Relativistischer Raytracer

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Do 29. Mär 2018, 14:12

|Kerr Newman || Kerr || Reissner Nordström || Schwarzschild || Geodäsie || Paraboloid || Gravitationslinsen || Projektionen || Kartographie Bild

Das ist die deutschsprachige Version. Bild

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|Inhalt: Codes || Leinwand || Milchstraße || Landschaft || Aberration || Nackte Singularitäten || Akkretionsscheibe || Anhang
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ungelinste (oben) und gravitationsgelinste Ansicht (unten) eines rotierenden und geladenen Kerr Newman SL mit Akkretionsscheibe, FOV=90°×45°:

Codes (Syntax: Wolfram)
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☑ Version A: rechtwinkelige Leinwand; Strahlen die ihren Ursprung außerhalb der Leinwand haben werden nicht gerendert, da diese als die einzige Lichtquelle in einer ansonsten dunklen Umgebung behandelt wird:

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* > raytracing.yukterez.net | 07.04.2018 | 3A | Kerr Newman Metrik | Simon Tyran, Vienna *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];

rA = 1+Sqrt[1-a^2-℧^2];
wp = MachinePrecision;

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 1) Startbedingungen und Position des Beobachters ||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

r0 = Sqrt[X0^2-a^2];                                                       (* Startradius *)
θ0 = π/2;                                                                  (* Breitengrad *)
φ0 = 0;                                                                     (* Längengrad *)
a  = 9/10;                                                               (* Spinparameter *)
℧  = 2/5;                                       (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)
v0 = 1;                                                         (* Anfangsgeschwindigkeit *)
μ  = 0;                                                                         (* Photon *)
X0 =-20;                                                   (* Ebene des verzerrten Bildes *)
tmax = 4/3(X0-r0);                                      (* zeitlicher Integrationsbereich *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 2) Geschwindigkeitskomponenten der auf der Sichtebene eintreffenden Strahlen ||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

fPlaneA[{x_,y_,z_}] := Solve[1==(x/y vφ0)^2+(z/y vφ0)^2+vφ0^2 && vr0==x/y vφ0 && vθ0==z/y vφ0 && vr0>0, {vr0,vθ0,vφ0}];
fPlaneB[{x_,y_,z_}] := Solve[1==(x/z vθ0)^2+(y/z vθ0)^2+vθ0^2 && vr0==x/z vθ0 && vφ0==y/z vθ0 && vr0>0, {vr0,vθ0,vφ0}];
fPlaneC[{x_,y_,z_}] := Solve[1==vr0 && 0==vφ0 && 0==vθ0, {vr0,vθ0,vφ0}];
fPlaneD[{x_,y_,z_}] := If[y==0, If[z==0, fPlaneC[{x,y,z}], fPlaneB[{x,y,z}]], fPlaneA[{x,y,z}]];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 3) Metrische Koeffizienten ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

Σ = r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
Δ = r0^2-2 r0+a^2+℧^2;
Χ = (r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 Δ;

gtt = (2r0-℧^2)/Σ-1;
grr = Σ/Δ;
gθθ = Σ;
gφφ = Χ/Σ Sin[θ0]^2;
gtφ =-a (2r0-℧^2) Sin[θ0]^2/Σ;
fPlane0[{y_,z_}] := fPlaneD[{2X0,y,z}];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 4) Raytracing Funktionscontainer ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

raytrace[{ϒ_,Ζ_}] :=

Quiet[Module[{tMax, vr0i, vθ0i, vφ0i, vr0a, vθ0a, vφ0a, vt0a, DGL, sol, ε, Lz, pθ0, pr0, Q, k, t10, r10, Θ10, Φ10, т0, plunge, plunge2, R1, X1, X, Y, Z, rt, θt, φt, т, τ, t, r, θ, φ, stepsize, laststep, mta},

vr0a = (vr0/.fPlane0[{ϒ,Ζ}][[1,1]]) Sqrt[grr];
vθ0a = (vθ0/.fPlane0[{ϒ,Ζ}][[1,2]]) Sqrt[gθθ]/r0;
vφ0a = (vφ0/.fPlane0[{ϒ,Ζ}][[1,3]]) Sqrt[gφφ]/r0/Sin[θ0];

vt0a = Sqrt[vr0a^2+vφ0a^2+vθ0a^2];

vr0i = vr0a/vt0a;
vφ0i = vφ0a/vt0a;
vθ0i = vθ0a/vt0a;

mta = {"EventLocator","Event"->(r[τ]-101/100 rA)};

DGL = {
 
t''[τ]==(4 (((a^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]+2 (℧^2-r[τ]) r[τ]) (a^2+r[τ]^2) r'[τ] t'[τ])/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2)+a^2 (-℧^2+2 r[τ]) Sin[2 θ[τ]] t'[τ] θ'[τ]-(1/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))a (a^4+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4-3 a^2 r[τ] (-℧^2+r[τ])+a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+(℧^2-r[τ]) r[τ])) Sin[θ[τ]]^2 r'[τ] φ'[τ]-2 a^3 Cos[θ[τ]] (-℧^2+2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 θ'[τ] φ'[τ]))/(a^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]+2 r[τ]^2)^2,
 
t'[0]==-((a (2 r0-℧^2) Sin[θ0]^2 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Csc[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θ0]^2)))+\[Sqrt](((vr0i^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)+vθ0i^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(a^2 (-2 r0+℧^2)^2 Sin[θ0]^4 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Csc[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)^2)-((2 r0-r0^2-℧^2-a^2 Cos[θ0]^2) Sin[θ0]^2 ((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2) (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Csc[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)^2))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θ0]^2)^2)),
t[0]==0,
 
r''[τ]==(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3))(-((8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(a^2+℧^2-a^2 Cos[θ[τ]]^2) r[τ]-r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 (r'[τ])^2)/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+℧^2 r[τ]-r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) (t'[τ])^2+16 a^2 Cos[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 Sin[θ[τ]] r'[τ] θ'[τ]+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) (θ'[τ])^2-16 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+℧^2 r[τ]-r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2 t'[τ] φ'[τ]+(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2 (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a^2-℧^2) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]]) r[τ]+16 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]^3+8 r[τ]^5-8 a^2 r[τ]^2 Sin[θ[τ]]^2+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) (φ'[τ])^2),
 
r'[0]==vr0i/Sqrt[(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)/(a^2+(-2+r0) r0+℧^2)],
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3))(-((16 a^2 Cos[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 Sin[θ[τ]] (r'[τ])^2)/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))-8 a^2 (℧^2-2 r[τ]) Sin[2 θ[τ]] (t'[τ])^2-32 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 r'[τ] θ'[τ]+16 a^2 Cos[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 Sin[θ[τ]] (θ'[τ])^2+16 a (℧^2-2 r[τ]) (a^2+r[τ]^2) Sin[2 θ[τ]] t'[τ] φ'[τ]+(a^4 (3 a^2-5 ℧^2+4 (a^2+℧^2) Cos[2 θ[τ]]+(a^2+℧^2) Cos[4 θ[τ]])+a^2 (11 a^2-8 ℧^2+4 (3 a^2+2 ℧^2) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]]) r[τ]^2+8 a^2 (2+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^4+8 r[τ]^6+8 a^4 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ] Sin[θ[τ]]^2+32 a^2 r[τ]^3 Sin[θ[τ]]^2) Sin[2 θ[τ]] (φ'[τ])^2),
 
θ'[0]==vθ0i/Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θ0]^2],
θ[0]==θ0,
 
φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))(-((8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+℧^2 r[τ]-r[τ]^2) r'[τ] t'[τ])/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+8 a Cot[θ[τ]] (℧^2-2 r[τ]) t'[τ] θ'[τ]+((a^2 (3 a^2+8 ℧^2+4 a^2 Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]]) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) r'[τ] φ'[τ])/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2)+Cot[θ[τ]] (a^2 (3 a^2-4 ℧^2+4 (a^2+℧^2) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+16 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]^2+8 r[τ]^4+16 a^2 r[τ] Sin[θ[τ]]^2) θ'[τ] φ'[τ]),
 
φ'[0]==(vφ0i ((-2+r0) r0+a^2 Cos[θ0]^2) Csc[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])))/((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)),
φ[0]==φ0
 
};

sol = NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ}, {τ, 0, tmax},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
Method-> mta,
InterpolationOrder-> All,
StepMonitor :> (laststep=plunge; plunge=τ;
stepsize=plunge-laststep;), Method->{"EventLocator",
"Event" :> (If[stepsize<2*^-2, 0, 1])}];

tMax = Max[tmax, plunge+1/10];

X[τ_] := Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Cos[φ[τ]]/.sol][[1]];
Y[τ_] := Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Sin[φ[τ]]/.sol][[1]];
Z[τ_] := Evaluate[r[τ] Cos[θ[τ]]/.sol][[1]];

т[coord_,dist_] := Quiet[ξ/.FindRoot[coord[ξ]-dist, {ξ,tMax 9/10,tMax,-1}]];
т0 = т[X,X0];

X1 = X[т0];R1=Evaluate[r[т0]/.sol][[1]];
Quiet[If[Round[X1] == Round[X0],{+Y[т0],-Z[т0]},If[R1>3,{0,0},{0,30}]]]]]

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 5) Testbild laden und transformieren ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

Eq=Import["http://666kb.com/i/ds8dprdq40nslgzsk.png"] (* Testbild *)
ImageTransformation[Eq,raytrace,DataRange->{{-30,30},{-30,30}},PlotRange->{{-30,30},{-30,30}},Padding->"Reflected"]

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* Code stabil, aber noch nicht auf Geschwindigkeit optimiert ||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

☑ Version G: sphärischer Hintergrund um auch Photonen die von jenseits der Leinwand kommen einzufangen. Als Layer für die umspannende Kugelschale können Bilder im Plattkartenformat verwendet werden; andere Formate müssen zuerst in dieses Format transformiert werden. Für die Aberration kann eine Orbitalgeschwindigkeit des Beobachters eingegeben werden. Deren Betrag muss kleiner als +1 sein, und wird relativ zum lokal drehimpulsfreien ZAMO bemessen. Ein negatives vr steht für eine radiale Bewegung auf das schwarze Loch zu und ein positives von ihm weg, ein positives vφ für eine prograde und ein negatives für eine retrograde, und ein positives vθ im Bereich φ=-π/2..+π/2 für eine Bewegung in Richtung Südpol, und ein negatives in Richtung Nordpol (und umgekehrt in der gegenüberliegenden Kugelschalenhälfte). Falls in gewissen Konfigurationen (insbesondere mit dem Beobachter sehr nahe am Horizont) Artefakte auftreten kann R0 auf 200 verringert und der Betrag von tmax erhöht werden.

