(tt2=t[τ]) && (rt2=r[τ]) && (θt2=θ[τ]) && (φt2=φ[τ]) &&
(δt2=t'[τ]) && (δr2=r'[τ]) && (δθ2=θ'[τ]) && (δφ2=φ'[τ])],

WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0 && τ<plunge1-0.1 &&
NumericQ[plunge3]==False,
(plunge3=τ) &&
(tt3=t[τ]) && (rt3=r[τ]) && (θt3=θ[τ]) && (φt3=φ[τ]) &&
(δt3=t'[τ]) && (δr3=r'[τ]) && (δθ3=θ'[τ]) && (δφ3=φ'[τ])],

WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0 && τ<plunge2-0.1 &&
NumericQ[plunge4]==False,
(plunge4=τ) &&
(tt4=t[τ]) && (rt4=r[τ]) && (θt4=θ[τ]) && (φt4=φ[τ]) &&
(δt4=t'[τ]) && (δr4=r'[τ]) && (δθ4=θ'[τ]) && (δφ4=φ'[τ])],

WhenEvent[r[τ]==R1||r[τ]<R1 &&
NumericQ[plunge5]==False,
(plunge5=τ) && (tt5=t[τ]) && (rt5=r[τ]) && (θt5=θ[τ]) && (φt5=φ[τ])],

WhenEvent[r[τ]==R0||r[τ]>R0 &&
NumericQ[plunge6]==False,
(plunge6=τ) &&
(tt6=t[τ]) && (rt6=r[τ]) && (θt6=θ[τ]) && (φt6=φ[τ]);
"StopIntegration"]

};
                                                                            (* Integrator *)
sol = NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ}, {τ, 0, tmax},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
InterpolationOrder-> All];
 
ft0s=If[NumericQ[plunge0], If[rt0>sr, {π, sr},
If[rt0<si, {π, sr}, {φt0, rt0}]], {π, sr}];
ft1s=If[NumericQ[plunge1], If[rt1>sr, {π, sr},
If[rt1<si, {π, sr}, {φt1, rt1}]], {π, sr}];
ft2s=If[NumericQ[plunge2], If[rt2>sr, {π, sr},
If[rt2<si, {π, sr}, {φt2, rt2}]], {π, sr}];
ft3s=If[NumericQ[plunge3], If[rt3>sr, {π, sr},
If[rt3<si, {π, sr}, {φt3, rt3}]], {π, sr}];
ft4s=If[NumericQ[plunge4], If[rt4>sr, {π, sr},
If[rt4<si, {π, sr}, {φt4, rt4}]], {π, sr}];

ft0v=If[NumericQ[plunge0], If[rt0>sr, {0, 0},
If[rt0<si, {0, 0}, {-dφ[rt0, tt0], 0}]], {0, 0}];
ft1v=If[NumericQ[plunge1], If[rt1>sr, {0, 0},
If[rt1<si, {0, 0}, {-dφ[rt1, tt1], 0}]], {0, 0}];
ft2v=If[NumericQ[plunge2], If[rt2>sr, {0, 0},
If[rt2<si, {0, 0}, {-dφ[rt2, tt2], 0}]], {0, 0}];
ft3v=If[NumericQ[plunge3], If[rt3>sr, {0, 0},
If[rt3<si, {0, 0}, {-dφ[rt3, tt3], 0}]], {0, 0}];
ft4v=If[NumericQ[plunge4], If[rt4>sr, {0, 0},
If[rt4<si, {0, 0}, {-dφ[rt4, tt4], 0}]], {0, 0}];

ft0f=If[NumericQ[plunge0], If[rt0>sr, {0, 0},
If[rt0<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt0, δt0, δr0, δθ0, δφ0]]}]], {0, 0}];
ft1f=If[NumericQ[plunge1], If[rt1>sr, {0, 0},
If[rt1<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt1, δt1, δr1, δθ1, δφ1]]}]], {0, 0}];
ft2f=If[NumericQ[plunge2], If[rt2>sr, {0, 0},
If[rt2<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt2, δt2, δr2, δθ2, δφ2]]}]], {0, 0}];
ft3f=If[NumericQ[plunge3], If[rt3>sr, {0, 0},
If[rt3<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt3, δt3, δr3, δθ3, δφ3]]}]], {0, 0}];
ft4f=If[NumericQ[plunge4], If[rt4>sr, {0, 0},
If[rt4<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt4, δt4, δr4, δθ4, δφ4]]}]], {0, 0}];

ft5h=If[NumericQ[plunge5], {φt5-(tt5+r0) ωs[R1], θt5+π/2}, {0, -π/2}];
ft5b=If[NumericQ[plunge6], If[rt6<If[Element[rA, Reals], rA, 0], {0, -π/2},
If[rt6>4 R0, {0, -π/2}, {φt6-π, θt6+π/2}]], {0, -π/2}];

{
ft0s, ft1s, ft2s, ft3s, ft4s,
ft0s+ft0v, ft1s+ft1v, ft2s+ft2v, ft3s+ft3v, ft4s+ft4v,
ft0f, ft1f, ft2f, ft3f, ft4f,
ft5h, ft5b
}]];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 10) Memoryfunktion ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
mem : raytrace[{Ф_, ϑ_}] := mem = raytracer[{Ф, ϑ}];

ray01[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[01]];
ray02[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[02]];
ray03[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[03]];
ray04[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[04]];
ray05[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[05]];

ray06[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[06]];
ray07[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[07]];
ray08[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[08]];
ray09[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[09]];
ray10[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[10]];

ray11[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[11]];
ray12[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[12]];
ray13[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[13]];
ray14[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[14]];
ray15[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[15]];

ray16[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[16]];
ray17[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[17]];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 11) Proportionen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
width1  = ImageDimensions[pic1][[1]]; height1 = ImageDimensions[pic1][[2]];
width2  = ImageDimensions[pic2][[1]]; height2 = ImageDimensions[pic2][[2]];
width3  = ImageDimensions[pic3][[1]]; height3 = ImageDimensions[pic3][[2]];
width4  = ImageDimensions[pic4][[1]]; height4 = ImageDimensions[pic4][[2]];
width5  = ImageDimensions[pic5][[1]]; height5 = ImageDimensions[pic5][[2]];
hzoom   = If[breite>2 hoehe, 1/zoom, 1/zoom/2/hoehe*breite];
vzoom   = If[breite>2 hoehe, 1/zoom*2 hoehe/breite, 1/zoom];

"approximate time remaining" -> 1.2 (AbsoluteTiming[Do[raytracer[{
RandomReal[{-π, π}]/zoom, RandomReal[{-π/2, π/2}]/zoom
}], {ü, 1, 50}]][[1]])/50*hoehe*breite/kernels/60 "minutes"
 
FOV->{360.0 hzoom "degree", 180.0 vzoom "degree"}

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 12) Output ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
img = ParallelTable[{

