Kerr Newman Metrik

[Yukterez]

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Verwandte Beiträge: Kerr || Schwarzschild || De Sitter || Feldgleichungen || Gravitationslinsen || Raytracing || Paraboloid  
 

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Schatten eines ungefütterten Kerr-Newman SL mit a²+℧²=M², Betrachtungswinkel: edge on. Andere Winkel siehe hier. Hintergrund: ESO/Brunier.   
 

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Zoom auf den Schatten des obigen Kerr-Newman SL mit a²+℧²=M² und eingeblendeten Oberflächen (letztere sind in natura nicht sichtbar)    
 

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Akkretionsscheibe um ein geladenes und rotierendes SL mit a=0.95, ℧=0.3, ri=isco, ra=10, Blickwinkel=89°. Erdoberfläche auf r=1.01r+.    
 

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Kretschmann Skalar, kartesische Projektion, Blickwinkel=90°. Die Bereiche um die Pole sind negativ, und jene um den Äquator positiv gekrümmt.    
 

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Retrograder Orbit eines mit q=1 geladenen Partikels um ein SL mit a=√¾ & ℧=⅓. v0 & i0: lokale Startgeschwindigkeit & Inklination    

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Prograder Orbit eines neutralen Testpartikels um ein mit a=0.9 rotierendes und ℧=0.4 elektrisch geladenes Kerr Newman Schwarzloch    

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Prograder Orbit eines negativ geladenen Testpartikels (q=-¼) um ein wie oben rotierendes und positiv geladenes schwarzes Loch    

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Nichtäquatorialer und retrograder Photonenorbit um ein mit a=½ und ℧=½ geladenes schwarzes Loch, konstanter Boyer Lindquist Radius      

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Polarer Photonenorbit (Lz=0) um eine mit a=½ rotierende und mit ℧=¾ geladene nackte Singularität, konstanter Boyer Lindquist Radius      

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Polarer Orbit (Lz=0) eines positiv geladenen Testpartikels (q=⅓) um ein positiv geladenes und rotierendes schwarzes Loch (℧=a=0.7)    

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Plunge Orbit eines negativen Teilchens (q=-⅓), SL wie oben. Die Axialgeschwindigkeit bei q<0 ist für Lz=0 wegen der elektrischen Kraft positiv.    

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Freier Fall eines neutralen Testpartikels auf eine mit mit a=1.5 rotierende und und ℧=0.4 elektrisch geladene nackte Singularität      

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Geodätischer Orbit um eine nackte Singularität mit den gleichen Spin- und Ladungsparametern wie ein Beispiel weiter oben    
 

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Nichtäquatorialer und retrograder Photonenorbit um eine mit a=0.9 rotierende und ℧=0.9 geladene nackte Singularität    
 

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Retrograder Photonenorbit um eine nackte Singularität (a=0.99, ℧=0.99). Lokale äquatoriale Inklination: -2.5rad=-143.23945°    
 

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Stationärer Photonenorbit (E=0) um eine Ringsingularität (a=½, ℧=1). Außer bei r=1, θ=90° ist v framedrag überall <c, daher keine Ergosphären.      

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Äquatorialer retrograder Photonenorbit, Singularität bei r=0→R=√(r²+a²)=a=½. Ergoring (grün) bei r=1, Umkehrpunkte bei r=0.8 und r=1.3484      

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Retrograder Photonenorbit der 3. Art innerhalb eines mit a=¾ rotierenden und ℧=½ geladenen schwarzes Lochs, konstanter BL Radius      

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Retrograder (wegen überlichtschnellem Framedraggings scheinbar prograder) Photonenorbit innerhalb eines SL mit a=℧=0.707 auf r=0.8    
 

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Orbit eines negativ geladenen Partikels innerhalb des Cauchy Horizonts eines Reissner Nordström SL (vergleiche Dokuchaev, Fig. 1)      

[Yukterez]

Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten, metrische Signatur (+,-,-,-):



zusammengefasste Terme:



mit dem Spinparameter â=Jc/G/M bzw. dem dimensionslosen Spinparameter a=â/M und dem elektrischen Ladungsparameter Ω=⚼·√(K/G) bzw. dem dimensionslosen spezifischen Ladungsparameter ℧=Ω/M. Der Artikel verwendet die dimensionslosen natürlichen Einheiten G=M=c=K=1 mit Längen in GM/c² und Zeiten in GM/c³. Der Zusammenhang zwischen dem hier gleich 1 gesetzten Massenäquivalent M und der irreduziblen Masse Mirr ist



Effektive Masse (wo diese 0 ist wird auch die Beschleunigung 0):



Für massebehaftete Testpartikel gilt μ=-1, für Photonen μ=0. Die spezifische Ladung des Testpartikels ist q. Transformationsregel für ko-und kontravariante Indizes (hochgestellte Buchstaben sind hierbei keine Potenzen sondern Indizes):



Ko- und kontravariante Metrik:

Elektromagnetisches Potential:



Kovarianter elektromagnetischer Tensor:



Kontravarianter Maxwelltensor:



Mit den Christoffelsymbolen



lauten die zweiten Eigenzeitableitungen der Koordinaten:



Damit lauten die Bewegungsgleichungen:









Zusammenhang zwischen dem kanonischen Viererimpuls, der lokalen Dreiergeschwindigkeit und den ersten Eigenzeitableitungen:

Aus dem Linienelement:



gewonnene Zeitdilatation eines neutralen Testpartikels:



Insgesamte Zeitdilatation eines geladenen Testpartikels:



Zusammenhang der ersten Eigenzeitableitungen mit den kovarianten Impulskomponenten:





Zusammenhang der ersten Eigenzeitableitungen mit den lokalen Dreiergeschwindigkeitskomponenten:

   



mit dem kontrahierten transversalen elektromagnetischen Potential



Das radiale effektive Potential das an seinen Nullstellen die Umkehrpunkte vorgibt ist



und das latitudinale Potential



mit dem Parameter



Für die lokale Dreiergeschwindigkeit relativ zu einem ZAMO vor Ort wird E nach v aufgelöst:



oder die gravitative Zeitdilatation durch die gesamte Zeitdilatation dividiert um den Kehrwert des Gammafaktors zu erhalten:



Radiale Fluchtgeschwindigkeit für ein neutrales Teilchen:



Für die Fluchtgeschwindigkeit eines drehimpulsfreien geladenen Teilchens wird E=1 gesetzt und nach v aufgelöst:

1. Erhaltungsgröße: Gesamtenergie E=-pt

2. Erhaltungsgröße: axialer Drehimpuls Lz=+pφ

3. Erhaltungsgröße: Carter-Konstante



mit der koaxialen Drehimpulskomponente (die selber keine Erhaltungsgröße ist)



Radiale Impulskomponente:



Die azimutalen und latitudinalen Stoßparameter sind



Gravitative Zeitdilatation eines ZAMO, unendlich am Horizont:



Zeitdilatation eines neutralen stationären Partikels, unendlich bei der Ergosphäre:

Frame-Dragging Winkelgeschwindigkeit im System den Koordinatenbuchhalters:



Lokale Frame-Dragging Geschwindigkeit relativ zu den Fixsternen (bei der Ergosphäre c):



mit dem Zusammenhang



Axialer und koaxialer Gyrationsradius:



Axialer und koaxialer Umfang:



Die Radien der äquatorialen Photonenkreisorbits sind implizit gegeben durch:



Der letzte stabile Orbit (ISCO) eines neutralen Partikels ergibt sich aus:



Radialkoordinaten der Horizonte und Ergosphären:



Kartesische Projektion:



r in Relation zu x,y,z:





Andere Koordinaten: hier entlang

[Yukterez]

Input: Linienelement und Maxwell-Tensor, Output: Bewegungsgleichungen

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* | Mathematica Syntax | GEODESIC SOLVER | geodesics.yukterez.net | Version 21.01.2020 | *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

ClearAll["Local`*"]; smp[y_]:=Simplify[y, Reals]; list[y_]:=y[[1]]==y[[2]];
rplc[y_]:=(((((((y/.t->t[τ])/.r->r[τ])/.θ->θ[τ])/.φ->φ[τ])/.Derivative[1][t[τ]]->
t'[τ])/.Derivative[1][r[τ]]->r'[τ])/.Derivative[1][θ[τ]]->θ'[τ])/.Derivative[1][φ[τ]]->φ'[τ]

                                                      (* kovariante metrische Komponenten *)
g11=gtt=-((-Δ+ж a^2 Sin[θ]^2)/(Σ χ^2));
g22=grr=-Σ/Δ;
g33=gθθ=-Σ/ж;
g44=gφφ=-((ж σ^2 Sin[θ]^2-a^2 Δ Sin[θ]^4)/(Σ χ^2));
g14=gtφ=-(( a (Δ-ж σ) Sin[θ]^2)/(Σ χ^2));
g12=g13=g23=g24=g34=0;

                                                                           (* Abkürzungen *)
Σ=r^2+a^2 Cos[θ]^2;
Δ=(r^2+a^2)(1-Λ/3 r^2)-2 M r+℧^2;
Χ=(r^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ]^2 Δ;
щ=(q ℧ r (a^2+r^2))/(Δ Σ);
χ=1+Λ/3 a^2;
ж=1+Λ/3 a^2 Cos[θ]^2;
σ=a^2+r^2;

                           (* Dimensionen, elektrische Ladung, Spin, Vakuumenergie, Masse *)
x={t, r, θ, φ}; n=4; Ω=℧; ℧=℧; a=a; Λ=0; M=1;

                                                                         "Metrischer Tensor"
mt={{g11, g12, g13, g14}, {g12, g22, g23, g24}, {g13, g23, g33, g34}, {g14, g24, g34, g44}};
Subscript["g", μσ] -> MatrixForm[mt]
it=smp[Inverse[mt]];
"g"^μσ -> MatrixForm[it]

                                                                            "Maxwell Tensor"
A={Ω r/Σ/χ, 0, 0, -Ω r/Σ/χ Sin[θ]^2 a};
F=smp[Table[((D[A[[j]], x[[k]]]-D[A[[k]], x[[j]]])), {j, 1, n}, {k, 1, n}]];
Subscript["F", μσ] -> MatrixForm[F]
f=smp[Table[Sum[
it[[i, k]] it[[j, l]] F[[k, l]],
{k, 1, n}, {l, 1, n}], {i, 1, n}, {j, 1, n}]];
"F"^μσ -> MatrixForm[f]

                                                                        "Christoffelsymbole"
chr=smp[Table[(1/2)Sum[(it[[i, s]])
(D[mt[[s, j]], x[[k]]]+D[mt[[s, k]], x[[j]]] -D[mt[[j, k]], x[[s]]]), {s, 1, n}],
{i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, n}]];
crs=Table[If[UnsameQ[chr[[i, j, k]], 0],
{ToString[Γ[i, j, k]] "\[Rule]", chr[[i, j, k]]}], {i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, j}];
TableForm[Partition[DeleteCases[Flatten[crs], Null], 2]]
                 
                                                                 "gemischter Riemann Tensor"
rmn=smp[Table[
D[chr[[i, j, l]], x[[k]]] - D[chr[[i, j, k]], x[[l]]] +
Sum[chr[[s, j, l]] chr[[i, k, s]] -
chr[[s, j, k]] chr[[i, l, s]],
{s, 1, n}], {i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, n}, {l, 1, n}]];
rie=Table[If[UnsameQ[rmn[[i, j, k, l]], 0],
{ToString[R[i, j, k, l]] "\[Rule]", rmn[[i, j, k, l]]}],
{i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, n}, {l, 1, k - 1}];
TableForm[Partition[DeleteCases[Flatten[rie], Null], 2]]
                                                            (* kovarianter Riemann Tensor *)
rcv=Table[Sum[mt[[i, j]] rmn[[j, k, l, m]], {j, 1, 4}],
{i, 1, n}, {k, 1, n}, {l, 1, n}, {m, 1, n}];
                                                        (* kontravarianter Riemann Tensor *)
rcn=Table[Sum[it[[m, i]] it[[h, j]] it[[o, k]] it[[p, l]] rcv[[i, j, k, l]],
{i, 1, 4}, {j, 1, n}, {k, 1, n}, {l, 1, n}],
{m, 1, 4}, {h, 1, n}, {o, 1, n}, {p, 1, n}];

                                                                              "Ricci Tensor"
rcc=smp[Table[
Sum[rmn[[i, j, i, l]], {i, 1, n}], {j, 1, n}, {l, 1, n}]];
Subscript["Ř", μσ] -> MatrixForm[rcc]
ric=smp[Table[Sum[
it[[i, k]] it[[j, l]] rcc[[k, l]], {k, 1, n}, {l, 1, n}],
{i, 1, n}, {j, 1, n}]];
"Ř"^μσ -> MatrixForm[ric]