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* > raytracing.yukterez.net | 29.04.2018 - 09.06.2019 | Version 7G | Simon Tyran, Vienna *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];
                                       
kernels = 5;                                                          (* Parallelisierung *)
grain   = 4;                            (* Subparallelisierung auf kernels*grain Streifen *)
breite  = 120;                                               (* Zielabmessungen in Pixeln *)
hoehe   = 120;          (* Höhe sollte ein ganzzahliges Vielfaches von kernels*grain sein *)
zoom    = 15;                                  (* doppelter Zoom ergibt halben Sichtwinkel *)
 
LaunchKernels[kernels]
wp = MachinePrecision;                                                     (* Genauigkeit *)

pic = Import["http://yukterez.net/mw/2/flip70.png"];         (* Hintergrundpanorama laden *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 1) Startbedingungen und Position des Beobachters ||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0   = 100;                                           (* Radialkoordinate des Beobachters *)
θ0   = 70 π/180;                                                           (* Breitengrad *)
φ0   = 0;                                                                   (* Längengrad *)
 
R0   = 500;                              (* Radius des umspannenden Kugelschalenpanoramas *)
tmax =-5 R0;                                            (* zeitlicher Integrationsbereich *)
 
a    = 0.7;                                                              (* Spinparameter *)
℧    = 0.7;                                     (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)
v0   = 1;                                                  (* Geschwindigkeit des Photons *)
 
vr   = 0;                                      (* Radiale Geschwindigkeit des Beobachters *)
vϑ   = 0;                                       (* Polare Geschwindigkeit des Beobachters *)
vφ   = 0;     (* Azimutale Geschwindigkeit des Beobachters: 0 für ZAMO, -й0 für stationär *)

hvs  = 0;                                            (* horizontaler Versatz in Radianten *)
vvs  = 0;                                              (* vertikaler Versatz in Radianten *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 2) Metrische Koeffizienten und Formeln ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Σ = r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
Δ = r0^2-2 r0+a^2+℧^2;
Χ = (r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 Δ;
μ = 0; q = 0;
 
gtt = (2r0-℧^2)/Σ-1;
grr = Σ/Δ;
gθθ = Σ;
gφφ = Χ/Σ Sin[θ0]^2;
gtφ =-a (2r0-℧^2) Sin[θ0]^2/Σ;
 
vθ  =-vϑ;
θi  =-θ0+π;
rA  = 1+Sqrt[1-a^2-℧^2];
й0  = (a (2 r0-℧^2) Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]);
 
U={+vr, +vθ, +vφ};
γ=1/Sqrt[1-Norm[U]^2];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 3) Rotationsmatrix für die auf der Sichtebene eintreffenden Strahlen ||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Xyz[{x_, y_, z_}, α_] := {x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};
xYz[{x_, y_, z_}, β_] := {x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};
xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_] := {x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]};
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 4) Raytracing Funktionscontainer ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
raytracer[{Ф_, ϑ_}] :=
 
Quiet[Module[{V, W, vw, vr0i, vθ0i, vφ0i, vr0n, vθ0n, vφ0n, vr0a, vθia, vφ0a, vt0a,
DGL, sol, ε, Lz, pθi, pr0, Q, k, t10, r10, Θ10, Φ10, т0, т1, R1, t, r, θ, φ, τ, plunge, plunge2,
X, Y, Z, rt, θt, φt, т, ξ, stepsize, laststep, mtl, mta, ft, fτ},
 
vw=xyZ[Xyz[{0, 1, 0}, ϑ], Ф+π/2];
                                 (* Übersetzung des Einfallswinkels in den lokalen Tetrad *)
vr0a = vw[[3]] Sqrt[grr];
vφ0a = vw[[2]] Sqrt[gφφ]/r0/Sin[θi];
vθia = vw[[1]] Sqrt[gθθ]/r0;
                                                                                (* Betrag *)
vt0a = Sqrt[vr0a^2+vφ0a^2+vθia^2];
                                                                            (* Normierung *)
vr0n = vr0a/vt0a;
vφ0n = vφ0a/vt0a;
vθ0n = vθia/vt0a;
                                              (* Relativistische Geschwindigkeitsaddition *)
V={vr0n, vθ0n, vφ0n};
W=(U+V+γ/(1+γ)(U\[Cross](U\[Cross]V)))/(1+U.V);
                                                                            (* Aberration *)
vr0i = W[[1]];
vθ0i = W[[2]];
vφ0i = W[[3]];
                                                                      (* Integrationsende *) 
 
DGL = {                                               (* Kerr Newman Bewegungsgleichungen *)
 
t''[τ]==-(((r'[τ] ((a^2+r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+
2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ]))+a (2 a^4 Cos[θ[τ]]^2+a^2 ℧^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]-
a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ])+a^2 θ'[τ] (Sin[2 θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])-2 a Cos[θ[τ]] (℧^2-
2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 φ'[τ]))/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2),
 
t'[0]==-((a (2 r0-℧^2) Sin[θi]^2 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2))))/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)))+\[Sqrt](((vr0i^2 (a^2-2 r0+
r0^2+℧^2)+vθ0i^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)+
(a^2 (-2 r0+℧^2)^2 Sin[θi]^4 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+
r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)-((2 r0-r0^2-℧^2-a^2 Cos[θi]^2) Sin[θi]^2 ((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2) (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)),
t[0]==0,

r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+
(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+
r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+
8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+
8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2),
 
r'[0]==vr0i/Sqrt[(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)/(a^2+(-2+r0) r0+℧^2)],
r[0]==r0,

θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+
10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+
a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2),
 
θ'[0]==vθ0i/Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θi]^2],
θ[0]==θi,

φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))((r'[τ] (4 a q ℧ (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2)-
8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(℧^2-r[τ]) r[τ]) t'[τ]+(a^2 (3 a^2+8 ℧^2+a^2 (4 Cos[2 θ[τ]]+
Cos[4 θ[τ]])) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-
16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+
θ'[τ] (8 a Cot[θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+(8 Cot[θ[τ]] (a^2+r[τ]^2)^2-
2 a^2 (3 a^2+2 ℧^2+4 (-1+r[τ]) r[τ]) Sin[2 θ[τ]]-a^4 Sin[4 θ[τ]]) φ'[τ])),
 
φ'[0]==(vφ0i ((-2+r0) r0+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θi]^2)]+(a vφ0i (2 r0-
℧^2) Sin[θi])/((r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)])))/((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)),
φ[0]==φ0,

WhenEvent[r[τ]>1.0 R0||r[τ]<If[a^2+℧^2<=1, 1.01 rA, 0.01], 
(plunge=τ) && (rt=r[τ]) && (θt=θ[τ]) && (φt=φ[τ]);"StopIntegration"]
 
};
                                                                            (* Integrator *)
sol = NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ}, {τ, 0, tmax},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
InterpolationOrder-> All];
                                                        (* Affiner Parameter bei Emission *)
т0 = plunge;
R1 = rt; 
                                       (* Berechung der Ursprungskoordinaten der Photonen *)
If[NumericQ[plunge], 
If[т0>0, {0, -π/2}, 
If[R1<r0, {0, -π/2}, 
If[R1>5 R0, {0, -π/2}, 
{φt-π, θt+π/2}]]], 
{0, -π/2}]]]
 
mem : raytrace[{Ф_, ϑ_}] := mem = raytracer[{Ф, ϑ}]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 5) Testbild laden und transformieren ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
fpt[{x_, y_}] := {If[y<0, x+1, x], If[y<0, -y, y]}
 
pcr = ParallelTable[
ImageTransformation[pic, fpt, DataRange->{{-1, 1}, {0, 1}},
PlotRange->{{-1, 1}, {-1+(x-1)/kernels, -1+x/kernels}}, Padding->"Periodic"],
{x, 1, 2 kernels}];
pct = ImageAssemble[{Table[{pcr[[x]]}, {x, 2 kernels, 1, -1}]}];
 
width = ImageDimensions[pic][[1]]; height = ImageDimensions[pic][[2]];
hzoom = If[breite>2 hoehe, 1/zoom, 1/zoom/2/hoehe*breite];
vzoom = If[breite>2 hoehe, 1/zoom*2 hoehe/breite, 1/zoom];

FOV -> {360.0 hzoom "degree", 180.0 vzoom "degree"}
 
img = ParallelTable[
ImageTransformation[pct, raytracer, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{{-π, π-2π/width}, {-π/2, 3π/2}},
PlotRange->{{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom, {-π/2+x+vvs/vzoom, -π/2+x+vvs/vzoom+π/kernels/grain} vzoom},
Padding->"Periodic"],
{x, 0, π-π/kernels/grain, π/kernels/grain}]
 
image  = ImageAssemble[{Table[{img[[x]]}, {x, kernels grain, 1, -1}]}]

◎ Akkretionsscheibe mit berücksichtigter Lichtlaufzeit und wahlweise Framedragging- oder Orbitalgeschwindigkeit:

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* > raytracing.yukterez.net | 29.04.2018 - 20.06.2019 | Version 7T | Simon Tyran, Vienna *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];
                                       
kernels = 5;                                                          (* Parallelisierung *)
grain   = 4;                            (* Subparallelisierung auf kernels*grain Streifen *)
breite  = 120;                                               (* Zielabmessungen in Pixeln *)
hoehe   = 120;          (* Höhe sollte ein ganzzahliges Vielfaches von kernels*grain sein *)
zoom    = 15;                                 (* doppelter Zoom ergibt halben Sichtwinkel *)
round   = 0;      (* 0: undurchsichtig, 1: Vorderseite, 2: Rückseite, 3 und 4: Lichtechos *)
 
LaunchKernels[kernels]
wp = MachinePrecision;                                                     (* Genauigkeit *)
 
pic = Import["http://yukterez.net/mw/scheibe.png"]                (* Scheibentextur laden *)
snc = 1;    (* Scheibensynchronisierung: 1 = statisch, 2|3 = Empfang|Emission, 4 = vOrbit *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 1) Startbedingungen und Position des Beobachters ||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0   = 100;                                           (* Radialkoordinate des Beobachters *)
si   = isco;                                             (* Akkretionsscheibe Innenradius *)
sr   = 7;                                                (* Akkretionsscheibe Außenradius *)
θ0   = 70 π/180;                                                           (* Breitengrad *)
φ0   = 0;                                                                   (* Längengrad *)
 
tmax =-3 r0;                                            (* zeitlicher Integrationsbereich *)
 
a    = 0.7;                                                              (* Spinparameter *)
℧    = 0.7;                                     (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)
v0   = 1;                                                  (* Geschwindigkeit des Photons *)
 
vr   = 0;                                      (* Radiale Geschwindigkeit des Beobachters *)
vϑ   = 0;                                       (* Polare Geschwindigkeit des Beobachters *)
vφ   = 0;     (* Azimutale Geschwindigkeit des Beobachters: 0 für ZAMO, -й0 für stationär *)
 
hvs  = 0;                                            (* horizontaler Versatz in Radianten *)
vvs  = 0;                                              (* vertikaler Versatz in Radianten *)
 
gtt = (2r0-℧^2)/Σ-1;
grr = Σ/Δ;
gθθ = Σ;
gφφ = Χ/Σ Sin[θ0]^2;
gtφ =-a (2r0-℧^2) Sin[θ0]^2/Σ;
 