(* 1 Hintergrundpanorama *)
ImageTransformation[pct1, ray17, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{-π, π-2π/width1},
{-π/2, 3π/2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+x+vvs/vzoom, -π/2+x+vvs/vzoom+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 2 Sphäre *)
ImageTransformation[pct2, ray16, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{-π, π-2π/width2},
{-π/2, 3π/2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+x+vvs/vzoom, -π/2+x+π/kernels/grain+vvs/vzoom} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 3 Scheibe Textur komplett *)
ImageTransformation[pic3, ray01, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width3},
{si, sr+(sr-si)/height3}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 4 Scheibe Textur Front *)
ImageTransformation[pic3, ray02, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width3},
{si, sr+(sr-si)/height3}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 5 Scheibe Textur Echo 1 *)
ImageTransformation[pic3, ray03, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width3},
{si, sr+(sr-si)/height3}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 6 Scheibe Textur Echo 2 *)
ImageTransformation[pic3, ray04, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width3},
{si, sr+(sr-si)/height3}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 7 Scheibe Textur Echo 3 *)
ImageTransformation[pic3, ray05, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width3},
{si, sr+(sr-si)/height3}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 8 Scheibe Geometrie still komplett *)
ImageTransformation[pic4, ray01, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 9 Scheibe Geometrie still Front *)
ImageTransformation[pic4, ray02, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 10 Scheibe Geometrie still Echo 1 *)
ImageTransformation[pic4, ray03, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 11 Scheibe Geometrie still Echo 2 *)
ImageTransformation[pic4, ray04, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 12 Scheibe Geometrie still Echo 3 *)
ImageTransformation[pic4, ray05, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 13 Scheibe Geometrie rotierend komplett *)
ImageTransformation[pic4, ray06, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 14 Scheibe Geometrie rotierend Front *)
ImageTransformation[pic4, ray07, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 15 Scheibe Geometrie rotierend Echo 1 *)
ImageTransformation[pic4, ray08, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 16 Scheibe Geometrie rotierend Echo 2 *)
ImageTransformation[pic4, ray09, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 17 Scheibe Geometrie rotierend Echo 3 *)
ImageTransformation[pic4, ray10, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 18 Frequenzverschiebung komplett SW *)
ImageTransformation[pic5, ray11, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{-1, 1},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"],

(* 19 Frequenzverschiebung Front SW *)
ImageTransformation[pic5, ray12, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"],

(* 20 Frequenzverschiebung Echo 1 SW *)
ImageTransformation[pic5, ray13, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"],

(* 21 Frequenzverschiebung Echo 2 SW *)
ImageTransformation[pic5, ray14, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"],

(* 22 Frequenzverschiebung Echo 3 SW *)
ImageTransformation[pic5, ray15, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"],

(* 23 Frequenzverschiebung komplett Farbe *)
ImageTransformation[pic6, ray11, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"],

(* 24 Frequenzverschiebung Front Farbe *)
ImageTransformation[pic6, ray12, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"],

(* 25 Frequenzverschiebung Echo 1 Farbe *)
ImageTransformation[pic6, ray13, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"],

(* 26 Frequenzverschiebung Echo 2 Farbe *)
ImageTransformation[pic6, ray14, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"],

(* 27 Frequenzverschiebung Echo 3 Farbe *)
ImageTransformation[pic6, ray15, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π},
{0, 2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Fixed"]

}, {x, 0, π-π/kernels/grain, π/kernels/grain}];

image[num_] := ImageAssemble[{Table[{img[[x, num]]}, {x, kernels grain, 1, -1}]}];
fi[x_] := ColorNegate[x];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 13) Composite |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

Table[image[n], {n, 1, 27, 1}]

ds1 = image[8]
ds2 = ImageMultiply[[email protected][09], [email protected][10]];
ds3 = ImageMultiply[[email protected][11], [email protected][12]];
ds4 = [email protected][ds2, ds3]

ds5 = image[13]
ds6 = ImageMultiply[[email protected][14], [email protected]mage[15]];
ds7 = ImageMultiply[[email protected][16], [email protected][17]];
ds8 = [email protected][ds6, ds7]

bl1 = image[23]
bl2 = ImageMultiply[[email protected][24], [email protected][25]];
bl3 = ImageMultiply[[email protected][26], [email protected][27]];
bl4 = [email protected][bl2, bl3]

gr1 = image[18]
gr2 = ImageMultiply[[email protected][19], [email protected][20]];
gr3 = ImageMultiply[[email protected][21], [email protected][22]];
gr4 = [email protected][gr2, gr3]

sea = ImageMultiply[image[04], image[19]];
seb = ImageMultiply[image[05], image[20]];
sec = ImageMultiply[image[06], image[21]];
sed = ImageMultiply[image[07], image[22]];

se1 = image[03]
se2 = ImageMultiply[[email protected][04], [email protected][05]];
se3 = ImageMultiply[[email protected][06], [email protected][07]];
se4 = [email protected][se2, se3]
se5 = ImageMultiply[[email protected], [email protected]];
se6 = ImageMultiply[[email protected], [email protected]];
se7 = [email protected][se5, se6]
se8 = [email protected][[email protected], [email protected]]
se9 = [email protected][[email protected], [email protected]]

bkg = image[1]
hrz = image[2]

Output (in diesem Beispiel mit a=℧=0.3, θ=85°, r0=50, ri=isco=4.826, ra=10, v=0, zoom=6):

☑ Kontrollmodul Minkowski (all in one)

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* | yukterez.net | Minkowski Raytracer | 29.07.2019 | Version 8M | Simon Tyran, Vienna | *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
                                       
kernels = 6;                                                          (* Parallelisierung *)
grain   = 5;                            (* Subparallelisierung auf kernels*grain Streifen *)
rsp     = "Nearest";                                                        (* Resampling *)

breite  = 120;                                               (* Zielabmessungen in Pixeln *)
hoehe   = 120;          (* Höhe sollte ein ganzzahliges Vielfaches von kernels*grain sein *)
zoom    = 15;                                 (* doppelter Zoom ergibt halben Sichtwinkel *)
 
LaunchKernels[kernels]
wp = MachinePrecision;                                                     (* Genauigkeit *)
 
pic1 = Import["http://yukterez.net/mw/2/flip70.png"];        (* Hintergrundpanorama laden *)
pic2 = Import["https://i.stack.imgur.com/5ARxo.jpg"];          (* Sphärenoberfläche laden *)
pic3 = Import["http://yukterez.net/mw/akkretionsscheibe.jpg"];    (* Scheibentextur laden *)
pic4 = Import["http://yukterez.net/mw/disk.png"];              (* Scheibengeometrie laden *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 1) Startbedingungen und Position des Beobachters ||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0   = 100;                                           (* Radialkoordinate des Beobachters *)
R0   = 500;                              (* Radius des umspannenden Kugelschalenpanoramas *)
R1   = 3;                                                                       (* Sphäre *)
si   = 3;                                                (* Akkretionsscheibe Innenradius *)
sr   = 7;                                                (* Akkretionsscheibe Außenradius *)
θ0   = 70 π/180;                                                           (* Breitengrad *)
φ0   = 0;                                                                   (* Längengrad *)
 
tmax =-3 R0;                                            (* zeitlicher Integrationsbereich *)
 
vr   = 0;                                      (* Radiale Geschwindigkeit des Beobachters *)
vφ   = 0;     (* Azimutale Geschwindigkeit des Beobachters: 0 für ZAMO, -й0 für stationär *)