                                                                              "Ricci Skalar"
Ř=smp[Sum[it[[i, j]] rcc[[i, j]], {i, 1, n}, {j, 1, n}]]; "Ř"->Ř

                                                                        "Kretschmann Skalar"
krn= Sum[rcv[[i, j, k, l]] rcn[[i, j, k, l]],
{i, 1, 4}, {j, 1, n}, {k, 1, n}, {l, 1, n}];
"K"->smp[krn]

                                                                           "Einstein Tensor"
est=smp[ric-Ř mt/2];
Subscript["G", μσ] -> MatrixForm[est]
ein=smp[Table[Sum[
mt[[i, k]] mt[[j, l]] est[[k, l]], {k, 1, n}, {l, 1, n}],
{i, 1, n}, {j, 1, n}]];
"G"^μσ -> MatrixForm[smp[ein]]

                                                                     "Stress Energie Tensor"
set=smp[est+Λ mt]/8/π;                                                   
Subscript["T", μσ] -> MatrixForm[set]
sei=smp[Table[Sum[
mt[[i, k]] mt[[j, l]] set[[k, l]], {k, 1, n}, {l, 1, n}],
{i, 1, n}, {j, 1, n}]];
"T"^μσ -> MatrixForm[smp[sei]]

                                                                      "Bewegungsgleichungen"
geo=smp[Table[-Sum[
chr[[i, j, k]] x[[j]]' x[[k]]'+q f[[i, k]] x[[j]]' mt[[j, k]],
{j, 1, n}, {k, 1, n}], {i, 1, n}]];

equ=Table[{x[[i]]''[τ]==smp[rplc[geo[[i]]]]}, {i, 1, n}];

geodesic1=equ[[1]][[1]]
geodesic2=equ[[2]][[1]]
geodesic3=equ[[3]][[1]]
geodesic4=equ[[4]][[1]]

                                                                     "totale Zeitdilatation"
H=Sum[mt[[μ, ν]] x[[μ]]' x[[ν]]', {μ, 1, n}, {ν, 1, n}];                       
ṫ=Quiet[rplc[smp[Normal[Solve[
-μ==(H/.t'->ť), ť]]]]];                       
Derivative[1][t][τ]->ṫ[[1, 1, 2]] || ṫ[[2, 1, 2]] == rplc[Sqrt[it[[1, 1]]]]/Sqrt[1-v[τ]^2]

                                                                  "kovarianter Viererimpuls"
p[μ_]:=-(Sum[mt[[μ, ν]]*x[[ν]]', {ν, 1, n}]+q A[[μ]]);
pt[τ]->rplc[smp[p[1]]]
pr[τ]->rplc[smp[p[2]]]
pθ[τ]->rplc[smp[p[3]]]
pφ[τ]->rplc[smp[p[4]]]

                                                                    "lokale Geschwindigkeit"
V[x_]:=smp[Normal[Solve[vx Sqrt[-mt[[x, x]]]/Sqrt[1-μ^2 v[τ]^2]-(1-μ^2 v^2) q A[[x]]==
p[x], vx]][[1, 1]]];                                                   
rplc[V[2]]/.vx->vr[τ]
rplc[V[3]]/.vx->vθ[τ]
rplc[V[4]]/.vx->vφ[τ]










Simulator-Code für Photonen, geladene und neutrale Teilchen

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||| Mathematica | kerr.newman.yukterez.net | 06.08.2017 - 13.01.2020, Version 24 |||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
wp=MachinePrecision;
mt1=Automatic;
mt2={"EquationSimplification"-> "Residual"};
mt3={"ImplicitRungeKutta", "DifferenceOrder"-> 20};
mt4={"StiffnessSwitching", Method-> {"ExplicitRungeKutta", Automatic}};
mt5={"EventLocator", "Event"-> (r[τ]-1001/1000 rA)};
mta=mt1;                                                     (* mt1: Speed, mt3: Accuracy *)
dgl=1;         (* 1: Full d²x/dτ², 2: Mixed dx/dτ, 3: Testmodul, 4: Weak Field, 5: Newton *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 1) STARTBEDINGUNGEN EINGEBEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
A=a;                                   (* pseudosphärisch [BL]: A=0, kartesisch [KS]: A=a *)
 
tmax=300;                                                                    (* Eigenzeit *)
Tmax=300;                                                              (* Koordinatenzeit *)
TMax=Min[Tmax, т[plunge-1*^-3]]; tMax=Min[tmax, plunge-1/1000];       (* Integrationsende *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];                                                        (* Startradius *)
r1 = r0+2;                                                   (* Endradius wenn v0=vr0=vr1 *)
θ0 = π/2;                                                                  (* Breitengrad *)
φ0 = 0;                                                                     (* Längengrad *)
a  = 9/10;                                                               (* Spinparameter *)
℧  = 2/5;                                       (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)
q  = 0;                                             (* spezifische Ladung des Testkörpers *)
 
v0 = 2/5;                                                       (* Anfangsgeschwindigkeit *)
α0 = 0;                                                      (* vertikaler Abschusswinkel *)
i0 = ArcTan[5/6];                                               (* Bahninklinationswinkel *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 2) GESCHWINDIGKEITS-, ENERGIE UND DREHIMPULSKOMPONENTEN ||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
vr0=v0 Sin[α0];                                     (* radiale Geschwindigkeitskomponente *)
vθ0=v0 Cos[α0] Sin[i0];                      (* longitudinale  Geschwindigkeitskomponente *)
vφ0=v0 Cos[α0] Cos[i0];                        (* latitudinale Geschwindigkeitskomponente *)

vrj[τ_]:=R'[τ]/Sqrt[Δi[τ]] Sqrt[Σi[τ] (1+μ v[τ]^2)];
vθj[τ_]:=Θ'[τ] Sqrt[Σi[τ] (1+μ v[τ]^2)];
vφj[τ_]:=Evaluate[(-(((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]] Sqrt[1-
μ^2 v[τ]^2] (-φ'[τ]-(a q ℧ r[τ])/((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+
(ε Csc[θ[τ]]^2 (a (-a^2-℧^2+2 r[τ]-r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2+a (a^2+
r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2))/((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+(a q ℧ r[τ] (a^2+
℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2))/((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 (a^2+℧^2-2 r[τ]+
r[τ]^2) (1-μ^2 v[τ]^2))))/((a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2) Sqrt[((a^2+r[τ]^2)^2-
a^2 (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2)/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)]))) /. sol][[1]]
vtj[τ_]:=Sqrt[vrj[τ]^2+vθj[τ]^2+vφj[τ]^2];
vr[τ_]:=vrj[τ]/vtj[τ]*v[τ];
vθ[τ_]:=vθj[τ]/vtj[τ]*v[τ];
vφ[τ_]:=vφj[τ]/vtj[τ]*v[τ];
VΦ[τ_]:=Sqrt[v[τ]^2-vθ[τ]^2-vr[τ]^2];
Vφ[τ_]:=If[q==0, Vφ[τ], VΦ[τ]];
 
x0[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Cos[φ0];                             (* Anfangskoordinaten *)
y0[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Sin[φ0];
z0[A_]:=r0 Cos[θ0];
 