Σ = r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
Δ = r0^2-2 r0+a^2+℧^2;
Χ = (r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 Δ;
Σs[rs_] := rs^2;
Δs[rs_] := rs^2-2 rs+a^2+℧^2;
Χs[rs_] := (rs^2+a^2)^2-a^2 Δs[rs];
κs[rs_] := a;
 
vθ  =-vϑ;
θs  = π/2;
θi  =-θ0+π;
q   = 0;
rA  = 1+Sqrt[1-a^2-℧^2];
rE  = 1+Sqrt[1-℧^2];
 
rp = rf/.Solve[4 a^2 (rf-℧^2)-(rf^2-3 rf+2 ℧^2)^2 == 0 && rf >= 1, rf];
rP = 1.01 Min[rp]; Rp = 1.01 Max[rp];
isco = Quiet[Min[RI/.NSolve[0 == RI (6 RI-RI^2-9 ℧^2+3 a^2)+4 ℧^2 (℧^2-a^2)-8 a (RI-℧^2)^(3/2) && RI>=If[Element[rA, Reals], rA, 0], RI]]];
{"r horizon" -> [email protected], "r ergosphere" -> [email protected], "r isco" -> [email protected], "r photon pro" -> [email protected][rp], "r photon ret" -> [email protected][rp], "r disk" -> [email protected], "r observer" -> [email protected], "θ observer" -> [email protected]θ0}
 
j[v_] := Sqrt[1-v^2];
Ы[rs_]  := Sqrt[Χs[rs]/Σs[rs]];
ωs[rs_] := (a (2 rs - ℧^2))/Χs[rs];
 
ε[rs_]  := Sqrt[Δs[rs] Σs[rs]/Χs[rs]]/j[vt]+Lz[rs] ωs[rs];
Lz[rs_] := vt Ы[rs]/j[vt];
 
red[rs_] := Quiet[Reduce[
dt == (Lz[rs] (-a (a^2+rs^2)+Δs[rs] κs[rs])+ε[rs] ((a^2+rs^2)^2-Δs[rs] κs[rs]^2))/(Δs[rs] Σs[rs])
&&
0 == ((a^2+(-2+rs) rs+℧^2) (16 a dt dΦ rs (rs-℧^2)+8 dt^2 rs (-rs+℧^2)+dΦ^2 rs (8 rs (-a^2+rs^3)+a^2 (4 a^2+4 ℧^2-4 (a-℧) (a+℧)))))/(8 rs^6)
&&
dΦ == (Lz[rs] (-a^2+Δs[rs])+ε[rs] (a (a^2+rs^2)-Δs[rs] κs[rs]))/(Δs[rs] Σs[rs])
&&
vt > 0,
{vt,dΦ,dt},
Reals]];
 
vs = Interpolation[Table[{rr, If[[email protected][red[rr][[1, 2]]], red[rr][[1, 2]], 0]}, {rr, 0, sr, 0.02}]];
φs = Interpolation[Table[{rr, If[[email protected][red[rr][[2, 2]]], red[rr][[2, 2]], 0]}, {rr, 0, sr, 0.02}]];
ts = Interpolation[Table[{rr, If[[email protected][red[rr][[3, 2]]], red[rr][[3, 2]], 0]}, {rr, 0, sr, 0.02}]];
 
plot[func_, label_] := Plot[func, {rr, rP, sr}, GridLines -> {{Min[rp], Max[rp], rA, si, isco, rE, sr}, {}},
Frame -> True, ImagePadding -> {{40,1}, {12,1}}, ImageSize -> 340, PlotLabel -> label, PlotRange->{{0,sr}, Automatic}]
 
plot[Sqrt[Χs[rr]/Δs[rr]/Σs[rr]],  "Gravitational time dilation: y=dt/dт, x=r"]
plot[ts[rr],  "Total time dilation: y=dt/dτ, x=r"]
plot[(a (2 rr-℧^2))/((a^2+rr^2)^2-a^2 (a^2-2 rr+rr^2+℧^2)), "Frame Dragging: y=dφ/dт, x=r"]
plot[φs[rr]/ts[rr], "Shapirodelayed angular velocity: y=dφ/dt, x=r"]
plot[φs[rr],  "Coordinate speed: y=dφ/dτ, x=r"]
plot[vs[rr],  "Local velocity: y=v=dl/dτ, x=r"]
 
й0  = (a (2 r0-℧^2) Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]);
 
U={+vr, +vθ, +vφ};
γ=1/Sqrt[1-Norm[U]^2];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 3) Rotationsmatrix für die auf der Sichtebene eintreffenden Strahlen ||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Xyz[{x_, y_, z_}, α_] := {x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};
xYz[{x_, y_, z_}, β_] := {x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};
xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_] := {x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]};
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 4) Raytracing Funktionscontainer ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
raytracer[{Ф_, ϑ_}] :=
 
Quiet[Module[{V, W, vw, vr0i, vθ0i, vφ0i, vr0n, vθ0n, vφ0n, vr0a, vθia, vφ0a, vt0a,
DGL, sol, εj, pθi, pr0, Q, k, t10, r10, Θ10, Φ10, т0, т1, R1, t, r, θ, φ, τ, plunge, plunge2,
X, Y, Z, tt, rt, θt, φt, т, ξ, stepsize, laststep, mtl, mta, ft, fτ, varb, Σj, Δj, Χj,
ωj, dθ, dφ, dphi, dtheta, drad, dtau, vrj, vθj, vφj, vtj, vφt, shf},
 
vw=xyZ[Xyz[{0, 1, 0}, ϑ], Ф+π/2];
                                 (* Übersetzung des Einfallswinkels in den lokalen Tetrad *)
vr0a = vw[[3]] Sqrt[grr];
vφ0a = vw[[2]] Sqrt[gφφ]/r0/Sin[θi];
vθia = vw[[1]] Sqrt[gθθ]/r0;
                                                                                (* Betrag *)
vt0a = Sqrt[vr0a^2+vφ0a^2+vθia^2];
                                                                            (* Normierung *)
vr0n = vr0a/vt0a;
vφ0n = vφ0a/vt0a;
vθ0n = vθia/vt0a;
                                              (* Relativistische Geschwindigkeitsaddition *)
V={vr0n, vθ0n, vφ0n};
W=(U+V+γ/(1+γ)(U\[Cross](U\[Cross]V)))/(1+U.V);
                                                                            (* Aberration *)
vr0i = W[[1]];
vθ0i = W[[2]];
vφ0i = W[[3]];

rnd = If[round == 2, 
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0,
(plunge=τ) && (tt=If[snc==1, 0, t[τ]]) && (rt=r[τ]) && (θt=θ[τ]) && 
(φt=φ[τ]) && (dtau=t'[τ]) && (drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && 
(dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]},
If[round == 1, 
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0,
(plunge=τ) && (tt=If[snc==1, 0, t[τ]]) && (rt=r[τ]) && (θt=θ[τ]) && 
(φt=φ[τ]) && (dtau=t'[τ]) && (drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && 
(dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]},
If[round == 4, 
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0,
(plunge2=τ)],
WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0
&&τ<plunge2-0.1,(plunge=τ)&&(tt=If[snc==1,0,t[τ]])&&(rt=r[τ])&&(θt=θ[τ])&&(φt=φ[τ]) && 
(dtau=t'[τ]) && (drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && (dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]},
If[round == 3, 
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0,
(plunge2=τ)],
WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0
&&τ<plunge2-0.1,(plunge=τ)&&(tt=If[snc==1,0,t[τ]])&&(rt=r[τ])&&(θt=θ[τ])&&(φt=φ[τ]) && 
(dtau=t'[τ]) && (drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && (dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]},
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==Pi/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr, (plunge=τ) && 
(tt=If[snc==1, 0, t[τ]]) && (rt=r[τ]) && (θt=θ[τ]) && (φt=φ[τ]) && (dtau=t'[τ]) && 
(drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && (dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]}
]]]];
                         
DGL = {                                               (* Kerr Newman Bewegungsgleichungen *)
 
t''[τ]==-(((r'[τ] ((a^2+r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+
2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ]))+a (2 a^4 Cos[θ[τ]]^2+a^2 ℧^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]-
a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ])+a^2 θ'[τ] (Sin[2 θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])-2 a Cos[θ[τ]] (℧^2-
2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 φ'[τ]))/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2),
 
t'[0]==-((a (2 r0-℧^2) Sin[θi]^2 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2))))/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)))+\[Sqrt](((vr0i^2 (a^2-2 r0+
r0^2+℧^2)+vθ0i^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)+
(a^2 (-2 r0+℧^2)^2 Sin[θi]^4 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+
r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)-((2 r0-r0^2-℧^2-a^2 Cos[θi]^2) Sin[θi]^2 ((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2) (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)),
t[0]==0,
 
r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+
(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+
r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+
8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+
8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2),
 
r'[0]==vr0i/Sqrt[(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)/(a^2+(-2+r0) r0+℧^2)],
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+
10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+
a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2),
 
θ'[0]==vθ0i/Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θi]^2],
θ[0]==θi,
 
φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))((r'[τ] (4 a q ℧ (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2)-
8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(℧^2-r[τ]) r[τ]) t'[τ]+(a^2 (3 a^2+8 ℧^2+a^2 (4 Cos[2 θ[τ]]+
Cos[4 θ[τ]])) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-
16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+
θ'[τ] (8 a Cot[θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+(8 Cot[θ[τ]] (a^2+r[τ]^2)^2-
2 a^2 (3 a^2+2 ℧^2+4 (-1+r[τ]) r[τ]) Sin[2 θ[τ]]-a^4 Sin[4 θ[τ]]) φ'[τ])),
 
φ'[0]==(vφ0i ((-2+r0) r0+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θi]^2)]+(a vφ0i (2 r0-
℧^2) Sin[θi])/((r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)])))/((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)),
φ[0]==φ0,
 
rnd};
                                                                            (* Integrator *)
sol = NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ}, {τ, 0, tmax},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
InterpolationOrder-> All];
 
Σj = rt^2+a^2 Cos[θt]^2;
Δj = rt^2-2 rt+a^2+℧^2;
Χj = (rt^2+a^2)^2-a^2 Sin[θt]^2 Δj;
ωj = (a(2 rt-℧^2))/Χj;
 
т0 = If[NumericQ[plunge], plunge, tmax];
т1 = If[NumericQ[plunge], tt, 0];
                                                                           
dφ = If[snc==1, 0, If[snc==2, т1 ωj, If[snc==3, (т1+r0) ωj, (т1+r0) φs[rt]/ts[rt]]]];
 
ft=If[т0>tmax+1,If[rt>sr,{π,sr},If[rt<si,{π,sr},{φt-dφ,rt}]],{π,sr}];
ft]];
 
(* Plot[{
raytracer[{u, 0}][[1]],
raytracer[{u, 0}][[2]]
},{u, -π/2, π/2},
PlotPoints -> 40,
PlotStyle -> {Red, Blue},
Frame->True] *)
 
width=ImageDimensions[pic][[1]];
height=ImageDimensions[pic][[2]];
hzoom=If[breite>2 hoehe,1/zoom,1/zoom/2/hoehe*breite];
vzoom=If[breite>2 hoehe,1/zoom*2 hoehe/breite,1/zoom];
 