hvs  = ArcSin[vφ];                                                   (* Aberrationswinkel *)
 
fpt[{x_, y_}] := {If[y<0, x+1, x], If[y<0, -y, y]}
 
pcr1 = ParallelTable[
ImageTransformation[pic1, fpt, DataRange->{{-1, 1}, {0, 1}},
PlotRange->{{-1, 1}, {-1+(x-1)/kernels, -1+x/kernels}}, Padding->"Periodic"],
{x, 1, 2 kernels}];
pct1 = ImageAssemble[{Table[{pcr1[[x]]}, {x, 2 kernels, 1, -1}]}];
 
pcr2 = ParallelTable[
ImageTransformation[pic2, fpt, DataRange->{{-1, 1}, {0, 1}},
PlotRange->{{-1, 1}, {-1+(x-1)/kernels, -1+x/kernels}}, Padding->"Periodic"],
{x, 1, 2 kernels}];
pct2 = ImageAssemble[{Table[{pcr2[[x]]}, {x, 2 kernels, 1, -1}]}];

a = 0; ℧ = 0; v0 = 1; q = 0; st = 0.1; vϑ = 0; vvs = ArcSin[vϑ]; 
 
vθ  =-vϑ;
θs  = π/2;
θi  =-θ0+π;
θ1  = θi;

dφ[rt_, tt_] := 0;
shf[rt_, δt_, δr_, δθ_, δφ_] := 1;
ωφ = -vφ Csc[θ1]/r0;
ωθ = -vϑ/r0;

gtt = -1;
grr = +1;
gθθ = +r0^2;
gφφ = +r0^2 Sin[θ1]^2;
gtφ = +0;
 
ς = 1;
j[v_] := Sqrt[1-v^2];
nq[x_] := If[NumericQ[x], If[Element[x, Reals], x, 0], 0];

U={+vr, +vθ, +vφ};
γ=1/Sqrt[1-Norm[U]^2];
 
Xyz[{x_, y_, z_}, α_] := {x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};
xYz[{x_, y_, z_}, β_] := {x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};
xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_] := {x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]};
 
raytracer[{Ф_, ϑ_}] :=
 
Quiet[Module[{DGL, sol, εj, pθi, pr0, Q, k, V, W, vw,
vr0i, vθ0i, vφ0i, vr0n, vθ0n, vφ0n, vr0a, vθia, vφ0a, vt0a,
t10, r10, Θ10, Φ10, t, r, θ, φ, τ,
т, т0, т1, т2, т3, т4, т5,
plunge, plunge0, plunge1, plunge2, plunge3, plunge4, plunge5, plunge6,
dθ0, dφ0, δφ0, δθ0, δr0, δt0, tt0, rt0, θt0, φt0,
dθ1, dφ1, δφ1, δθ1, δr1, δt1, tt1, rt1, θt1, φt1,
dθ2, dφ2, δφ2, δθ2, δr2, δt2, tt2, rt2, θt2, φt2,
dθ3, dφ3, δφ3, δθ3, δr3, δt3, tt3, rt3, θt3, φt3,
dθ4, dφ4, δφ4, δθ4, δr4, δt4, tt4, rt4, θt4, φt4,
dθ5, dφ5, δφ5, δθ5, δr5, δt5, tt5, rt5, θt5, φt5,
dθ6, dφ6, δφ6, δθ6, δr6, δt6, tt6, rt6, θt6, φt6,
X, Y, Z, ξ, stepsize, laststep, mtl, mta, ft, fτ, varb,
ft0s, ft1s, ft2s, ft3s, ft4s,
ft0v, ft1v, ft2v, ft3v, ft4v,
ft0f, ft1f, ft2f, ft3f, ft4f,
ft5h, ft5b},
 
vw=xyZ[Xyz[{0, 1, 0}, ϑ], Ф+π/2];
                                 (* Übersetzung des Einfallswinkels in den lokalen Tetrad *)
vr0a = vw[[3]];
vφ0a = vw[[2]];
vθia = vw[[1]];
                                                                                (* Betrag *)
vt0a = Sqrt[vr0a^2+vφ0a^2+vθia^2];
                                                                            (* Normierung *)
vr0n = vr0a/vt0a;
vφ0n = vφ0a/vt0a;
vθ0n = vθia/vt0a;
                                              (* Relativistische Geschwindigkeitsaddition *)
V={vr0n, vθ0n, vφ0n};
W=(U+V+γ/(1+γ)(U\[Cross](U\[Cross]V)))/(1+U.V);
                                                                            (* Aberration *)
vr0i = W[[1]];
vθ0i = W[[2]];
vφ0i = W[[3]];
                     
DGL = {                                               (* Kerr Newman Bewegungsgleichungen *)
 
t''[τ]==0,
t'[0]==1,
t[0]==0,
 
r''[τ]==r[τ](θ'[τ]^2+Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]^2),
r'[0]==vr0i,
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==Sin[θ[τ]] Cos[θ[τ]] φ'[τ]^2-2 θ'[τ] r'[τ]/r[τ],
θ'[0]==vθ0i/r0,
θ[0]==θi,
 
φ''[τ]==-2 φ'[τ] (r'[τ]+r[τ] θ'[τ] Cot[θ[τ]])/r[τ],
φ'[0]==vφ0i Csc[θ1]/r0,
φ[0]==φ0,
 
WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr &&
NumericQ[plunge0]==False,
(plunge0=τ) &&
(tt0=t[τ]) && (rt0=r[τ]) && (θt0=θ[τ]) && (φt0=φ[τ]) &&
(δt0=t'[τ]) && (δr0=r'[τ]) && (δθ0=θ'[τ]) && (δφ0=φ'[τ])],
 
WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0 &&
NumericQ[plunge1]==False,
(plunge1=τ) &&
(tt1=t[τ]) && (rt1=r[τ]) && (θt1=θ[τ]) && (φt1=φ[τ]) &&
(δt1=t'[τ]) && (δr1=r'[τ]) && (δθ1=θ'[τ]) && (δφ1=φ'[τ])],
 
WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0 &&
NumericQ[plunge2]==False,
(plunge2=τ) &&
(tt2=t[τ]) && (rt2=r[τ]) && (θt2=θ[τ]) && (φt2=φ[τ]) &&
(δt2=t'[τ]) && (δr2=r'[τ]) && (δθ2=θ'[τ]) && (δφ2=φ'[τ])],
 
WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0 && τ<plunge1-0.1 &&
NumericQ[plunge3]==False,
(plunge3=τ) &&
(tt3=t[τ]) && (rt3=r[τ]) && (θt3=θ[τ]) && (φt3=φ[τ]) &&
(δt3=t'[τ]) && (δr3=r'[τ]) && (δθ3=θ'[τ]) && (δφ3=φ'[τ])],
 
WhenEvent[Mod[θ[τ], π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0 && τ<plunge2-0.1 &&
NumericQ[plunge4]==False,
(plunge4=τ) &&
(tt4=t[τ]) && (rt4=r[τ]) && (θt4=θ[τ]) && (φt4=φ[τ]) &&
(δt4=t'[τ]) && (δr4=r'[τ]) && (δθ4=θ'[τ]) && (δφ4=φ'[τ])],
 