ε0=Sqrt[δ Ξ/χ]/j[v0]+Lz ω0;
ε=ε0+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2));
εζ:=Sqrt[Δ Σ/Χ]/j[ν]+Lz ωζ+((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2));
LZ=vφ0 Ы/j[v0];
Lz=LZ+((q a r0 ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) j[v0]^2;
Lζ:=vφ0 я/j[ν]+0((q a r[τ] ℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2));
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0]; pθζ:=θ'[τ] Σ;
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
Qk=Limit[pθ0^2+(Lz^2 Csc[θ1]^2-a^2 (ε^2+μ)) Cos[θ1]^2, θ1->θ0];       (* Carter Konstante *)
Q=Limit[pθ0^2+(Lz^2 Csc[θ1]^2-a^2 (ε^2+μ)) Cos[θ1]^2, θ1->θ0];
Qζ:=pθζ^2+(Lz^2 Csc[θ[τ]]^2-a^2 (εζ^2+μ)) Cos[θ[τ]]^2;
k=Q+Lz^2+a^2 (ε^2+μ); kζ:=Qζ+Lz^2+a^2 (εζ^2+μ);
                                                                                  (* ISCO *)
isco = rISCO/.Solve[0 == rISCO (6 rISCO-rISCO^2-9 ℧^2+3 a^2)+4 ℧^2 (℧^2-a^2)-
8 a (rISCO-℧^2)^(3/2) && rISCO>=rA, rISCO][[1]];
μ=If[Abs[v0]==1, 0, If[Abs[v0]<1, -1, 1]];                   (* Baryon: μ=-1, Photon: μ=0 *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 3) FLUCHTGESCHWINDIGKEIT UND BENÖTIGTER ABSCHUSSWINKEL |||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

vEsc=If[q==0, ж0, Abs[(\[Sqrt](r0^2 (r0^2 (δ Ξ-χ)+2 q r0 χ ℧-q^2 χ ℧^2)+
2 a^2 r0 (r0 δ Ξ-r0 χ+q χ ℧) Cos[θ0]^2+a^4 (δ Ξ-
χ) Cos[θ0]^4))/(Sqrt[χ] (r0 (r0-q ℧)+a^2 Cos[θ0]^2))]];
                                                  (* horizontaler Photonenkreiswinkel, i0 *)
iP[r0_, a_]:=Normal[iPh/.NSolve[1/(8 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)^3) (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) (8 r0 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sin[iPh]^2+1/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)) 8 a (Cos[iPh] Sin[θ0] (a^2-2 r0+r0^2+℧^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+(a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+
a (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))) (-(1/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)))2 a^2 Cot[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2-2 r0+
r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)]+((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-
℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) Sin[θ0]^2)))+1/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) 2 r0 (r0-
℧^2) Csc[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)]+((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+
(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))))+1/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) 8 Csc[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)]+((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+
(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))) (1/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) a^2 Cot[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+
a (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-
℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)))+1/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) r0 (-r0+
℧^2) Csc[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+
((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-
℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))))+1/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2)^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)^2) Csc[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (a^2-2 r0+r0^2+℧^2-
a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+
(a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-
℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)))^2 (r0 (a^2 (3 a^2+
4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ0]+a^2 Cos[4 θ0])+8 r0 (r0^3+2 a^2 r0 Cos[θ0]^2-
a^2 Sin[θ0]^2))+2 a^4 Sin[2 θ0]^2))==0,iPh,Reals]][[1]]/.C[1]->0
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 4) HORIZONTE UND ERGOSPHÄREN RADIEN ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
rE=1+Sqrt[1-a^2 Cos[θ]^2-℧^2];                                       (* äußere Ergosphäre *)
RE[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rE^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rE^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rE Cos[θ]}, w1], w2];
rG=1-Sqrt[1-a^2 Cos[θ]^2-℧^2];                                       (* innere Ergosphäre *)
RG[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rG^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rG^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rG Cos[θ]}, w1], w2];
rA=1+Sqrt[1-a^2-℧^2];                                                 (* äußerer Horizont *)
RA[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rA^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rA^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rA Cos[θ]}, w1], w2];
rI=1-Sqrt[1-a^2-℧^2];                                                 (* innerer Horizont *)
RI[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rI^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rI^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rI Cos[θ]}, w1], w2];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 5) HORIZONTE UND ERGOSPHÄREN PLOT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
horizons[A_, mesh_, w1_, w2_]:=Show[
ParametricPlot3D[RE[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> mesh, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Blue, Opacity[0.10]]],
ParametricPlot3D[RA[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Cyan, Opacity[0.15]]],
ParametricPlot3D[RI[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.25]]],
ParametricPlot3D[RG[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.35]]]];
BLKS:=Grid[{{horizons[a, 35, 0, 0], horizons[0, 35, 0, 0]}}];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 6) FUNKTIONEN ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
j[v_]:=Sqrt[1-μ^2 v^2];                                                  (* Lorentzfaktor *)
mirr=Sqrt[2-℧^2+2 Sqrt[1-a^2-℧^2]]/2;                                (* irreduzible Masse *)
я=Sqrt[Χ/Σ]Sin[θ[τ]];                                            (* axialer Umfangsradius *)
яi[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Σi[τ]]Sin[Θ[τ]];
Ы=Sqrt[χ/Ξ]Sin[θ0];

Σ=r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2;                                    (* poloidialer Umfangsradius *)
Σi[τ_]:=R[τ]^2+a^2 Cos[Θ[τ]]^2;
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;

Δ=r[τ]^2-2r[τ]+a^2+℧^2;
Δr[r_]:=r^2-2r+a^2+℧^2;
Δi[τ_]:=R[τ]^2-2R[τ]+a^2+℧^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;

Χ=(r[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2 Δ;
Χi[τ_]:=(R[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[Θ[τ]]^2 Δi[τ];
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;

Xj=a Sin[θ0]^2;
xJ[τ_]:=a Sin[Θ[τ]]^2;
XJ=a Sin[θ[τ]]^2;