FOV->{360.0 hzoom "degree",180.0 vzoom "degree"}
 
img=ParallelTable[ImageTransformation[pic,raytracer,{breite,Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{{0,2π-2π/width},{si,sr+(sr-si)/height}},
PlotRange->{{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom, {-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom},
Padding->"Periodic"],
{x, 0, π-π/kernels/grain, π/kernels/grain}]
 
image  = ImageAssemble[{Table[{img[[x]]}, {x, kernels grain, 1, -1}]}]

◎ Akkretionsscheibe, Rotverschiebung:

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* > raytracing.yukterez.net | 29.04.2018 - 20.06.2019 | Version 7B | Simon Tyran, Vienna *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];
                                       
kernels = 5;                                                          (* Parallelisierung *)
grain   = 4;                            (* Subparallelisierung auf kernels*grain Streifen *)
breite  = 120;                                               (* Zielabmessungen in Pixeln *)
hoehe   = 120;          (* Höhe sollte ein ganzzahliges Vielfaches von kernels*grain sein *)
zoom    = 15;                                 (* doppelter Zoom ergibt halben Sichtwinkel *)
round   = 0;      (* 0: undurchsichtig, 1: Vorderseite, 2: Rückseite, 3 und 4: Lichtechos *)
 
LaunchKernels[kernels]
wp = MachinePrecision;                                                     (* Genauigkeit *)
 
pic = Import["http://yukterez.net/mw/gradient4.png"];                 (* Gradienten laden *)
snc = 1;    (* Scheibensynchronisierung: 1 = statisch, 2|3 = Empfang|Emission, 4 = vOrbit *)
 
r0   = 100;                                           (* Radialkoordinate des Beobachters *)
si   = isco;                                             (* Akkretionsscheibe Innenradius *)
sr   = 7;                                                (* Akkretionsscheibe Außenradius *)
θ0   = 70 π/180;                                                           (* Breitengrad *)
φ0   = 0;                                                                   (* Längengrad *)
 
tmax =-3 r0;                                            (* zeitlicher Integrationsbereich *)
 
a    = 0.7;                                                              (* Spinparameter *)
℧    = 0.7;                                     (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)
v0   = 1;                                                  (* Geschwindigkeit des Photons *)
 
vr   = 0;                                      (* Radiale Geschwindigkeit des Beobachters *)
vϑ   = 0;                                       (* Polare Geschwindigkeit des Beobachters *)
vφ   = 0;     (* Azimutale Geschwindigkeit des Beobachters: 0 für ZAMO, -й0 für stationär *)
 
hvs  = 0;                                            (* horizontaler Versatz in Radianten *)
vvs  = 0;                                              (* vertikaler Versatz in Radianten *)
 
Σ = r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
Δ = r0^2-2 r0+a^2+℧^2;
Χ = (r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 Δ;
Σs[rs_] := rs^2;
Δs[rs_] := rs^2-2 rs+a^2+℧^2;
Χs[rs_] := (rs^2+a^2)^2-a^2 Δs[rs];
κs[rs_] := a;

vθ  =-vϑ;
θs  = π/2;
θi  =-θ0+π;
q   = 0;
rA  = 1+Sqrt[1-a^2-℧^2];
rE  = 1+Sqrt[1-℧^2];
ς   = Sqrt[Χ/Δ/Σ];
 
rp = rf/.Solve[4 a^2 (rf-℧^2)-(rf^2-3 rf+2 ℧^2)^2 == 0 && rf >= 1, rf];
rP = 1.01 Min[rp]; Rp = 1.01 Max[rp];
isco = Quiet[Min[RI/.NSolve[0 == RI (6 RI-RI^2-9 ℧^2+3 a^2)+4 ℧^2 (℧^2-a^2)-8 a (RI-℧^2)^(3/2) && RI>=If[Element[rA, Reals], rA, 0], RI]]];
{"r horizon" -> [email protected], "r ergosphere" -> [email protected], "r isco" -> [email protected], "r photon pro" -> [email protected][rp], "r photon ret" -> [email protected][rp], "r disk" -> [email protected], "r observer" -> [email protected], "θ observer" -> [email protected]θ0}
 
j[v_] := Sqrt[1-v^2];
Ы[rs_]  := Sqrt[Χs[rs]/Σs[rs]];
ωs[rs_] := (a (2 rs - ℧^2))/Χs[rs];
 
ε[rs_]  := Sqrt[Δs[rs] Σs[rs]/Χs[rs]]/j[vt]+Lz[rs] ωs[rs];
Lz[rs_] := vt Ы[rs]/j[vt];
 
red[rs_] := Quiet[Reduce[
dt == (Lz[rs] (-a (a^2+rs^2)+Δs[rs] κs[rs])+ε[rs] ((a^2+rs^2)^2-Δs[rs] κs[rs]^2))/(Δs[rs] Σs[rs]) &&
0 == ((a^2+(-2+rs) rs+℧^2) (16 a dt dΦ rs (rs-℧^2)+8 dt^2 rs (-rs+℧^2)+dΦ^2 rs (8 rs (-a^2+rs^3)+a^2 (4 a^2+4 ℧^2-4 (a-℧) (a+℧)))))/(8 rs^6) &&
dΦ == (Lz[rs] (-a^2+Δs[rs])+ε[rs] (a (a^2+rs^2)-Δs[rs] κs[rs]))/(Δs[rs] Σs[rs]) &&
vt > 0,
{vt,dΦ,dt},
Reals]];
 
vs = Interpolation[Table[{rr, If[[email protected][red[rr][[1, 2]]], red[rr][[1, 2]], 0]}, {rr, 0, sr, 0.02}]];
φs = Interpolation[Table[{rr, If[[email protected][red[rr][[2, 2]]], red[rr][[2, 2]], 0]}, {rr, 0, sr, 0.02}]];
ts = Interpolation[Table[{rr, If[[email protected][red[rr][[3, 2]]], red[rr][[3, 2]], 0]}, {rr, 0, sr, 0.02}]];
 
plot[func_, label_] := Plot[func, {rr, rP, sr}, GridLines -> {{Min[rp], Max[rp], rA, si, isco, rE, sr}, {}},
Frame -> True, ImagePadding -> {{40,1}, {12,1}}, ImageSize -> 340, PlotLabel -> label, PlotRange->{{0,sr}, Automatic}]
 
plot[Sqrt[Χs[rr]/Δs[rr]/Σs[rr]],  "Gravitational time dilation: y=dt/dт, x=r"]
plot[ts[rr],  "Total time dilation: y=dt/dτ, x=r"]
plot[(a (2 rr-℧^2))/((a^2+rr^2)^2-a^2 (a^2-2 rr+rr^2+℧^2)), "Frame Dragging: y=dφ/dт, x=r"]
plot[φs[rr]/ts[rr], "Shapirodelayed angular velocity: y=dφ/dt, x=r"]
plot[φs[rr],  "Coordinate speed: y=dφ/dτ, x=r"]
plot[vs[rr],  "Local velocity: y=v=dl/dτ, x=r"]
 
gtt = (2r0-℧^2)/Σ-1;
grr = Σ/Δ;
gθθ = Σ;
gφφ = Χ/Σ Sin[θ0]^2;
gtφ =-a (2r0-℧^2) Sin[θ0]^2/Σ;
 
й0  = (a (2 r0-℧^2) Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]);
 
U={+vr, +vθ, +vφ};
γ=1/Sqrt[1-Norm[U]^2];
 
Xyz[{x_, y_, z_}, α_] := {x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};
xYz[{x_, y_, z_}, β_] := {x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};
xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_] := {x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]};
 
raytracer[{Ф_, ϑ_}] :=
 
Quiet[Module[{V, W, vw, vr0i, vθ0i, vφ0i, vr0n, vθ0n, vφ0n, vr0a, vθia, vφ0a, vt0a,
DGL, sol, εj, pθi, pr0, Q, k, t10, r10, Θ10, Φ10, т0, т1, R1, t, r, θ, φ, τ, plunge, plunge2,
X, Y, Z, tt, rt, θt, φt, т, ξ, stepsize, laststep, mtl, mta, ft, fτ, varb, Σj, Δj, Χj,
ωj, dθ, dφ, dphi, dtheta, drad, dtau, vrj, vθj, vφj, vtj, vφt, shf, rnd},
 
vw=xyZ[Xyz[{0, 1, 0}, ϑ], Ф+π/2];
                                 (* Übersetzung des Einfallswinkels in den lokalen Tetrad *)
vr0a = vw[[3]] Sqrt[grr];
vφ0a = vw[[2]] Sqrt[gφφ]/r0/Sin[θi];
vθia = vw[[1]] Sqrt[gθθ]/r0;
                                                                                (* Betrag *)
vt0a = Sqrt[vr0a^2+vφ0a^2+vθia^2];
                                                                            (* Normierung *)
vr0n = vr0a/vt0a;
vφ0n = vφ0a/vt0a;
vθ0n = vθia/vt0a;
                                              (* Relativistische Geschwindigkeitsaddition *)
V={vr0n, vθ0n, vφ0n};
W=(U+V+γ/(1+γ)(U\[Cross](U\[Cross]V)))/(1+U.V);
                                                                            (* Aberration *)
vr0i = W[[1]];
vθ0i = W[[2]];
vφ0i = W[[3]];

rnd = If[round == 2, 
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0,
(plunge=τ) && (tt=If[snc==1, 0, t[τ]]) && (rt=r[τ]) && (θt=θ[τ]) && 
(φt=φ[τ]) && (dtau=t'[τ]) && (drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && 
(dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]},
If[round == 1, 
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0,
(plunge=τ) && (tt=If[snc==1, 0, t[τ]]) && (rt=r[τ]) && (θt=θ[τ]) && 
(φt=φ[τ]) && (dtau=t'[τ]) && (drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && 
(dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]},
If[round == 4, 
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0,
(plunge2=τ)],
WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]<0
&&τ<plunge2-0.1,(plunge=τ)&&(tt=If[snc==1,0,t[τ]])&&(rt=r[τ])&&(θt=θ[τ])&&(φt=φ[τ]) && 
(dtau=t'[τ]) && (drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && (dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]},
If[round == 3, 
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0,
(plunge2=τ)],
WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==π/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr && θ'[τ]>0
&&τ<plunge2-0.1,(plunge=τ)&&(tt=If[snc==1,0,t[τ]])&&(rt=r[τ])&&(θt=θ[τ])&&(φt=φ[τ]) && 
(dtau=t'[τ]) && (drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && (dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]},
{WhenEvent[Mod[θ[τ],π]==Pi/2.0 && r[τ]>si && r[τ]<sr, (plunge=τ) && 
(tt=If[snc==1, 0, t[τ]]) && (rt=r[τ]) && (θt=θ[τ]) && (φt=φ[τ]) && (dtau=t'[τ]) && 
(drad=r'[τ]) && (dtheta=θ'[τ]) && (dphi=φ'[τ]); "StopIntegration"]}
]]]];
                         