WhenEvent[r[τ]==R1||r[τ]<R1 &&
NumericQ[plunge5]==False,
(plunge5=τ) && (tt5=t[τ]) && (rt5=r[τ]) && (θt5=θ[τ]) && (φt5=φ[τ]);
"StopIntegration"],
 
WhenEvent[r[τ]==R0||r[τ]>R0 &&
NumericQ[plunge6]==False,
(plunge6=τ) &&
(tt6=t[τ]) && (rt6=r[τ]) && (θt6=θ[τ]) && (φt6=φ[τ]);
"StopIntegration"]
 
};
                                                                            (* Integrator *)
sol = NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ}, {τ, 0, tmax},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
InterpolationOrder-> All];
 
ft0s=If[NumericQ[plunge0], If[rt0>sr, {π, sr},
If[rt0<si, {π, sr}, {φt0+(tt0+r0) ωφ, rt0}]], {π, sr}];
ft1s=If[NumericQ[plunge1], If[rt1>sr, {π, sr},
If[rt1<si, {π, sr}, {φt1+(tt1+r0) ωφ, rt1}]], {π, sr}];
ft2s=If[NumericQ[plunge2], If[rt2>sr, {π, sr},
If[rt2<si, {π, sr}, {φt2+(tt2+r0) ωφ, rt2}]], {π, sr}];
ft3s=If[NumericQ[plunge3], If[rt3>sr, {π, sr},
If[rt3<si, {π, sr}, {φt3+(tt3+r0) ωφ, rt3}]], {π, sr}];
ft4s=If[NumericQ[plunge4], If[rt4>sr, {π, sr},
If[rt4<si, {π, sr}, {φt4+(tt4+r0) ωφ, rt4}]], {π, sr}];
 
ft0v=If[NumericQ[plunge0], If[rt0>sr, {0, 0},
If[rt0<si, {0, 0}, {-dφ[rt0, tt0], 0}]], {0, 0}];
ft1v=If[NumericQ[plunge1], If[rt1>sr, {0, 0},
If[rt1<si, {0, 0}, {-dφ[rt1, tt1], 0}]], {0, 0}];
ft2v=If[NumericQ[plunge2], If[rt2>sr, {0, 0},
If[rt2<si, {0, 0}, {-dφ[rt2, tt2], 0}]], {0, 0}];
ft3v=If[NumericQ[plunge3], If[rt3>sr, {0, 0},
If[rt3<si, {0, 0}, {-dφ[rt3, tt3], 0}]], {0, 0}];
ft4v=If[NumericQ[plunge4], If[rt4>sr, {0, 0},
If[rt4<si, {0, 0}, {-dφ[rt4, tt4], 0}]], {0, 0}];
 
ft0f=If[NumericQ[plunge0], If[rt0>sr, {0, 0},
If[rt0<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt0, δt0, δr0, δθ0, δφ0]]}]], {0, 0}];
ft1f=If[NumericQ[plunge1], If[rt1>sr, {0, 0},
If[rt1<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt1, δt1, δr1, δθ1, δφ1]]}]], {0, 0}];
ft2f=If[NumericQ[plunge2], If[rt2>sr, {0, 0},
If[rt2<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt2, δt2, δr2, δθ2, δφ2]]}]], {0, 0}];
ft3f=If[NumericQ[plunge3], If[rt3>sr, {0, 0},
If[rt3<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt3, δt3, δr3, δθ3, δφ3]]}]], {0, 0}];
ft4f=If[NumericQ[plunge4], If[rt4>sr, {0, 0},
If[rt4<si, {0, 0}, {0, Min[2, shf[rt4, δt4, δr4, δθ4, δφ4]]}]], {0, 0}];
 
ft5h=If[NumericQ[plunge5], {φt5+(tt5+r0) ωφ, θt5+π/2+(tt5+r0) ωθ}, {0, -π/2}];
ft5b=If[NumericQ[plunge6], If[rt6<If[Element[R1, Reals], R1, 0], {0, -π/2},
If[rt6>4 R0, {0, -π/2}, {φt6-π, θt6+π/2}]], {0, -π/2}];
 
{
ft0s, ft1s, ft2s, ft3s, ft4s,
ft0s+ft0v, ft1s+ft1v, ft2s+ft2v, ft3s+ft3v, ft4s+ft4v,
ft0f, ft1f, ft2f, ft3f, ft4f,
ft5h, ft5b
}]];
 
mem : raytrace[{Ф_, ϑ_}] := mem = raytracer[{Ф, ϑ}];
 
ray01[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[01]];
ray02[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[02]];
ray03[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[03]];
ray04[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[04]];
ray05[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[05]];
 
ray06[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[06]];
ray07[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[07]];
ray08[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[08]];
ray09[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[09]];
ray10[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[10]];
 
ray11[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[11]];
ray12[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[12]];
ray13[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[13]];
ray14[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[14]];
ray15[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[15]];
 
ray16[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[16]];
ray17[{Ф_, ϑ_}] := raytrace[{Ф, ϑ}][[17]];
 
width1  = ImageDimensions[pic1][[1]]; height1 = ImageDimensions[pic1][[2]];
width2  = ImageDimensions[pic2][[1]]; height2 = ImageDimensions[pic2][[2]];
width3  = ImageDimensions[pic3][[1]]; height3 = ImageDimensions[pic3][[2]];
width4  = ImageDimensions[pic4][[1]]; height4 = ImageDimensions[pic4][[2]];

hzoom   = If[breite>2 hoehe, 1/zoom, 1/zoom/2/hoehe*breite];
vzoom   = If[breite>2 hoehe, 1/zoom*2 hoehe/breite, 1/zoom];

"approximate time remaining" -> 1.2 (AbsoluteTiming[Do[raytracer[{
RandomReal[{-π, π}]/zoom, RandomReal[{-π/2, π/2}]/zoom
}], {ü, 1, 50}]][[1]])/50*hoehe*breite/kernels/60 "minutes"
 
FOV->{360.0 hzoom "degree", 180.0 vzoom "degree"}
 
img = ParallelTable[{

(* 1 Hintergrundpanorama *)
ImageTransformation[pct1, ray17, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{-π, π-2π/width1},
{-π/2, 3π/2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+x+vvs/vzoom, -π/2+x+vvs/vzoom+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 2 Sphäre *)
ImageTransformation[pct2, ray16, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{-π, π-2π/width2},
{-π/2, 3π/2}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+x+vvs/vzoom, -π/2+x+π/kernels/grain+vvs/vzoom} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 3 Scheibe Textur *)
ImageTransformation[pic3, ray01, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width3},
{si, sr+(sr-si)/height3}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"],

(* 4 Scheibe Geometrie *)
ImageTransformation[pic4, ray01, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{
{0, 2π-2π/width4},
{si, sr}
},
PlotRange->{
{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom,
{-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom
},
Resampling->rsp, Padding->"Periodic"]