Pr[r_]:=ε(r^2+a^2)+℧ q r-a Lz;
Pt[τ_]:=ε(R[τ]^2+a^2)+℧ q R[τ]-a Lz;
Pτ=ε(r[τ]^2+a^2)+℧ q r[τ]-a Lz;
pτ=ε(r0^2+a^2)+℧ q r0-a Lz;

Vr[r_]:=Pr[r]^2-Δr[r](μ^2 r^2+(Lz-a ε)^2+Q);             (* effektives radiales Potential *)
Vτ=Pτ^2-Δ(μ^2 r[τ]^2+(Lz-a ε)^2+Q);
Vθ[θ_]:=Q-Cos[θ]^2(a^2 (μ^2-ε^2)+Lz^2 Sin[θ]^(-2)); (* effektives latitudinales Potential *)

т[τ_]:=Evaluate[t[τ]/.sol][[1]];                        (* Koordinatenzeit nach Eigenzeit *)
д[ξ_]:=Quiet[zt /.FindRoot[т[zt]-ξ, {zt, 0}]];          (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)
T :=Quiet[д[tk]];                       
 
ю[τ_]:=Evaluate[t'[τ]/.sol][[1]];
γ[τ_]:=If[μ==0, "Infinity", ю[τ]];                                           (* totale ZD *)
R[τ_]:=Evaluate[r[τ]/.sol][[1]];                                (* Boyer-Lindquist Radius *)
Φ[τ_]:=Evaluate[φ[τ]/.sol][[1]];                           
Θ[τ_]:=Evaluate[θ[τ]/.sol][[1]];
ß[τ_]:=Sqrt[X'[τ]^2+Y'[τ]^2+Z'[τ]^2 ]/ю[τ];
 
ς[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Δi[τ]/Σi[τ]]; ς0=Sqrt[χ/δ/Ξ];                         (* gravitative ZD *)
ω[τ_]:=(a(2R[τ]-℧^2))/Χi[τ]; ω0=(a(2r0-℧^2))/χ; ωζ=(a(2r[τ]-℧^2))/Χ;   (* F-Drag Winkelg *)
Ω[τ_]:=ω[τ] Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2];            (* Frame Dragging beobachtete Geschwindigkeit *)
й[τ_]:=ω[τ] яi[τ] ς[τ]; й0=ω0 Ы ς0;              (* Frame Dragging lokale Geschwindigkeit *)
 
ж[τ_]:=Sqrt[ς[τ]^2-1]/ς[τ]; ж0=Sqrt[ς0^2-1]/ς0;                  (* Fluchtgeschwindigkeit *)
V[τ_]:=If[μ==0, 1, Re[Sqrt[-ς[τ]^2+ю[τ]^2]/ю[τ]]];
                                                  (* Fluchtgeschwindigkeit von r0 nach r1 *)
vd1:=v1/.NSolve[Sqrt[δ Ξ/χ]/Sqrt[1-v1^2]+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))==Sqrt[((a^2+
(-2+r1) r1+℧^2) (r1^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r1^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r1) r1+℧^2) Sin[θ0]^2)]+
(a^2 q r1 ℧ (2 r1-℧^2) Sin[θ0]^2)/((r1^2+a^2 Cos[θ0]^2) ((a^2+r1^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r1) r1+
℧^2) Sin[θ0]^2))+((q r1 ℧)/(r1^2+a^2 Cos[θ0]^2))&&v1>0,v1][[1]];
                                                          (* lokale Dreiergeschwindigkeit *)
vd[τ_]:=Abs[(Sqrt[Δ Σ^3 Χ-ε^2 Σ^2 Χ^2-2 a Lz ε Σ^2 Χ ℧^2-a^2 Lz^2 Σ^2 ℧^4+
4 a Lz ε Σ^2 Χ r[τ]+2 q ε Σ Χ^2 ℧ r[τ]+4 a^2 Lz^2 Σ^2 ℧^2 r[τ]+2 a Lz q Σ Χ ℧^3 r[τ]-
4 a^2 Lz^2 Σ^2 r[τ]^2-4 a Lz q Σ Χ ℧ r[τ]^2-q^2 Χ^2 ℧^2 r[τ]^2])/(ε Σ Χ+
a Lz Σ ℧^2-2 a Lz Σ r[τ]-q Χ ℧ r[τ])];

v[τ_]:=If[μ==0, 1, Evaluate[vlt'[τ]/.sol][[1]]];

vnt[τ_]:=Evaluate[Sqrt[(φ'[τ] r[τ]/Csc[θ[τ]])^2+(θ'[τ] r[τ])^2+r'[τ]^2]/.sol][[1]]
ν:=If[μ==0, 1, Re[Sqrt[(Δ Σ-Χ(εζ-Lζ ωζ)^2)/(μ Χ (εζ-Lζ ωζ)^2)]]];
vesc[τ_]:=Abs[(\[Sqrt](R[τ]^2 (R[τ]^2 (Δi[τ] Σi[τ]-Χi[τ])+2 q R[τ] Χi[τ] ℧-q^2 Χi[τ] ℧^2)+
2 a^2 R[τ] (R[τ] Δi[τ] Σi[τ]-R[τ] Χi[τ]+q Χi[τ] ℧) Cos[Θ[τ]]^2+a^4 (Δi[τ] Σi[τ]-
Χi[τ]) Cos[Θ[τ]]^4))/(Sqrt[Χi[τ]] (R[τ] (R[τ]-q ℧)+a^2 Cos[Θ[τ]]^2))];

dst[τ_]:=Evaluate[str[τ]/.sol][[1]];                                           (* Strecke *)
 
pΘ[τ_]:=Evaluate[Ξ θ'[τ] /. sol][[1]];
pR[τ_]:=Evaluate[r'[τ] Ξ/δ /. sol][[1]];

epot[τ_]:=ε+μ-ekin[τ];                                             (* potentielle Energie *)
ekin[τ_]:=If[μ==0, ς[τ], 1/Sqrt[1-v[τ]^2]-1];                       (* kinetische Energie *)

drwf=vr0/(Sqrt[(2+r0)/r0] Sqrt[1-v0^2 μ^2]);
duwf=vθ0/(Sqrt[r0^2] Sqrt[1-v0^2 μ^2]);
dfwf=(vφ0 Csc[θ0]^4 (r0^2 Sin[θ0]^2)^(3/2))/(r0^4 Sqrt[1-v0^2 μ^2]);
dtwf=1/(-2+r0) (-2 a Sin[θ0]^2 dfwf+r0 Sqrt[-μ+(2 μ)/r0+(1-4/r0^2) drwf^2+(-2+r0) r0 duwf^2-
2 r0 Sin[θ0]^2 dfwf^2+r0^2 Sin[θ0]^2 dfwf^2+(4 a^2 Sin[θ0]^4 dfwf^2)/r0^2]);
 