DGL = {                                               (* Kerr Newman Bewegungsgleichungen *)
 
t''[τ]==-(((r'[τ] ((a^2+r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+
2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ]))+a (2 a^4 Cos[θ[τ]]^2+a^2 ℧^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]-
a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ])+a^2 θ'[τ] (Sin[2 θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])-2 a Cos[θ[τ]] (℧^2-
2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 φ'[τ]))/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2),
 
t'[0]==-((a (2 r0-℧^2) Sin[θi]^2 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2))))/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)))+\[Sqrt](((vr0i^2 (a^2-2 r0+
r0^2+℧^2)+vθ0i^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)+
(a^2 (-2 r0+℧^2)^2 Sin[θi]^4 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+
r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)-((2 r0-r0^2-℧^2-a^2 Cos[θi]^2) Sin[θi]^2 ((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2) (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)),
t[0]==0,
 
r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+
(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+
r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+
8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+
8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2),
 
r'[0]==vr0i/Sqrt[(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)/(a^2+(-2+r0) r0+℧^2)],
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+
10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+
a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2),
 
θ'[0]==vθ0i/Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θi]^2],
θ[0]==θi,
 
φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))((r'[τ] (4 a q ℧ (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2)-
8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(℧^2-r[τ]) r[τ]) t'[τ]+(a^2 (3 a^2+8 ℧^2+a^2 (4 Cos[2 θ[τ]]+
Cos[4 θ[τ]])) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-
16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+
θ'[τ] (8 a Cot[θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+(8 Cot[θ[τ]] (a^2+r[τ]^2)^2-
2 a^2 (3 a^2+2 ℧^2+4 (-1+r[τ]) r[τ]) Sin[2 θ[τ]]-a^4 Sin[4 θ[τ]]) φ'[τ])),
 
φ'[0]==(vφ0i ((-2+r0) r0+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θi]^2)]+(a vφ0i (2 r0-
℧^2) Sin[θi])/((r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)])))/((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)),
φ[0]==φ0,
 
rnd};
                                                                            (* Integrator *)
sol = NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ}, {τ, 0, tmax},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
InterpolationOrder-> All];
 
Σj = rt^2;
Δj = rt^2-2 rt+a^2+℧^2;
Χj = (rt^2+a^2)^2-a^2 Δj;
ωj = (a(2 rt-℧^2))/Χj;
 
т0 = If[NumericQ[plunge], plunge, tmax];
т1 = If[NumericQ[plunge], tt, 0];
 
εj = dtau (1-(2 rt-℧^2)/rt^2)+(a dphi (2 rt-℧^2))/rt^2;
 
vrj = drad/Sqrt[Δj] Sqrt[Σj];
vθj = dtheta Sqrt[Σj];
vφj = (-(((a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2) (a^2+℧^2-2 rt+rt^2) Sin[(π/2)] (-dphi-
(a q ℧ rt)/((a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2) (a^2+℧^2-2 rt+rt^2))+
(εj Csc[(π/2)]^2 (a (-a^2-℧^2+2 rt-rt^2) Sin[(π/2)]^2+a (a^2+
rt^2) Sin[(π/2)]^2))/((a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2) (a^2+℧^2-2 rt+rt^2))+(a q ℧ rt (a^2+
℧^2-2 rt+rt^2-a^2 Sin[(π/2)]^2))/((a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2)^2 (a^2+℧^2-2 rt+
rt^2))))/((a^2+℧^2-2 rt+rt^2-a^2 Sin[(π/2)]^2) Sqrt[((a^2+rt^2)^2-
a^2 (a^2+℧^2-2 rt+rt^2) Sin[(π/2)]^2)/(a^2 Cos[(π/2)]^2+rt^2)])));
vtj = Sqrt[vrj^2+vθj^2+vφj^2];
vφt = vφj/vtj;
shf = ς/(1-vs[rt] vφt)/dtau;
                                                                           
dφ = If[snc==1, 0, If[snc==2, т1 φs[rt]/ts[rt], If[snc==3, (т1+r0) φs[rt]/ts[rt], (т1-r0) φs[rt]/ts[rt]]]];
 
If[т0>tmax+1,If[rt>sr,{0,0},If[rt<si,{0,0},{0,Min[2, shf]}]],{0,0}]]];
 
width=ImageDimensions[pic][[1]];
height=ImageDimensions[pic][[2]];
hzoom=If[breite>2 hoehe,1/zoom,1/zoom/2/hoehe*breite];
vzoom=If[breite>2 hoehe,1/zoom*2 hoehe/breite,1/zoom];
 
FOV->{360.0 hzoom "degree",180.0 vzoom "degree"}
 
img=ParallelTable[ImageTransformation[pic,raytracer,{breite,Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{{0,2π},{0,2}},
PlotRange->{{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom, {-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom},
Padding->"Fixed"],
{x, 0, π-π/kernels/grain, π/kernels/grain}]
 
image  = ImageAssemble[{Table[{img[[x]]}, {x, kernels grain, 1, -1}]}]

◉ Horizontoberfläche:

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* > raytracing.yukterez.net | 29.04.2018 - 09.06.2019 | Version 7H | Simon Tyran, Vienna *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];
                                       
kernels = 5;                                                          (* Parallelisierung *)
grain   = 4;                            (* Subparallelisierung auf kernels*grain Streifen *)
breite  = 120;                                               (* Zielabmessungen in Pixeln *)
hoehe   = 120;          (* Höhe sollte ein ganzzahliges Vielfaches von kernels*grain sein *)
zoom    = 15;                                 (* doppelter Zoom ergibt halben Sichtwinkel *)
 
LaunchKernels[kernels]
wp = MachinePrecision;                                                     (* Genauigkeit *)
                                                              (* Planetenoberfläche laden *)
pic =Import["https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Equirectangular-projection.jpg/320px-Equirectangular-projection.jpg"];
snc = 3;        (* Kugelsynchronisierung: 1 = statisch, 2 = bei Empfang, 3 = bei Emission *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 1) Startbedingungen und Position des Beobachters ||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0   = 100;                                           (* Radialkoordinate des Beobachters *)
θ0   = 70 π/180;                                                           (* Breitengrad *)
φ0   = π/4;                                                                 (* Längengrad *)
 
R0   = 1.01 rA;                          (* Radius des umspannenden Kugelschalenpanoramas *)
tmax =-5 r0;                                            (* zeitlicher Integrationsbereich *)
 
a    = 0.7;                                                              (* Spinparameter *)
℧    = 0.7;                                     (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)
v0   = 1;                                                  (* Geschwindigkeit des Photons *)
 
vr   = 0;                                      (* Radiale Geschwindigkeit des Beobachters *)
vϑ   = 0;                                       (* Polare Geschwindigkeit des Beobachters *)
vφ   = 0;     (* Azimutale Geschwindigkeit des Beobachters: 0 für ZAMO, -й0 für stationär *)

hvs  = 0;                                            (* horizontaler Versatz in Radianten *)
vvs  = 0;                                              (* vertikaler Versatz in Radianten *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 2) Metrische Koeffizienten und Formeln ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Σ = r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
Δ = r0^2-2 r0+a^2+℧^2;
Χ = (r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 Δ;
μ = 0; q = 0;
 
gtt = (2r0-℧^2)/Σ-1;
grr = Σ/Δ;
gθθ = Σ;
gφφ = Χ/Σ Sin[θ0]^2;
gtφ =-a (2r0-℧^2) Sin[θ0]^2/Σ;
 
vθ  =-vϑ;
θi  =-θ0+π;
rA  = 1+Sqrt[1-a^2-℧^2];
й0  = (a (2 r0-℧^2) Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]);
 
U={+vr, +vθ, +vφ};
γ=1/Sqrt[1-Norm[U]^2];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 3) Rotationsmatrix für die auf der Sichtebene eintreffenden Strahlen ||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Xyz[{x_, y_, z_}, α_] := {x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};
xYz[{x_, y_, z_}, β_] := {x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};
xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_] := {x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]};
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 4) Raytracing Funktionscontainer ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
raytracer[{Ф_, ϑ_}] :=
 
Quiet[Module[{V, W, vw, vr0i, vθ0i, vφ0i, vr0n, vθ0n, vφ0n, vr0a, vθia, vφ0a, vt0a,
DGL, sol, ε, Lz, pθi, pr0, Q, k, t10, r10, Θ10, Φ10, т0, т1, R1, t, r, θ, φ, τ, plunge, plunge2,
X, Y, Z, tt, rt, θt, φt, т, ξ, stepsize, laststep, mtl, mta, ft, fτ, Σj, Δj, Χj, ωj, dθ, dφ},
 
vw=xyZ[Xyz[{0, 1, 0}, ϑ], Ф+π/2];
                                 (* Übersetzung des Einfallswinkels in den lokalen Tetrad *)
vr0a = vw[[3]] Sqrt[grr];
vφ0a = vw[[2]] Sqrt[gφφ]/r0/Sin[θi];
vθia = vw[[1]] Sqrt[gθθ]/r0;
                                                                                (* Betrag *)
vt0a = Sqrt[vr0a^2+vφ0a^2+vθia^2];
                                                                            (* Normierung *)
vr0n = vr0a/vt0a;
vφ0n = vφ0a/vt0a;
vθ0n = vθia/vt0a;
                                              (* Relativistische Geschwindigkeitsaddition *)
V={vr0n, vθ0n, vφ0n};
W=(U+V+γ/(1+γ)(U\[Cross](U\[Cross]V)))/(1+U.V);
                                                                            (* Aberration *)
vr0i = W[[1]];
vθ0i = W[[2]];
vφ0i = W[[3]];

DGL = {                                               (* Kerr Newman Bewegungsgleichungen *)
 
t''[τ]==-(((r'[τ] ((a^2+r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+
2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ]))+a (2 a^4 Cos[θ[τ]]^2+a^2 ℧^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]-
a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ])+a^2 θ'[τ] (Sin[2 θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])-2 a Cos[θ[τ]] (℧^2-
2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 φ'[τ]))/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2),
 
t'[0]==-((a (2 r0-℧^2) Sin[θi]^2 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2))))/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)))+\[Sqrt](((vr0i^2 (a^2-2 r0+
r0^2+℧^2)+vθ0i^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)+
(a^2 (-2 r0+℧^2)^2 Sin[θi]^4 (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+
r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)-((2 r0-r0^2-℧^2-a^2 Cos[θi]^2) Sin[θi]^2 ((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2) (vφ0i (-2 r0+r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)]+
(a vφ0i (2 r0-℧^2) Sin[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θi]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θi]^2)))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)^2))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (-2 r0+r0^2+℧^2+a^2 Cos[θi]^2)^2)),
t[0]==0,
 
r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+
(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+
r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+
8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+
8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2),
 
r'[0]==vr0i/Sqrt[(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)/(a^2+(-2+r0) r0+℧^2)],
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+
10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+
a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2),
 