}, {x, 0, π-π/kernels/grain, π/kernels/grain}];

image[num_] := ImageAssemble[{Table[{img[[x, num]]}, {x, kernels grain, 1, -1}]}];
fi[x_] := ColorNegate[x];

Grid[{Table[image[n], {n, 1, 4, 1}]}]

Output (in diesem Beispiel mit unbewegter Scheibe und ruhendem Beobachter, r=100, θ=70°, rk=3, ri=3, ra=7):

Aberration mit vr=vθ=0, vφ=0.95 (ArcSin[vφ]=71.8°) auf θ=70°; rk=3, ri=4, ra=7; 1. Zeile: r=40, r=30, 2. Zeile: r=20, r=10:

◎ zusätzliche Rot/Blauverschiebung durch die Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung des Beobachters: Bild

Code: Alles auswählen

pic=Import["http://yukterez.net/mw/gradient2.png"];                   (* Frequenzgradient *)

vr = -0.5;                                          (* radiale Geschwindigkeitskomponente *)
vφ = +0.5;                                        (* azimutale Geschwindigkeitskomponente *)
vθ = +0.5;                                           (* polare Geschwindigkeitskomponente *)

ς  = +1;                                                                         (* Lapse *)

width  = 120;                                                                 (* Bildhöhe *)
height = 60;                                                                (* Bildbreite *)

v  = +Sqrt[vr^2+vθ^2+vφ^2];
If[v>1, Print["Error: v > 1: v" -> v], Print["v" -> v]];

dΘ = +Limit[ArcCos[-vθ/Sqrt[vR^2+vθ^2+vφ^2]], vR->vr];
dθ = If[vr>0, -dΘ, +dΘ];
dΦ = +Limit[ArcTan[Abs[vφ]/vR], vR->vr];
dφ = If[vr!=0, -1, 1] If[vφ<0, +1, -1] If[NumericQ[dΦ], dΦ, π/2];
dψ = 0 If[vr<0, 0, π];

f[{φ_,θ_}] := {0, ς/(1-v Cos[θ-π/2]) Sqrt[1-v^2]};            (* winkelabhängige Frequenz *)

img = ImageTransformation[pic, f, {width, height},                     (* Frequenzbereich *)
DataRange->{{-1, 1}, {0, 2}}, 
PlotRange->{{-π, π}, {-π/2, π/2}}, 
Padding->"Fixed"];

xyz[{x_,y_}] := {Sin[y] Cos[x],Sin[y] Sin[x],Cos[y]};                  (* Rotationsmatrix *)
Xyz[{x_,y_,z_},dφ_] := {x Cos[dφ]-y Sin[dφ],x Sin[dφ]+y Cos[dφ],z};
xYz[{x_,y_,z_},dθ_] := {x Cos[dθ]+z Sin[dθ],y,z Cos[dθ]-x Sin[dθ]};
xyZ[{x_,y_,z_},dψ_] := {x,y Cos[dψ]-z Sin[dψ],y Sin[dψ]+z Cos[dψ]};
xy[{x_,y_,z_}] := {ArcTan[x,y],ArcCos[z]};

fpt[{x_, y_}] := {If[y<0, x+1, x], If[y<0, -y, y]};                              (* Range *)
pct = ImageTransformation[img, fpt, DataRange->{{-1, 1}, {0, 1}},
PlotRange->{{-1, 1}, {-1, 1}}, Padding->"Periodic"];

rm[pct_,dφ_,dθ_,dψ_] := xy[xyZ[xYz[Xyz[xyz[pct], dφ], dθ], dψ]];              (* Rotation *)
RM[{x_,y_}] := rm[{x,y}, dφ, dθ, dψ];

red = ImageTransformation[pct, RM,               (* Output im 360°x180° Plattkartenformat *)
DataRange->{{-π, π}, {-π, π}}, 
PlotRange->{{-π, π}, {0, π}}, 
Padding->"Periodic"]

◎ Solver für ISCO und Kreisbahngeschwindigkeit: Bild

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || Orbital Velocity & ISCO Solver | yukterez.net | 16.07.2019 | Simon Tyran, Vienna || *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

ClearAll["Global`*"];  

a    = 0.7;                                                              (* Spinparameter *)
℧    = 0.7;                                     (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)

si  = rP;                                       (* untere Grenze, prograder Photonenkreis *)
sr  = 10;                                                                 (* obere Grenze *)
st  = 0.02;                                       (* Interpolationsintervall für den Plot *)

Σ[я_] := я^2;                                    (* Komponenten für die äquatoriale Ebene *)
Δ[я_] := я^2-2 я+a^2+℧^2;
Χ[я_] := (я^2+a^2)^2-a^2 Δ[я];
κ[я_] := a;

rA  = 1+Sqrt[1-a^2-℧^2];                                                      (* Horizont *)
rE  = 1+Sqrt[1-℧^2];                                                        (* Ergosphäre *)
R0  = If[Element[rA, Reals], rA, 0];                                     (* Mindestradius *)
 
rp = rf/.Solve[4 a^2 (rf-℧^2)-(rf^2-3 rf+2 ℧^2)^2 == 0 && rf >= R0, rf];
rP = Min[rp]; Rp = Max[rp];                    (* prograder und retrograder Photonenkreis *)

isco =                                                 (* innermost stable circular orbit *)
Quiet[RI/.NSolve[0 == RI (6 RI-RI^2-9 ℧^2+3 a^2)+4 ℧^2 (℧^2-a^2)-8 a (RI-℧^2)^(3/2) && 
RI >= R0, RI]];

{"r horizon" -> [email protected], "r ergosphere" -> [email protected], "r isco" -> [email protected][isco], 
"r photon pro" -> [email protected][rp], "r photon ret" -> [email protected][rp], "r disk" -> [email protected]}
 
j[v_]  := Sqrt[1-v^2];                                          (* inverser Lorentzfaktor *)
Ы[я_]  := Sqrt[Χ[я]/Σ[я]];                                     (* axialer Gyrationsradius *)
ωs[я_] := (a (2 я - ℧^2))/Χ[я];                                         (* Frame Dragging *)
 
ε[я_]  := Sqrt[Δ[я] Σ[я]/Χ[я]]/j[v]+Lz[я] ωs[я];                         (* Gesamtenergie *)
Lz[я_] := v Ы[я]/j[v];                                                   (* Bahndrehimpuls*)
 