                                                               (* beobachtete Inklination *)
ink0:=б/. Solve[Z'[0]/ю[0] Cos[б]==-Y'[0]/ю[0] Sin[б]&&б>0&&б<2π&&б<δp[r0, a], б][[1]];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 7) DIFFERENTIALGLEICHUNG |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
dp= Style[\!\(\*SuperscriptBox[\(Y\),\(Y\)]\), White]; n0[z_] := Chop[Re[N[Simplify[z]]]];
 
Φ10=(a(2r0-℧^2) ε+(Ξ-2r0)Lz Csc[θ0]^2)/(Ξ δ);
Θ10=pθ0/Ξ;
r10=pr0 δ/Ξ;
t10=-((a (-℧^2+2 r0) Sin[θ0]^2 Φ10)/(Ξ+℧^2-2 r0))+\[Sqrt]((1/(δ (Ξ+℧^2-2 r0)^2))(Ξ (Ξ+℧^2-
2 r0) (-δ μ+Ξ r10^2+δ Ξ Θ10^2)-δ χ (-Ξ-℧^2+2 r0) Sin[θ0]^2 Φ10^2+a^2 δ (℧^2-
2 r0)^2 Sin[θ0]^4 Φ10^2));
                                       
DG1={
 
t''[τ]==-(((r'[τ] ((a^2+r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+
2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ]))+a (2 a^4 Cos[θ[τ]]^2+a^2 ℧^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]-
a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ])+a^2 θ'[τ] (Sin[2 θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])-2 a Cos[θ[τ]] (℧^2-
2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 φ'[τ]))/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2),
 
t'[0]==1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (Lz (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε (-δ Xj^2+
Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)),
t[0]==0,
 
r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+
(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+
r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+
8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+
8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2),
 
r'[0]==(pr0 δ)/Ξ,
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+
10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+
a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2),
 
θ'[0]==pθ0/Ξ,
θ[0]==θ0,
 
φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))((r'[τ] (4 a q ℧ (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2)-
8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(℧^2-r[τ]) r[τ]) t'[τ]+(a^2 (3 a^2+8 ℧^2+a^2 (4 Cos[2 θ[τ]]+
Cos[4 θ[τ]])) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-
16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+
θ'[τ] (8 a Cot[θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+(8 Cot[θ[τ]] (a^2+r[τ]^2)^2-
2 a^2 (3 a^2+2 ℧^2+4 (-1+r[τ]) r[τ]) Sin[2 θ[τ]]-a^4 Sin[4 θ[τ]]) φ'[τ])),
 
φ'[0]==1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+Lz (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-
q ℧ r0 a Sin[θ0]^2),
φ[0]==φ0,
 
str'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]/Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]],
str[0]==0,
vlt'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]],
vlt[0]==0
 
};

DG2={
 
t'[τ]==1/(Δ Σ Sin[θ[τ]]^2) (Lz (Δ XJ-a Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2))+ε (-Δ XJ^2+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2)^2)-q ℧ r[τ] Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2)),
t[0]==0,
 
r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+
(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+
r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+
8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+
8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2),
 
r'[0]==(pr0 δ)/Ξ,
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+
10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+
a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2),
 
θ'[0]==pθ0/Ξ,
θ[0]==θ0,
 
φ'[τ]==1/(Δ Σ Sin[θ[τ]]^2) (ε (-Δ XJ+a Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2))+Lz (Δ-a^2 Sin[θ[τ]]^2)-
q ℧ r[τ] a Sin[θ[τ]]^2),
φ[0]==φ0,
 
str'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]/Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]],
str[0]==0,
vlt'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]],
vlt[0]==0
 
};

DG3={
 
t'[τ]==1/(Δ Σ Sin[θ[τ]]^2) (Lz (Δ XJ-a Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2))+ε (-Δ XJ^2+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2)^2)-q ℧ r[τ] Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2)),
t[0]==0,
 
r'[τ]==Sign[vr0] Sqrt[Vτ]/Σ,
r[0]==r0,

θ'[τ]==Sign[vθ0] Sqrt[Q-Cos[θ[τ]]^2 (a^2 (μ^2-ε^2)+Lz^2/Sin[θ[τ]]^2)]/Σ,
θ[0]==θ0,

φ'[τ]==1/(Δ Σ Sin[θ[τ]]^2) (ε (-Δ XJ+a Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2))+Lz (Δ-a^2 Sin[θ[τ]]^2)-
q ℧ r[τ] a Sin[θ[τ]]^2),
φ[0]==φ0,
 
str'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]/Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]],
str[0]==0,
vlt'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]],
vlt[0]==0
 
};

DG4={
 
t''[τ]==((-4 a^2 r[τ] Sin[2 θ[τ]] t'[τ] θ'[τ]+r'[τ] (4 a^2 Sin[θ[τ]]^2 t'[τ]+r[τ]^3 (q ℧-2 t'[τ]+6 a Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ])))/((-2+r[τ]) r[τ]^4+4 a^2 r[τ] Sin[θ[τ]]^2)),
t'[0]==dtwf,
t[0]==0,

r''[τ]==((r'[τ]^2-t'[τ]^2+t'[τ] (q ℧+2 a Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ])+r[τ]^3 (θ'[τ]^2+Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]^2))/(r[τ] (2+r[τ]))),
r'[0]==drwf,
r[0]==r0,

θ''[τ]==((-2 r[τ]^2 r'[τ] θ'[τ]+Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] φ'[τ] (-4 a t'[τ]+r[τ]^3 φ'[τ]))/(r[τ]^3)),
θ'[0]==duwf,
θ[0]==θ0,

φ''[τ]==-((2 (r'[τ] (-a q ℧+a r[τ] t'[τ]+((-2+r[τ]) r[τ]^3-2 a^2 Sin[θ[τ]]^2) φ'[τ])+r[τ] θ'[τ] (-2 a Cot[θ[τ]] (-2+r[τ]) t'[τ]+(Cot[θ[τ]] (-2+r[τ]) r[τ]^3+2 a^2 Sin[2 θ[τ]]) φ'[τ])))/((-2+r[τ]) r[τ]^4+4 a^2 r[τ] Sin[θ[τ]]^2)),
φ'[0]==dfwf,
φ[0]==φ0,
 
str'[τ]==vd[τ],
str[0]==0,
vlt'[τ]==vd[τ],
vlt[0]==0
 
};