θ'[0]==vθ0i/Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θi]^2],
θ[0]==θi,
 
φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))((r'[τ] (4 a q ℧ (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2)-
8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(℧^2-r[τ]) r[τ]) t'[τ]+(a^2 (3 a^2+8 ℧^2+a^2 (4 Cos[2 θ[τ]]+
Cos[4 θ[τ]])) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-
16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+
θ'[τ] (8 a Cot[θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+(8 Cot[θ[τ]] (a^2+r[τ]^2)^2-
2 a^2 (3 a^2+2 ℧^2+4 (-1+r[τ]) r[τ]) Sin[2 θ[τ]]-a^4 Sin[4 θ[τ]]) φ'[τ])),
 
φ'[0]==(vφ0i ((-2+r0) r0+a^2 Cos[θi]^2) Csc[θi] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)]+a (2 r0-℧^2) (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θi]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θi]^2)]+(a vφ0i (2 r0-
℧^2) Sin[θi])/((r0^2+a^2 Cos[θi]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) Sin[θi]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θi]^2)])))/((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θi]^2)),
φ[0]==φ0,
 
WhenEvent[r[τ]==R0||r[τ]<R0, 
(plunge=τ) && (tt=If[snc==1, 0, t[τ]]) && (rt=r[τ]) && (θt=θ[τ]) && (φt=φ[τ]); 
"StopIntegration"] 
};
                                                                            (* Integrator *)
sol = NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ}, {τ, 0, tmax},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
InterpolationOrder-> All];

Σj = rt^2+a^2 Cos[θt]^2;
Δj = rt^2-2 rt+a^2+℧^2;
Χj = (rt^2+a^2)^2-a^2 Sin[θt]^2 Δj;
ωj = (a(2 rt-℧^2))/Χj;
 
т0 = If[NumericQ[plunge], plunge, tmax];
т1 = If[NumericQ[plunge], tt, 0];
                                                                            
dφ = If[snc==1, 0, If[snc==2, т1 ωj, If[snc==3, (т1+r0) ωj, -(т1+r0) ωj]]];

т0 = If[NumericQ[plunge], plunge, tmax];
R1 = rt;  
                                       (* Berechung der Ursprungskoordinaten der Photonen *)
If[т0<tmax+1, {0, -π/2}, If[R1<rA, {0, -π/2}, If[R1>4 R0, {0, -π/2}, {φt-dφ, θt+π/2}]]]]]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* 5) Testbild laden und transformieren ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
fpt[{x_, y_}] := {If[y<0, x+1, x], If[y<0, -y, y]}
 
pcr = ParallelTable[
ImageTransformation[pic, fpt, DataRange->{{-1, 1}, {0, 1}},
PlotRange->{{-1, 1}, {-1+(x-1)/kernels, -1+x/kernels}}, Padding->"Periodic"],
{x, 1, 2 kernels}];
pct = ImageAssemble[{Table[{pcr[[x]]}, {x, 2 kernels, 1, -1}]}];
 
width = ImageDimensions[pic][[1]]; height = ImageDimensions[pic][[2]];
hzoom = If[breite>2 hoehe, 1/zoom, 1/zoom/2/hoehe*breite];
vzoom = If[breite>2 hoehe, 1/zoom*2 hoehe/breite, 1/zoom];
 
FOV -> {360.0 hzoom "degree", 180.0 vzoom "degree"}
 
img = ParallelTable[
ImageTransformation[pct, raytracer, {breite, Ceiling[hoehe/kernels/grain]},
DataRange->{{-π, π-2π/width}, {-π/2, 3π/2}},
PlotRange->{{-π+hvs/hzoom, π+hvs/hzoom} hzoom, {-π/2+vvs/vzoom+x, -π/2+vvs/vzoom+x+π/kernels/grain} vzoom},
Padding->"Periodic"],
{x, 0, π-π/kernels/grain, π/kernels/grain}]
 
source = ImageResize[pic, {2 hoehe, hoehe}]
image  = ImageAssemble[{Table[{img[[x]]}, {x, kernels grain, 1, -1}]}]

◈ Hintergrundpanorama: wenn der Beobachter über dem Nordpol des schwarzen Lochs (θ0=0±epsilon) platziert wird blickt er auf den Südpol der umspannenden Kugelschale. Wenn der Nordpol des SL vor der äquatorialen Ebene des Hintergrundbilds betrachtet werden soll muss dieses zuvor kartographisch transformiert werden. Rotation um θ:

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Ep=Import["http://666kb.com/i/dsfr4u76175v8q277.png"]
width=ImageDimensions[Ep][[1]];
RM[{x_,y_}]:={ArcTan[Cos[x] Cos[ϑ] Sin[y]+Cos[y] Sin[ϑ], Sin[x] Sin[y]], ArcCos[Cos[y] Cos[ϑ]-Cos[x] Sin[y] Sin[ϑ]]};
ϑ=π/2-θ0; pic=ImageTransformation[Ep, RM, DataRange->{{-π,π-2π/width}, {0,π}}, PlotRange->{{-π,π}, {0,π}}]

⍟ Stereographische Projektion:

Code: Alles auswählen

Eq2St[{x_,y_}]:={0+ArcTan[-y,x],-2ArcTan[2,Sqrt[x^2+y^2]]+π/2};
St=ImageTransformation[pic,Eq2St,DataRange->{{-π,π},{-π/2,π/2}},PlotRange->{{-2π,2π},{-2π,2π}}]

◎ zusätzliche Rot/Blauverschiebung durch die Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung des Beobachters:

Code: Alles auswählen

pic=Import["http://yukterez.net/mw/gradient4.png"];                   (* Frequenzgradient *)

vr = -0.5;                                          (* radiale Geschwindigkeitskomponente *)
vφ = +0.5;                                        (* azimutale Geschwindigkeitskomponente *)
vθ = +0.5;                                           (* polare Geschwindigkeitskomponente *)

ς  = +1;                                                                         (* Lapse *)

width  = 120;                                                                 (* Bildhöhe *)
height = 60;                                                                (* Bildbreite *)

v  = +Sqrt[vr^2+vθ^2+vφ^2];
If[v>1, Print["Error: v > 1: v" -> v], Print["v" -> v]];

dΘ = +Limit[ArcCos[-vθ/Sqrt[vR^2+vθ^2+vφ^2]], vR->vr];
dθ = If[vr>0, -dΘ, +dΘ];
dΦ = +Limit[ArcTan[Abs[vφ]/vR], vR->vr];
dφ = If[vr!=0, -1, 1] If[vφ<0, +1, -1] If[NumericQ[dΦ], dΦ, π/2];
dψ = 0 If[vr<0, 0, π];

f[{φ_,θ_}] := {0,ς/(1-v Cos[θ-π/2]) Sqrt[1-v^2]}; (* winkelabhängige Frequenzverschiebung *)

img = ImageTransformation[pic, f, {width, height},                     (* Frequenzbereich *)
DataRange->{{-1, 1}, {0, 2}}, 
PlotRange->{{-π, π}, {-π/2, π/2}}, 
Padding->"Fixed"];

xyz[{x_,y_}] := {Sin[y] Cos[x],Sin[y] Sin[x],Cos[y]};                  (* Rotationsmatrix *)
Xyz[{x_,y_,z_},dφ_] := {x Cos[dφ]-y Sin[dφ],x Sin[dφ]+y Cos[dφ],z};
xYz[{x_,y_,z_},dθ_] := {x Cos[dθ]+z Sin[dθ],y,z Cos[dθ]-x Sin[dθ]};
xyZ[{x_,y_,z_},dψ_] := {x,y Cos[dψ]-z Sin[dψ],y Sin[dψ]+z Cos[dψ]};
xy[{x_,y_,z_}] := {ArcTan[x,y],ArcCos[z]};

fpt[{x_, y_}] := {If[y<0, x+1, x], If[y<0, -y, y]};                              (* Range *)
pct = ImageTransformation[img, fpt, DataRange->{{-1, 1}, {0, 1}},
PlotRange->{{-1, 1}, {-1, 1}}, Padding->"Periodic"];

rm[pct_,dφ_,dθ_,dψ_] := xy[xyZ[xYz[Xyz[xyz[pct], dφ], dθ], dψ]];              (* Rotation *)
RM[{x_,y_}] := rm[{x,y}, dφ, dθ, dψ];

red = ImageTransformation[pct, RM,               (* Output im 360°x180° Plattkartenformat *)
DataRange->{{-π, π}, {-π, π}}, 
PlotRange->{{-π, π}, {0, π}}, 
Padding->"Periodic"]

◎ Solver für ISCO und Kreisbahngeschwindigkeit:

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || Orbital Velocity & ISCO Solver | yukterez.net | 16.07.2019 | Simon Tyran, Vienna || *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];

a    = 0.7;                                                              (* Spinparameter *)
℧    = 0.7;                                     (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)

si  = rP;                                       (* untere Grenze, prograder Photonenkreis *)
sr  = 10;                                                                 (* obere Grenze *)
st  = 0.02;                                       (* Interpolationsintervall für den Plot *)

Σ[я_] := я^2;                                    (* Komponenten für die äquatoriale Ebene *)
Δ[я_] := я^2-2 я+a^2+℧^2;
Χ[я_] := (я^2+a^2)^2-a^2 Δ[я];
κ[я_] := a;

rA  = 1+Sqrt[1-a^2-℧^2];                                                      (* Horizont *)
rE  = 1+Sqrt[1-℧^2];                                                        (* Ergosphäre *)
R0  = If[Element[rA, Reals], rA, 0];                                     (* Mindestradius *)
 
rp = rf/.Solve[4 a^2 (rf-℧^2)-(rf^2-3 rf+2 ℧^2)^2 == 0 && rf >= R0, rf];
rP = Min[rp]; Rp = Max[rp];                    (* prograder und retrograder Photonenkreis *)

isco =                                                 (* innermost stable circular orbit *)
Quiet[RI/.NSolve[0 == RI (6 RI-RI^2-9 ℧^2+3 a^2)+4 ℧^2 (℧^2-a^2)-8 a (RI-℧^2)^(3/2) && 
RI >= R0, RI]];

{"r horizon" -> [email protected], "r ergosphere" -> [email protected], "r isco" -> [email protected][isco], 
"r photon pro" -> [email protected][rp], "r photon ret" -> [email protected][rp], "r disk" -> [email protected]}
 
j[v_]  := Sqrt[1-v^2];                                          (* inverser Lorentzfaktor *)
Ы[я_]  := Sqrt[Χ[я]/Σ[я]];                                     (* axialer Gyrationsradius *)
ωs[я_] := (a (2 я - ℧^2))/Χ[я];                                         (* Frame Dragging *)
 