red[я_] := Quiet[Reduce[                                                   (* Gleichungen *)
dt == (Lz[я] (-a (a^2+я^2)+Δ[я] κ[я])+ε[я] ((a^2+я^2)^2-Δ[я] κ[я]^2))/(Δ[я] Σ[я])
&&
0 == ((a^2+(-2+я) я+℧^2) (16 a dt dΦ я (я-℧^2)+8 dt^2 я (-я+℧^2)+dΦ^2 я (8 я (-a^2+
я^3)+a^2 (4 a^2+4 ℧^2-4 (a-℧) (a+℧)))))/(8 я^6)
&&
dΦ == (Lz[я] (-a^2+Δ[я])+ε[я] (a (a^2+я^2)-Δ[я] κ[я]))/(Δ[я] Σ[я])
&&
v > 0,
{v, dΦ, dt},
Reals]];
                                                                    (* Lösung nach Radius *)
sol[x_, я_] := If[[email protected][red[я][[x, 2]]], red[я][[x, 2]], 0]
                                                                 (* Interpolationstabelle *)
vs = Interpolation[Table[{я, sol[1, я]}, {я, si, sr, st}]];
φs = Interpolation[Table[{я, sol[2, я]}, {я, si, sr, st}]];
ts = Interpolation[Table[{я, sol[3, я]}, {я, si, sr, st}]];
                                                                          (* Plotfunktion *)
plot[func_, label_] := Plot[func, {я, rP, sr}, 
GridLines -> {{Min[rp], Max[rp], rA, si, Min[isco], Max[isco], rE, sr}, {}},
Frame -> True, ImagePadding -> {{40, 1}, {12, 1}}, ImageSize -> 340, PlotLabel -> label, 
PlotRange->{{0, sr}, Automatic}]
                                                                                 (* Plots *)
plot[Sqrt[Χ[я]/Δ[я]/Σ[я]],                      "Gravitational time dilation: y=dt/dт, x=r"]
plot[ts[я],                                             "Total time dilation: y=dt/dτ, x=r"]
plot[(a (2 я-℧^2))/((a^2+я^2)^2-a^2 (a^2-2 я+я^2+℧^2)),     "Frame dragging: y=dφ/dт, x=r"]
plot[φs[я]/ts[я],                           "Shapirodelayed angular velocity: y=dφ/dt, x=r"]
plot[φs[я],                                                "Coordinate speed: y=dφ/dτ, x=r"]
plot[vs[я],                                                "Local velocity: y=v=dl/dτ, x=r"]

r0 = Min[isco];                                                       (* Radialkoordinate *)

"r isco"  -> r0 "GM/c²"                                                         (* r isco *)
"dt/dτ "  -> sol[3, r0] "sec/sec"                                      (* totale ZD dt/dτ *)
"dt/dт "  -> Sqrt[Χ[r0]/Δ[r0]/Σ[r0]] "sec/sec"                    (* gravitative ZD dt/dт *)
"dφ/dτ "  -> sol[2, r0] "c³/G/M"                        (* Koordinatenschnelligkeit dφ/dτ *)
"dφ/dt "  -> sol[2, r0]/sol[3, r0] "c³/G/M"      (* shapiroverzögerte Winkelgeschw. dφ/dt *)
"v     "  -> sol[1, r0] "c"                  (* prograde Kreisbahngeschwindigkeit v lokal *)

⍟ Stereographische Projektion: Bild

Code: Alles auswählen

Eq2St[{x_,y_}]:={0+ArcTan[-y,x],-2ArcTan[2,Sqrt[x^2+y^2]]+π/2};
St=ImageTransformation[pic,Eq2St,DataRange->{{-π,π},{-π/2,π/2}},PlotRange->{{-2π,2π},{-2π,2π}}]

Code Syntax: Mathematica. Archiv der alten Versionen, Testmodule und Extras: Bild

verwandte Themen: Bild

Kartographie, Kerr-Newman Metrik, Gravitationslinsen

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 31. Mär 2018, 13:29

◩ Code Version A, rechtwinkelige Leinwand
Bild

Konstruktion der Sichtebene:

Die türkis gestrichelte Kurve zeigt was man dort wo man im flachen Raum die linke untere Ecke des Bildes sehen würde sieht (dadurch erscheint das gravitationsgelinste Bild größer als das unverzerrte). Vorläufige Testbilder mit M=Q=a=0 (Vakuum), a=Q=0 (Schwarzschild) und a=M (extremal Kerr), erstellt mit auf 500 begrenzten Integrationsschritten pro Pixel; Perspektive: äquatorial.

Das schwarze Loch befindet sich relativ zum Betrachter in einer kartesischen Entfernung von 20GM/c². Der Mittelpunkt des betrachteten Bilds das sich auf einer rigiden stationären Leinwand die rechtwinkelig zur Sichtachse des Beobachters steht befindet ist ebensoweit vom schwarzen Loch, und damit doppelt so weit vom Betrachter entfernt. Die projizierte Sichtebene beträgt 60x60(GM/c²)²; alle Lichtstrahlen die von wo anders als der Leinwand kämen werden grau dargestellt.

Die projizierte Sichtebene in der Entfernung des schwarzen Lochs ist wegen der halben Entfernung damit 30x30(GM/c²)². Der Durchmesser des Schattens des schwarzen Lochs beträgt ca. 1/3 und damit 10GM/c², was einem Radius von ca. 5GM/c² entspricht (zum Vergleich siehe die semianalytische Konturlösung auf gravitylense.yukterez.net):

In der unteren (also der mittleren) Reihe befindet der Beobachter sich 100 Mal weiter vom schwarzen Loch entfernt, in einem kartesischen Abstand von 2000GM/c². Die Leinwand befindet sich ebensoweit in die andere Richtung vom SL entfernt; durch den nun spitzeren Sichtwinkel und den kleineren Impact Parameter der Photonen ergibt sich jetzt eine sehr viel stärkere Verzerrung.

Ohne schwarzes Loch im Vordergrund würde man innerhalb des Sichtwinkels im Zoom das gleiche Bild wie oben links, bzw. unten links in der Mitte (die 4 bekannten Kästchen) sehen; das heißt die höhere Entfernung wird durch höheren Zoom kompensiert, so dass das schwarze Loch den gleichen Winkeldurchmesser hat wie im oberen Beispiel (die Kamera ist immer noch auf das nun 100 mal weiter entfernte und rot umrahmte Quadrat von 30GM/c² Kantenlänge fokussiert):

Der graue Bereich symbolisiert wieder den Bereich wo keine Photonen von der Leinwand, aber theoretisch welche von seitwärts derselben beim Betrachter ankommen können (siehe nächstes Kapitel). Im komplett schwarzen Bereich würden weder Photonen von der Leinwand noch von sonst irgendwo im Raum das Auge des Betrachters treffen.

Die gerade Leinwand wird auf den y,z-Achsen bis in die Unendlichkeit fortgesetzt und das Bild wie unten links auf dieselbe gekachelt, da man ansonsten nicht viel sehen würde weil das Bild in der Entfernung vom Schatten des schwarzen Lochs verdeckt werden würde. Unterste Reihe: nackte Singularitäten mit Q=2M, a²+Q²=2M² und a=2M, Abstände wie in der mittleren Reihe:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Fr 6. Apr 2018, 00:28

◐ Code Version G, Panorama
Bild

Konstruktion der Sichtebene:

Also im Prinzip wie oben, aber mit Mapping des gesamten Umfelds um auch Licht das von außerhalb der Leinwand ins Sichtfeld der Kamera gebogen wird einzufangen. Fokus auf einen kleinen Bereich simuliert eine Lochkamera, während eine Plot-Range von φ=-π..π und θ=-π/2..π/2 ein 360° Kugelpanorama ergibt. Das gesamte Kugelsphärenpanorama wird dann ins Plattkartenformat exportiert und kann danach in jedes beliebige andere Format transformiert oder anderweitig projiziert werden. In den folgenden Beispielen wird der Beobachter auf r=50GM/c² platziert und das Himmelszelt auf R=1000GM/c² aufgespannt.