DG5={
 
t''[τ]==0,
 
t'[0]==1,
t[0]==0,
 
r''[τ]==-(1-℧ q)/r[τ]^2+(Sqrt[vφ0^2+vθ0^2] r0)^2/r[τ]^3,
 
r'[0]==vr0,
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==-2 θ'[τ] r'[τ]/r[τ]+Sin[θ[τ]] Cos[θ[τ]] φ'[τ]^2,
 
θ'[0]==vθ0/r0,
θ[0]==θ0,
 
φ''[τ]==-2 φ'[τ] (r'[τ]+r[τ] θ'[τ] Cot[θ[τ]])/r[τ],
 
φ'[0]==vφ0/r0 Csc[θ0],
φ[0]==φ0,
 
vlt'[τ]==Sqrt[r'[τ]^2+φ'[τ]^2 r[τ]^2],
vlt[0]==0,
str'[τ]==Sqrt[r'[τ]^2+φ'[τ]^2 r[τ]^2],
str[0]==0
 
};

DGL = If[dgl==1, DG1, If[dgl==2, DG2, If[dgl==3, DG3, If[dgl==4, DG4, DG5]]]];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 8) INTEGRATION |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
sol=NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ, vlt, str}, {τ, 0, tmax+1/1000},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
Method-> mta,
InterpolationOrder-> All,
StepMonitor :> (laststep=plunge; plunge=τ;
stepsize=plunge-laststep;), Method->{"EventLocator",
"Event" :> (If[stepsize<1*^-4, 0, 1])}];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 9) KOORDINATEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
X[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Cos[φ[τ]]/.sol][[1]];            (* kartesisch *)
Y[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Sin[φ[τ]]/.sol][[1]];
Z[τ_]:=Evaluate[r[τ] Cos[θ[τ]]/.sol][[1]];
 
x[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+A^2] Sin[θ[τ]] Cos[φ[τ]]/.sol][[1]];       (* Plotkoordinaten *)
y[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+A^2] Sin[θ[τ]] Sin[φ[τ]]/.sol][[1]];
z[τ_]:=Z[τ];
 
XYZ[τ_]:=Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2+Z[τ]^2]; XY[τ_]:=Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2];  (* kartesischer Radius *)
 
Xyz[{x_, y_, z_}, α_]:={x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};      (* Rotationsmatrix *)
xYz[{x_, y_, z_}, β_]:={x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};
xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_]:={x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]};
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 10) PLOT EINSTELLUNGEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
PR=r1;                                                                      (* Plot Range *)
VP={r0, r0, r0};                                                     (* Perspektive x,y,z *)
d1=10;                                                                    (* Schweiflänge *)
plp=50;                                                            (* Flächenplot Details *)
Plp=Automatic;                                                          (* Kurven Details *)
 
w1l=0; w2l=0; w1r=0; w2r=0;                                          (* Startperspektiven *)
Mrec=100; mrec=10;                                       (* Parametric Plot Subdivisionen *)
imgsize=380;                                                                 (* Bildgröße *)
 
s[text_]:=Style[text, FontFamily->"Consolas", FontSize->11];               (* Anzeigestil *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 11) PLOT NACH EIGENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
display[T_]:=Grid[{
{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[tp]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" t coord"], " = ", s[n0[т[tp]]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" ṫ total"], " = ", s[n0[ю[tp]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[If[dgl==5, 1, ς[tp]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" γ kinet"], " = ", If[μ==0, s[n0[ς[tp]]], s[n0[If[dgl==5,
vnt[tp]^2/2, 1/Sqrt[1-v[tp]^2]]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" R carts"], " = ", s[n0[XYZ[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" x carts"], " = ", s[n0[X[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" y carts"], " = ", s[n0[Y[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" z carts"], " = ", s[n0[Z[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},

{s[" r coord"], " = ", s[n0[R[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" φ longd"], " = ", s[n0[Φ[tp] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[Θ[tp] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" d¹r/dτ¹"], " = ", s[n0[R'[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" d¹φ/dτ¹"], " = ", s[n0[Φ'[tp]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d¹θ/dτ¹"], " = ", s[n0[Θ'[tp]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2r/dτ\.b2"], " = ", s[n0[R''[tp]]], s["c⁴/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2φ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Φ''[tp]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" d\.b2θ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Θ''[tp]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},

{s[" ℧ cntrl"], " = ", s[n0[℧]], s["Q/M"], s[dp]},
{s[" q prtcl"], " = ", s[n0[q]], s["q/m"], s[dp]},
{s[" M irred"], " = ", s[N[mirr]], s["M"], s[dp]},
{s[" E kinet"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vnt[tp]^2/2, ekin[tp]]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E poten"], " = ", s[n0[If[dgl==5, -(1-℧ q)/R[tp], epot[tp]]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E total"], " = ", s[n0[If[dgl==5, v0^2/2-(1-℧ q)/r0+1, ε]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" CarterQ"], " = ", s[n0[Qk]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L axial"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vφ0 r0, Lz]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L polar"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vθ0 r0, pΘ[tp]]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" p r.mom"], " = ", s[n0[If[dgl==5, R'[tp], pR[tp]]]], s["mc"], s[dp]},

{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[ω[tp]]]], s["c³/G/M"], s[dp]},
{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[Abs[й[tp]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[Ω[tp]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v propr"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vnt[tp], v[tp]/Sqrt[1-v[tp]^2]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v escpe"], " = ", s[n0[vesc[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v r,loc"], " = ", s[n0[If[dgl==5, R'[tp], vr[tp]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v θ,loc"], " = ", s[n0[If[dgl==5, Θ'[tp] R[tp], vθ[tp]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v φ,loc"], " = ", s[n0[If[dgl==5, Φ'[tp] R[tp]/Csc[Θ[tp]], vφ[tp]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v local"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vnt[tp], v[tp]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" "], s[" "], s["                       "], s["         "]}},
Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}];
 
plot1b[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                     (* Animation *)
Show[

Graphics3D[{
{PointSize[0.011], Red, Point[
Xyz[xyZ[{x[tp], y[tp], z[tp]}, w1], w2]]}},
ImageSize-> imgsize,
PlotRange-> {
{-(2 Sign[Abs[xx]]+1) PR, +(2 Sign[Abs[xx]]+1) PR},
{-(2 Sign[Abs[yy]]+1) PR, +(2 Sign[Abs[yy]]+1) PR},
{-(2 Sign[Abs[zz]]+1) PR, +(2 Sign[Abs[zz]]+1) PR}
},
SphericalRegion->False,
ImagePadding-> 1],

horizons[A, None, w1, w2],

If[a==0, {}, ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[prm] a,
Cos[prm] a,
0}, w1], w2],
{prm, 0, 2π},
PlotStyle -> {Thickness[0.005], Orange}]],