ε[я_]  := Sqrt[Δ[я] Σ[я]/Χ[я]]/j[v]+Lz[я] ωs[я];                         (* Gesamtenergie *)
Lz[я_] := v Ы[я]/j[v];                                                   (* Bahndrehimpuls*)
 
red[я_] := Quiet[Reduce[                                                   (* Gleichungen *)
dt == (Lz[я] (-a (a^2+я^2)+Δ[я] κ[я])+ε[я] ((a^2+я^2)^2-Δ[я] κ[я]^2))/(Δ[я] Σ[я])
&&
0 == ((a^2+(-2+я) я+℧^2) (16 a dt dΦ я (я-℧^2)+8 dt^2 я (-я+℧^2)+dΦ^2 я (8 я (-a^2+
я^3)+a^2 (4 a^2+4 ℧^2-4 (a-℧) (a+℧)))))/(8 я^6)
&&
dΦ == (Lz[я] (-a^2+Δ[я])+ε[я] (a (a^2+я^2)-Δ[я] κ[я]))/(Δ[я] Σ[я])
&&
v > 0,
{v, dΦ, dt},
Reals]];
                                                                    (* Lösung nach Radius *)
sol[x_, я_] := If[[email protected][red[я][[x, 2]]], red[я][[x, 2]], 0]
                                                                 (* Interpolationstabelle *)
vs = Interpolation[Table[{я, sol[1, я]}, {я, si, sr, st}]];
φs = Interpolation[Table[{я, sol[2, я]}, {я, si, sr, st}]];
ts = Interpolation[Table[{я, sol[3, я]}, {я, si, sr, st}]];
                                                                          (* Plotfunktion *)
plot[func_, label_] := Plot[func, {я, rP, sr}, 
GridLines -> {{Min[rp], Max[rp], rA, si, Min[isco], Max[isco], rE, sr}, {}},
Frame -> True, ImagePadding -> {{40, 1}, {12, 1}}, ImageSize -> 340, PlotLabel -> label, 
PlotRange->{{0, sr}, Automatic}]
                                                                                 (* Plots *)
plot[Sqrt[Χ[я]/Δ[я]/Σ[я]],                      "Gravitational time dilation: y=dt/dт, x=r"]
plot[ts[я],                                             "Total time dilation: y=dt/dτ, x=r"]
plot[(a (2 я-℧^2))/((a^2+я^2)^2-a^2 (a^2-2 я+я^2+℧^2)),     "Frame dragging: y=dφ/dт, x=r"]
plot[φs[я]/ts[я],                           "Shapirodelayed angular velocity: y=dφ/dt, x=r"]
plot[φs[я],                                                "Coordinate speed: y=dφ/dτ, x=r"]
plot[vs[я],                                                "Local velocity: y=v=dl/dτ, x=r"]

r0 = Min[isco];                                                       (* Radialkoordinate *)

"r isco"  -> r0 "GM/c²"                                                         (* r isco *)
"dt/dτ "  -> sol[3, r0] "sec/sec"                                      (* totale ZD dt/dτ *)
"dt/dт "  -> Sqrt[Χ[r0]/Δ[r0]/Σ[r0]] "sec/sec"                    (* gravitative ZD dt/dт *)
"dφ/dτ "  -> sol[2, r0] "c³/G/M"                        (* Koordinatenschnelligkeit dφ/dτ *)
"dφ/dt "  -> sol[2, r0]/sol[3, r0] "c³/G/M"      (* shapiroverzögerte Winkelgeschw. dφ/dt *)
"v     "  -> sol[1, r0] "c"                  (* prograde Kreisbahngeschwindigkeit v lokal *)

⧆ Performance Boost: wenn verschiedene Bilder mit den selben Einstellungen geraytraced werden sollen (beispielsweise bei einem Orbit auf konstantem θ) kann der Vorgang mithilfe eines Lookup-Tables extrem beschleunigt werden. Das erste Bild dauert dann normal lang, während alle weiteren sehr schnell gehen. Außerdem kann jeder Kernel einen eigenen Teil des Bildes rendern, und die verschiedenen Teile danach mit ImageAssemble zusammenfügen:

Code: Alles auswählen

1) raytrace[{Ф_,ϑ_}] := Module[...]   ->   mem : raytrace[{Ф_,ϑ_}] := mem = Module[...]
2) ParallelDo[ImageTransformation[pct,raytrace,
   DataRange->{{-π ,π },{-π/2 ,3π/2 }},PlotRange->plotrange,Padding->"Periodic"],
   {plotrange,{{{-π,0},{-π/2,0}},{{-π,0},{0,π/2}},{{0,π},{-π/2,0}},{{0,π},{0,π/2}}}}]

◬ Der Code ist zwar noch nicht für GPU-Beschleunigung optimiert, kann aber auch über die CPU parallelisiert werden indem die PlotRange beispielsweise geviertelt und jedes Viertel parallel von einem eigenen Kernel gerendert wird, siehe Screenshot. Bei 4 vorhandenen Kernels kann die Rechendauer damit schon einmal geviertelt werden, sofern man bereit ist 100% CPU-Auslastung zu akzeptieren. Wenn viele Kernels vorhanden sind kann der Vorgang auch mit ParallelSubmit[...] und Parallelize[...] beschleunigt werden. Die Genauigkeit wird über die Parameter mta und wp sowie über den EventLocator geregelt.
Bild

Code Syntax: Mathematica. Prototyp der nächsten Version, Archiv der alten Version, Testmodule und Extras:

Rohmaterial: Kartographie, Kerr-Newman Metrik, Gravitationslinsen

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 31. Mär 2018, 13:29

◩ Code Version A, rechtwinkelige Leinwand
Bild

Konstruktion der Sichtebene:

Die türkis gestrichelte Kurve zeigt was man dort wo man im flachen Raum die linke untere Ecke des Bildes sehen würde sieht (dadurch erscheint das gravitationsgelinste Bild größer als das unverzerrte). Vorläufige Testbilder mit M=Q=a=0 (Vakuum), a=Q=0 (Schwarzschild) und a=M (extremal Kerr), erstellt mit auf 500 begrenzten Integrationsschritten pro Pixel; Perspektive: äquatorial.

Das schwarze Loch befindet sich relativ zum Betrachter in einer kartesischen Entfernung von 20GM/c². Der Mittelpunkt des betrachteten Bilds das sich auf einer rigiden stationären Leinwand die rechtwinkelig zur Sichtachse des Beobachters steht befindet ist ebensoweit vom schwarzen Loch, und damit doppelt so weit vom Betrachter entfernt. Die projizierte Sichtebene beträgt 60x60(GM/c²)²; alle Lichtstrahlen die von wo anders als der Leinwand kämen werden grau dargestellt.

Die projizierte Sichtebene in der Entfernung des schwarzen Lochs ist wegen der halben Entfernung damit 30x30(GM/c²)². Der Durchmesser des Schattens des schwarzen Lochs beträgt ca. 1/3 und damit 10GM/c², was einem Radius von ca. 5GM/c² entspricht (zum Vergleich siehe die semianalytische Konturlösung auf gravitylense.yukterez.net):

In der unteren (also der mittleren) Reihe befindet der Beobachter sich 100 Mal weiter vom schwarzen Loch entfernt, in einem kartesischen Abstand von 2000GM/c². Die Leinwand befindet sich ebensoweit in die andere Richtung vom SL entfernt; durch den nun spitzeren Sichtwinkel und den kleineren Impact Parameter der Photonen ergibt sich jetzt eine sehr viel stärkere Verzerrung.

Ohne schwarzes Loch im Vordergrund würde man innerhalb des Sichtwinkels im Zoom das gleiche Bild wie oben links, bzw. unten links in der Mitte (die 4 bekannten Kästchen) sehen; das heißt die höhere Entfernung wird durch höheren Zoom kompensiert, so dass das schwarze Loch den gleichen Winkeldurchmesser hat wie im oberen Beispiel (die Kamera ist immer noch auf das nun 100 mal weiter entfernte und rot umrahmte Quadrat von 30GM/c² Kantenlänge fokussiert):

Der graue Bereich symbolisiert wieder den Bereich wo keine Photonen von der Leinwand, aber theoretisch welche von seitwärts derselben beim Betrachter ankommen können (siehe nächstes Kapitel). Im komplett schwarzen Bereich würden weder Photonen von der Leinwand noch von sonst irgendwo im Raum das Auge des Betrachters treffen.

Die gerade Leinwand wird auf den y,z-Achsen bis in die Unendlichkeit fortgesetzt und das Bild wie unten links auf dieselbe gekachelt, da man ansonsten nicht viel sehen würde weil das Bild in der Entfernung vom Schatten des schwarzen Lochs verdeckt werden würde. Unterste Reihe: nackte Singularitäten mit Q=2M, a²+Q²=2M² und a=2M, Abstände wie in der mittleren Reihe:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Fr 6. Apr 2018, 00:28

◐ Code Version G, Panorama
Bild

Konstruktion der Sichtebene:

Also im Prinzip wie oben, aber mit Mapping des gesamten Umfelds um auch Licht das von außerhalb der Leinwand ins Sichtfeld der Kamera gebogen wird einzufangen. Fokus auf einen kleinen Bereich simuliert eine Lochkamera, während eine Plot-Range von φ=-π..π und θ=-π/2..π/2 ein 360° Kugelpanorama ergibt. Das gesamte Kugelsphärenpanorama wird dann ins Plattkartenformat exportiert und kann danach in jedes beliebige andere Format transformiert oder anderweitig projiziert werden. In den folgenden Beispielen wird der Beobachter auf r=50GM/c² platziert und das Himmelszelt auf R=1000GM/c² aufgespannt.

Bild

Sphärischer Hintergund: Milchstraßenpanorama (360°-Aufnahme im Plattkartenformat, Fotocredit ESO/José Francisco). Zoom auf den Bereich vor dem das schwarze Loch platziert wird; ungelinste Ansicht ohne das schwarze Loch im Vordergrund, FOV=120°×60°:

Schwarzschild: M=1, a=0, ℧=0 → ℳ=1 - einfaches schwarzes Loch, Beobachter auf r=50GM/c², θ=egal (kugelsymmetrisch), FOV=120°×60°:

Reissner-Nordström: M=1, a=0, ℧=1 → ℳ=½ - geladenes SL, Beobachter auf r=50GM/c², θ=egal (kugelsymmetrisch), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√½, ℧=√½ → ℳ=√(3/8) - Geladen und rotierend, Beobachter auf r=50GM/c², θ=90° (äquatorial), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√½, ℧=√½ → ℳ=√(3/8) - Geladen und rotierend, Beobachter auf r=50GM/c², θ=45° (schräg), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√½, ℧=√½ → ℳ=√(3/8) - Geladen und rotierend, Beobachter auf r=50GM/c², θ=1° (polar), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=1, ℧=0 → ℳ=√½ - Beobachter auf r=50GM/c², θ=90° (äquatorial), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=1, ℧=0 → ℳ=√½ - Beobachter auf r=50GM/c², θ=45° (schräg), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=1, ℧=0 → ℳ=√½ - Beobachter auf r=50GM/c², θ=1° (polare Ausrichtung, Rotation gegen den Uhrzeigersinn), FOV=120°×60°:

Einheiten: G=M=c=k=1. M=Massenäquivalent der Gesamtenergie, ℳ=irreduzible Masse, a=Spinparameter, ℧=Ladung G=Gravitationskonstante, k=Coulombkonstante, c=Lichtgeschwindigkeit. Die Gesamtenergie Mc² des schwarzen Lochs ist in allen obigen Szenarien gleich, aber unterschiedlich auf irreduzible Masse, Rotationsenergie und elektromagnetische Feldenergie aufgeteilt.