Bild

Sphärischer Hintergund: Milchstraßenpanorama (360°-Aufnahme im Plattkartenformat, Fotocredit ESO/José Francisco). Zoom auf den Bereich vor dem das schwarze Loch platziert wird; ungelinste Ansicht ohne das schwarze Loch im Vordergrund, FOV=120°×60°:

Schwarzschild: M=1, a=0, ℧=0 → ℳ=1 - einfaches schwarzes Loch, Beobachter auf r=50GM/c², θ=egal (kugelsymmetrisch), FOV=120°×60°:

Reissner-Nordström: M=1, a=0, ℧=1 → ℳ=½ - geladenes SL, Beobachter auf r=50GM/c², θ=egal (kugelsymmetrisch), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√½, ℧=√½ → ℳ=√(3/8) - Geladen und rotierend, Beobachter auf r=50GM/c², θ=90° (äquatorial), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√½, ℧=√½ → ℳ=√(3/8) - Geladen und rotierend, Beobachter auf r=50GM/c², θ=45° (schräg), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√½, ℧=√½ → ℳ=√(3/8) - Geladen und rotierend, Beobachter auf r=50GM/c², θ=1° (polar), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=1, ℧=0 → ℳ=√½ - Beobachter auf r=50GM/c², θ=90° (äquatorial), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=1, ℧=0 → ℳ=√½ - Beobachter auf r=50GM/c², θ=45° (schräg), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=1, ℧=0 → ℳ=√½ - Beobachter auf r=50GM/c², θ=1° (polare Ausrichtung, Rotation gegen den Uhrzeigersinn), FOV=120°×60°:

Einheiten: G=M=c=k=1. M=Massenäquivalent der Gesamtenergie, ℳ=irreduzible Masse, a=Spinparameter, ℧=Ladung G=Gravitationskonstante, k=Coulombkonstante, c=Lichtgeschwindigkeit. Die Gesamtenergie Mc² des schwarzen Lochs ist in allen obigen Szenarien gleich, aber unterschiedlich auf irreduzible Masse, Rotationsenergie und elektromagnetische Feldenergie aufgeteilt.

Bild

Polare und äquatoriale Ansicht eines Kerr-SL mit a=0.99, im unteren Bild mit eingeblendeten Horizonten und Ergosphären (ein Beobachter würde diese natürlich nicht sehen). Die θ-Ausrichtung des SL läuft von 1° (polare Ansicht) bis 90° (äquatoriale Ansicht):

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Fr 6. Apr 2018, 17:52

Rohmaterial: Panoramaphoto geschossen von Masato OHTA (heiwa4126), Source: Commons, Ort: Tokyo. Assumptions: alles im Panorama ist sehr viel weiter vom Beobachter entfernt als das schwarze Loch. Hier wird nur der Gravitationslinseneffekt gezeigt, nicht aber die Zerstörung die ein SL in so einem Szenario anrichten würde.
Bild

SL: M=1, a=1, ℧=0. FOV=360°×180°, ungelinstes Panorama:

Zoom auf die Stelle an der das schwarze Loch platziert wird, Ф=0°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Das schwarze Loch ist r=50GM/c² vom Beobachter entfernt. Position, Fokus und Zoom auf Ф=0°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 20GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=0°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Blick in die entgegengesetzte Richtung, FOV=360°×180°:

Zoom auf die Stelle an der das schwarze Loch platziert wird, Ф=0°, θ=180°, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 50GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=180°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 20GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=180°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Hier wird das schwarze Loch auf halber Höhe über der Skyline platziert; Ansicht ohne SL, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 50GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=180°, θ=-45°, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 20GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=180°, θ=-45°, FOV=103.2°×61.4°:

Video: 360° Korotation eines ZAMO (bei r=20 benötigt ein voller Umlauf 8022πGM/c³ Eigenzeit), Video: ogg & mp4, FOV=103.2°×61.4°:

Ausrichtung des SL, relative Perspektive des Beobachters: Edge On (äquatoriale Ansicht: θ=90°). Die linke Seite des SL rotiert auf den Betrachter zu, und die rechte von ihm weg (siehe auch hier).

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 7. Apr 2018, 18:08

Optische Erscheinung eines ungefütterten Kerr-Newman SL mit a=0.7, ℧=0.7 im System eines bewegten Beobachters; die farbigen Bilder zeigen die durch die Bewegung des Beobachters und die gravitative Zeitdilatation verursachte Rot/Blauverschiebung des Hintergrundpanoramas (der rein gravitative Anteil der Blauverschiebung auf der Beobachterposition r=5, θ=90° ist fo/fe=1.26759). Das Fadenkreuz in der Mitte der Bilder ist auf die tatsächliche Position des Schwerpunkts des schwarzen Lochs ausgerichtet.
Bild

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=+0.4483895 (prograde Kreisbahngeschwindigkeit), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Geschwindigkeit: lokal ruhender ZAMO, v=0 (v relativ zu den Fixsternen: 0.0666), r=5, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.45 (retrograd), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.6467319 (retrograde Kreisgeschwindigkeit), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.675, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.8, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.9, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.99, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.999, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.9999, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Radialgeschwindigkeit: vr=-0.614523 (Freifall), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Radialgeschwindigkeit: vr=-0.78273, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Radialgeschwindigkeit: vr=+0.614523 (Fluchtgeschwindigkeit), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Radialgeschwindigkeit: vr=+0.78273, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Gesamtgeschwindigkeit: v=0.866, vr=-0.5, vθ=-0.5, vφ=+0.5 (prograd und Richtung Nordpol auf das SL zu), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Projektion des Sichtfelds aus dem letzten Beispiel auf eine Kugel; links: ungelinst, Mitte: gelinst, rechts: Frequenzverschiebung

Bild

Vergleich der Verzerrung: Milchstraßenpanorama vs Checkerboard Hintergrund, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Rohmaterial Panoramafotos, links: ESO, Mitte: Paul Bourke. Checkerboard rechts: äquatorial und polar

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 9. Apr 2018, 19:16

Die folgenden überextremen Lösungen beschreiben keine schwarzen Löcher, und kommen in der Natur vermutlich nicht so vor. Da sie aber dennoch von theoretischem Interesse sind bekommen sie ebenfalls eine Gallerie. Wie im oberen Beitrag mit den schwarzen Löchern ist auch hier die Gesamtenergie Mc² der nackten Singularitäten in allen Beispielen gleich, aber verschieden aufgeteilt.
Bild

Standbilder (a²+℧²=2², zum Vergrößern auf die Bilder klicken)
Bild

relativistic raytracing of the shadow and the gravitational lensing of naked singularities
Reissner-Nordström: M=1, a=0, ℧=2 → ℳ=½+i√¾ - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=egal (kugelsymmetrisch), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√2, ℧=√2 → ℳ=∜(3/16)·(1+i) - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=90° (äquatorial), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√2, ℧=√2 → ℳ=∜(3/16)·(1+i) - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=45° (schräg), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√2, ℧=√2 → ℳ=∜(3/16)·(1+i) - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=1° (polar), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=2, ℧=0 → ℳ=√¾+i/2 - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=90° (äquatorial), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=2, ℧=0 → ℳ=√¾+i/2 - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=45° (schräg), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=2, ℧=0 → ℳ=√¾+i/2 - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=1° (polar), FOV=120°×60°:

Videos: äquatoriale Orbits (60 fps, a²+℧²=1.01²)
Bild

Reissner Nordström, M=1, a=0, ℧=1.01 - nackte Singularität. Beobachter: r=20GM/c², θ=90°, FOV=154.8°×77.4°:

Kerr, M=1, a=1.01, ℧=0 - nackte Singularität. Beobachter: r=20GM/c², θ=90°, FOV=154.8°×77.4°:

Kerr Newman, M=1, a=0.7141778, ℧=0.7141778 - nackte Singularität. Beobachter: r=20GM/c², θ=90°, FOV=154.8°×77.4°:

Animation für verschiedene Polarwinkel: naked.singularity.yukterez.net
Die Videos sind auch in Full HD verfügbar (dann brauchen sie aber auch entsprechend länger um zu laden): pewtube.com/user/Yukterez_Net. Vergleich: Waseda, S.14 und DeVries, S.20

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Di 10. Apr 2018, 00:01

a=+1, Beobachter auf r=50, ri=1.01, ra=7, Scheibentextur: scheibe.png, geometrische Verzerrung:

Selbe Tabelle wie oben mit Falschfarbcodierung, weiße Linien markieren den Übergang zwischen Rot- und Blauverschiebung:

Proberechnung: Project Kerr 599 (links) vs Yukterez (rechts), a=-0.6, θ=86°, ri=4, ra=10, Scheibentextur: akkr.png mit Transparenz und Glow

Erklärung, andere Beispiele und Vergleiche: siehe hier, hier & hier.

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 1. Jul 2019, 06:53

Reissner Nordström, schwarzes Loch, Blickwinkel: θ=85° (FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei prograder relativistischer Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 1. Jul 2019, 06:53

Reissner Nordström, schwarzes Loch, Blickwinkel: θ=45° (FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 1. Jul 2019, 06:54

Kerr Newman, schwarzes Loch, Blickwinkel: θ=85° (isco=1.313818, FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 1. Jul 2019, 06:55

Kerr Newman, schwarzes Loch, Blickwinkel: θ=45° (FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 6. Jul 2019, 23:36

Nackte Singularität, θ=85° (FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 6. Jul 2019, 23:37

Nackte Singularität, θ=45° (FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mi 10. Jul 2019, 07:19

Separate Ansicht der Lichtechos aus dem vorherigen Beispiel (a=1, ℧=0.3, θ=45°, r=50, ri=1, ra=10, FOV=30°×24°):

Zoom auf das Fenster in den negativen Raum, auch Antiwelt genannt (blau markiert). FOV=10°×8°:

Der Bereich zwischen der nackten Ringsingularität (r=0, R=a=1) und dem Innenrand der Akkretionsscheibe (r=1, R=√2) ist gravitativ abstoßend, weswegen dort auch keine Orbits (weder stabil noch unstabil) möglich sind. Wie es hinter dem Fenster zwischen dem Ring aussieht und ob die Welt dahinter leer und dunkel oder bevölkert und hell ist ist unbekannt und bis auf weiteres der Phantasie des Betrachters überlassen, weswegen der Bereich am Bild ausgespart ist. Für mehr zum Thema siehe auch hier und hier.

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mi 10. Jul 2019, 07:20

Parameter wie beim Interstellar SL "Gargantua", jedoch mit gleichmäßiger und transparenter Scheibentextur:

Photoshop Aktionen für die Post Production: raytrace.ps.zip

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » So 21. Jul 2019, 06:25

Erde mit Ring, Beobachter ruhend beim 6.667fachen Erdradius:

Mit vφ=0.95 auf r=6.667rk, θ=70° kreisender Beobachter (Aberrationswinkel Δφ=ArcSin[vφ]=71.8°):

Ruhender Beobachter beim 3.333fachen Erdradius:

Auf r=3.333rk, θ=70° kreisender Beobachter (vφ=0.95):

Siehe auch der Ball ist rund und rollende Räder.

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » So 21. Jul 2019, 06:25

Mathematischer Anhang (im Aufbau):
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1) Geschwindigkeitskomponenten der beim Betrachter eintreffenden Strahlen
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Das schwarze Loch befindet sich im lokalen Koordinatensystem des Beobachters auf {x,z}={0,0}. Der {x,y,z}-Vektor eines geradewegs von vorne kommenden Photons ist daher

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Rotation entlang der x-Achse:

$Bild$

Rotation entlang der z-Achse:

$Bild$

Normierter Geschwindigkeitsvektor der eintreffenden Strahlen im euklidschen Referenzsystem:

$Bild$

Übersetzung in den lokalen Tetrad eines ZAMO:

$Bild$

Normierung:

$Bild$

Aberration bei lokaler (relativ zum ZAMO) Beobachtergeschwindigkeit {ur,uθ,uФ}:

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mit den Komponenten

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Radiale Komponente:

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Polare Komponente:

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Azimutale Komponente:

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Das sind die Endbedingungen der im Auge des Betrachters auf der {α,β}-Sichtebene eintreffenden Strahlen. Diese werden hernach rückwärts integriert bis sie die Ebene des Interesses, in dem Fall ein auf R>>r aufgespanntes Kugelpanorama, treffen.
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2) Bewegungsgleichung der Photonen und Partikel:
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Erste Ableitung:

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Zweite Ableitung:

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mit den Christoffelsymbolen

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Für die aufsummierten Terme in expliziter Form siehe den Faden über die Kerr Newman Metrik.
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3) Bildtransformation
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Nun wird numerisch nach der Eigenzeit bzw. dem affinen Parameter bei dem das Photon in der Region des Interesses (in dem Fall auf der auf R aufgespannten Kugelschale) war gesolved:

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Die für τ berechneten {Ф,θ} Koordinaten des Lichtstrahls werden dann vom Rohmaterial im Plattkartenformat auf die lokale Sichtebene gemappt:

$Bild$
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4) Akkretionsscheibe
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Mapping des Rohmaterials auf die {r,Ф} statt auf die {Ф,θ} Ebene, Versatz um ΔФ=t·ω oder ΔФ=t/ṫ·uФ (Koordinatenzeit mal Framedragging Winkelgeschwindigkeit oder Kreisorbitwinkelgeschwindigkeit)
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5) Frequenzverschiebung
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wobei vdisc die lokale Kreisbahngeschwindigkeit der Scheibe ist, und vφ die axiale lokale Geschwindigkeitskomponente des Photons wenn es die Scheibenebene kreuzt. ς ist die gravitative Zeitdilatation des ZAMO auf der Position des Beobachters, und ṫ die gesamte Zeitdilatation dt/dτ auf der kreisenden Scheibe. Für einen lokal bewegten Beobachter kommt noch die kinematische Rot/Blauverschiebung hinzu.
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6) Horizontoberfläche
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Wie 3), nur auf r+ statt auf R und mit ΔФ
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