Bild

Polare und äquatoriale Ansicht eines Kerr-SL mit a=0.99, im unteren Bild mit eingeblendeten Horizonten und Ergosphären (ein Beobachter würde diese natürlich nicht sehen). Die θ-Ausrichtung des SL läuft von 1° (polare Ansicht) bis 90° (äquatoriale Ansicht):

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Fr 6. Apr 2018, 17:52

Rohmaterial: Panoramaphoto geschossen von Masato OHTA (heiwa4126), Source: Commons, Ort: Tokyo. Assumptions: alles im Panorama ist sehr viel weiter vom Beobachter entfernt als das schwarze Loch. Hier wird nur der Gravitationslinseneffekt gezeigt, nicht aber die Zerstörung die ein SL in so einem Szenario anrichten würde.
Bild

SL: M=1, a=1, ℧=0. FOV=360°×180°, ungelinstes Panorama:

Zoom auf die Stelle an der das schwarze Loch platziert wird, Ф=0°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Das schwarze Loch ist r=50GM/c² vom Beobachter entfernt. Position, Fokus und Zoom auf Ф=0°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 20GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=0°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Blick in die entgegengesetzte Richtung, FOV=360°×180°:

Zoom auf die Stelle an der das schwarze Loch platziert wird, Ф=0°, θ=180°, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 50GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=180°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 20GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=180°, θ=0°, FOV=103.2°×61.4°:

Hier wird das schwarze Loch auf halber Höhe über der Skyline platziert; Ansicht ohne SL, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 50GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=180°, θ=-45°, FOV=103.2°×61.4°:

Entfernung vom SL: 20GM/c². Position, Fokus und Zoom auf Ф=180°, θ=-45°, FOV=103.2°×61.4°:

Video: 360° Korotation eines ZAMO (bei r=20 benötigt ein voller Umlauf 8022πGM/c³ Eigenzeit), Video: ogg & mp4, FOV=103.2°×61.4°:

Ausrichtung des SL, relative Perspektive des Beobachters: Edge On (äquatoriale Ansicht: θ=90°). Die linke Seite des SL rotiert auf den Betrachter zu, und die rechte von ihm weg. Siehe auch den dazugehörigen Beitrag im Uwudl-Forum.

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 7. Apr 2018, 18:08

Optische Erscheinung eines ungefütterten Kerr-Newman SL mit a=0.7, ℧=0.7 im System eines bewegten Beobachters; die farbigen Bilder zeigen die durch die Bewegung des Beobachters und die gravitative Zeitdilatation verursachte Rot/Blauverschiebung des Hintergrundpanoramas (der rein gravitative Anteil der Blauverschiebung auf der Beobachterposition r=5, θ=90° ist fo/fe=1.26759). Das Fadenkreuz in der Mitte der Bilder ist auf die tatsächliche Position des Schwerpunkts des schwarzen Lochs ausgerichtet.
Bild

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=+0.4483895 (prograde Kreisbahngeschwindigkeit), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Geschwindigkeit: lokal ruhender ZAMO, v=0 (v relativ zu den Fixsternen: 0.0666), r=5, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.45 (retrograd), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.6467319 (retrograde Kreisgeschwindigkeit), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.675, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.8, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.9, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.99, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.999, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Azimutalgeschwindigkeit: vφ=-0.9999, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Radialgeschwindigkeit: vr=-0.614523 (Freifall), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Radialgeschwindigkeit: vr=-0.78273, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Radialgeschwindigkeit: vr=+0.614523 (Fluchtgeschwindigkeit), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Radialgeschwindigkeit: vr=+0.78273, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Gesamtgeschwindigkeit: v=0.866, vr=-0.5, vθ=-0.5, vφ=+0.5 (prograd und Richtung Nordpol auf das SL zu), r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Projektion des Sichtfelds aus dem letzten Beispiel auf eine Kugel; links: ungelinst, Mitte: gelinst, rechts: Frequenzverschiebung

Bild

Vergleich der Verzerrung: Milchstraßenpanorama vs Checkerboard Hintergrund, r=5, θ=90°, FOV=360°×180°:

Rohmaterial Panoramafotos, links: ESO, Mitte: Paul Bourke. Checkerboard rechts: äquatorial und polar

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 9. Apr 2018, 19:16

Die folgenden überextremen Lösungen beschreiben keine schwarzen Löcher, und kommen in der Natur vermutlich nicht so vor. Da sie aber dennoch von theoretischem Interesse sind bekommen sie ebenfalls eine Gallerie. Wie im oberen Beitrag mit den schwarzen Löchern ist auch hier die Gesamtenergie Mc² der nackten Singularitäten in allen Beispielen gleich, aber verschieden aufgeteilt.
Bild

Standbilder (a²+℧²=2², zum Vergrößern auf die Bilder klicken)
Bild

relativistic raytracing of the shadow and the gravitational lensing of naked singularities
Reissner-Nordström: M=1, a=0, ℧=2 → ℳ=½+i√¾ - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=egal (kugelsymmetrisch), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√2, ℧=√2 → ℳ=∜(3/16)·(1+i) - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=90° (äquatorial), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√2, ℧=√2 → ℳ=∜(3/16)·(1+i) - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=45° (schräg), FOV=120°×60°:

Kerr-Newman: M=1, a=√2, ℧=√2 → ℳ=∜(3/16)·(1+i) - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=1° (polar), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=2, ℧=0 → ℳ=√¾+i/2 - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=90° (äquatorial), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=2, ℧=0 → ℳ=√¾+i/2 - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=45° (schräg), FOV=120°×60°:

Kerr: M=1, a=2, ℧=0 → ℳ=√¾+i/2 - nackte Singularität. Beobachter: r=50GM/c², θ=1° (polar), FOV=120°×60°:

Videos: äquatoriale Orbits (60 fps, a²+℧²=1.01²)
Bild

Reissner Nordström, M=1, a=0, ℧=1.01 - nackte Singularität. Beobachter: r=20GM/c², θ=90°, FOV=154.8°×77.4°:

Kerr, M=1, a=1.01, ℧=0 - nackte Singularität. Beobachter: r=20GM/c², θ=90°, FOV=154.8°×77.4°:

Kerr Newman, M=1, a=0.7141778, ℧=0.7141778 - nackte Singularität. Beobachter: r=20GM/c², θ=90°, FOV=154.8°×77.4°:

Animation für verschiedene Polarwinkel: naked.singularity.yukterez.net
Die Videos sind auch in Full HD verfügbar (dann brauchen sie aber auch entsprechend länger um zu laden): pewtube.com/user/Yukterez_Net. Vergleich: Waseda, S.14 und DeVries, S.20

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Di 10. Apr 2018, 00:01

a=+1, Beobachter auf r=50, ri=1.01, ra=7, Scheibentextur: scheibe.png, geometrische Verzerrung:

Selbe Tabelle wie oben mit Falschfarbcodierung, weiße Linien markieren den Übergang zwischen Rot- und Blauverschiebung:

Proberechnung: Project Kerr 599 (links) vs Yukterez (rechts), a=-0.6, θ=86°, ri=4, ra=10, Scheibentextur: akkr.png

Erklärung, andere Beispiele und Vergleiche: siehe hier, hier & hier.

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 1. Jul 2019, 06:53

Reissner Nordström, θ=85° (FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei prograder relativistischer Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 1. Jul 2019, 06:53

Reissner Nordström, θ=45° (FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 1. Jul 2019, 06:54

Kerr Newman, θ=85° (isco=1.313818, FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mo 1. Jul 2019, 06:55

Kerr Newman, θ=45° (FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 6. Jul 2019, 23:36

Nackte Singularität, θ=85° (FOV=30°×24°):

radiale weiße Linien für konstante φ:

Retardierung bei Kreisgeschwindigkeit der Scheibe, Synchronsierung bei t=-r/c:

Rot- und Blauverschiebung:

Overlay mit nacktem Schatten:

Unverzerrte Ansicht:

Photoshop Aktionen zur Post Production: raytrace.ps.zip

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mi 10. Jul 2019, 07:19

Parameter wie beim Interstellar SL "Gargantua", jedoch mit gleichmäßiger und transparenter Scheibentextur:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Mi 10. Jul 2019, 07:20

Mathematischer Anhang (im Aufbau):
Bild

1) Geschwindigkeitskomponenten der beim Betrachter eintreffenden Strahlen
Bild

Das schwarze Loch befindet sich im lokalen Koordinatensystem des Beobachters auf {x,z}={0,0}. Der {x,y,z}-Vektor eines geradewegs von vorne kommenden Photons ist daher

$Bild$

Rotation entlang der x-Achse:

$Bild$

Rotation entlang der z-Achse:

$Bild$

Normierter Geschwindigkeitsvektor der eintreffenden Strahlen im euklidschen Referenzsystem:

$Bild$

Übersetzung in den lokalen Tetrad eines ZAMO:

$Bild$

Normierung:

$Bild$

Aberration bei lokaler (relativ zum ZAMO) Beobachtergeschwindigkeit {ur,uθ,uФ}:

$Bild$

mit den Komponenten

$Bild$

Radiale Komponente:

$Bild$

Polare Komponente:

$Bild$

Azimutale Komponente:

$Bild$

Das sind die Endbedingungen der im Auge des Betrachters auf der {α,β}-Sichtebene eintreffenden Strahlen. Diese werden hernach rückwärts integriert bis sie die Ebene des Interesses, in dem Fall ein auf R>>r aufgespanntes Kugelpanorama, treffen.
Bild

2) Geodäten der Photonen
Bild

Erste Ableitung:

$Bild$

Zweite Ableitung:

$Bild$

mit den Christoffelsymbolen

$Bild$

Für die aufsummierten Terme in expliziter Form siehe den Faden über die Kerr Newman Metrik.
Bild

3) Bildtransformation
Bild

Nun wird numerisch nach der Eigenzeit bzw. dem affinen Parameter bei dem das Photon in der Region des Interesses (in dem Fall auf der auf R aufgespannten Kugelschale) war gesolved:

$Bild$

Die für τ berechneten {Ф,θ} Koordinaten des Lichtstrahls werden dann vom Rohmaterial im Plattkartenformat auf die lokale Sichtebene gemappt:

$Bild$
Bild

4) Akkretionsscheibe
Bild

Mapping des Rohmaterials auf die {r,Ф} statt auf die {Ф,θ} Ebene, Versatz um ΔФ=t·ω oder ΔФ=t/ṫ·uФ (Koordinatenzeit mal Framedragging Winkelgeschwindigkeit oder Kreisorbitwinkelgeschwindigkeit)
Bild

5) Horizontoberfläche
Bild

Wie 3), nur auf r+ statt auf R und mit ΔФ
Bild

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