If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]],

If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, д[т[tp]-1/2 π/ω0]], tp},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> 12]]],

If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, If[tp<0, Min[0, tp+d1], Max[0, tp-d1]], tp},
PlotStyle-> {Thickness[0.004]},
ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},
Hue[0, 1, 0.5, If[tp<0,
Max[Min[(+tp+(-t+d1))/d1, 1], 0], Max[Min[(-tp+(t+d1))/d1, 1], 0]]]],
ColorFunctionScaling-> False,
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2],
{tt, 0, If[tp<0, Min[-1*^-16, tp+d1/3], Max[1*^-16, tp-d1/3]]},
PlotStyle-> {Thickness[0.004], Opacity[0.6], Darker[Gray]},
PlotPoints-> Plp,
MaxRecursion-> mrec]]],

ViewPoint-> {xx, yy, zz}];
 
Do[
Print[Rasterize[Grid[{{
plot1b[{0, -Infinity, 0, tp, w1l, w2l}],
plot1b[{0, 0, +Infinity, tp, w1r, w2r}],
display[tp]
}, {"  ", "  ", "                                             "}
}, Alignment->Left]]],
{tp, 0, tMax, tMax/1}]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 12) PLOT NACH KOORDINATENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
display[T_]:=Grid[{
{s[" t coord"], " = ", s[n0[tk]], s["GM/c³"], s[dp]},
{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[T]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" ṫ total"], " = ", s[n0[ю[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[If[dgl==5, 1, ς[T]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" γ kinet"], " = ", If[μ==0, s[n0[ς[T]]], s[n0[If[dgl==5,
vnt[T]^2/2, 1/Sqrt[1-v[T]^2]]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" R carts"], " = ", s[n0[XYZ[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" x carts"], " = ", s[n0[X[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" y carts"], " = ", s[n0[Y[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" z carts"], " = ", s[n0[Z[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},

{s[" r coord"], " = ", s[n0[R[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" φ longd"], " = ", s[n0[Φ[T] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[Θ[T] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" d¹r/dτ¹"], " = ", s[n0[R'[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" d¹φ/dτ¹"], " = ", s[n0[Φ'[T]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d¹θ/dτ¹"], " = ", s[n0[Θ'[T]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2r/dτ\.b2"], " = ", s[n0[R''[T]]], s["c⁴/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2φ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Φ''[T]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" d\.b2θ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Θ''[T]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},

{s[" ℧ cntrl"], " = ", s[n0[℧]], s["Q/M"], s[dp]},
{s[" q prtcl"], " = ", s[n0[q]], s["q/m"], s[dp]},
{s[" M irred"], " = ", s[N[mirr]], s["M"], s[dp]},
{s[" E kinet"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vnt[T]^2/2, ekin[T]]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E poten"], " = ", s[n0[If[dgl==5, -(1-℧ q)/R[T], epot[T]]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E total"], " = ", s[n0[If[dgl==5, v0^2/2-(1-℧ q)/r0+1, ε]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" CarterQ"], " = ", s[n0[Qk]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L axial"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vφ0 r0, Lz]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L polar"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vθ0 r0, pΘ[T]]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" p r.mom"], " = ", s[n0[If[dgl==5, R'[T], pR[T]]]], s["mc"], s[dp]},

{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[ω[T]]]], s["c³/G/M"], s[dp]},
{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[Abs[й[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[Ω[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v propr"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vnt[T], v[T]/Sqrt[1-v[T]^2]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v escpe"], " = ", s[n0[vesc[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v r,loc"], " = ", s[n0[If[dgl==5, R'[T], vr[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v θ,loc"], " = ", s[n0[If[dgl==5, Θ'[T] R[T], vθ[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v φ,loc"], " = ", s[n0[If[dgl==5, Φ'[T] R[T]/Csc[Θ[T]], vφ[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v local"], " = ", s[n0[If[dgl==5, vnt[T], v[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" "], s[" "], s["                       "], s["         "]}},
Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}];
 
plot1a[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                     (* Animation *)
Show[

Graphics3D[{
{PointSize[0.011], Red, Point[
Xyz[xyZ[{x[T], y[T], z[T]}, w1], w2]]}},
ImageSize-> imgsize,
PlotRange-> {
{-(2 Sign[Abs[xx]]+1) PR, +(2 Sign[Abs[xx]]+1) PR},
{-(2 Sign[Abs[yy]]+1) PR, +(2 Sign[Abs[yy]]+1) PR},
{-(2 Sign[Abs[zz]]+1) PR, +(2 Sign[Abs[zz]]+1) PR}
},
SphericalRegion->False,
ImagePadding-> 1],

horizons[A, None, w1, w2],

If[a==0, {}, ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[prm] a,
Cos[prm] a,
0}, w1], w2],
{prm, 0, 2π},
PlotStyle -> {Thickness[0.005], Orange}]],

If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]],

If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, tk-1/2 π/ω0], tk},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

Block[{$RecursionLimit = Mrec},
If[tk==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, If[TMax<0, Min[0, T+d1], Max[0, T-d1]], T},
PlotStyle-> {Thickness[0.004]},
ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},
Hue[0, 1, 0.5, If[TMax<0, Max[Min[(+T+(-t+d1))/d1, 1], 0], Max[Min[(-T+(t+d1))/d1, 1], 0]]]],
ColorFunctionScaling-> False,
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2],
{tt, 0, If[Tmax<0, Min[-1*^-16, T+d1/3], Max[1*^-16, T-d1/3]]},
PlotStyle-> {Thickness[0.004], Opacity[0.6], Darker[Gray]},
PlotPoints-> Plp,
MaxRecursion-> mrec]]],

ViewPoint-> {xx, yy, zz}];
 
Quiet[Do[
Print[Rasterize[Grid[{{
plot1a[{0, -Infinity, 0, tk, w1l, w2l}],
plot1a[{0, 0, Infinity, tk, w1r, w2r}],
display[Quiet[д[tk]]]
}, {"  ", "  ", "                                             "}
}, Alignment->Left]]],
{tk, 0, TMax, TMax/1}]]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 13) EXPORTOPTIONEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
(* Export als HTML Dokument *)
(* Export["Y:\\export\\dateiname.html", EvaluationNotebook[], "GraphicsOutput" -> "PNG"]  *)
(* Export direkt als Bildsequenz *)
(* Do[Export["Y:\\export\\dateiname" <> ToString[tk] <> ".png", Rasterize[...]            *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||| http://kerr.newman.yukerez.net ||||| Simon Tyran, Vienna |||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)











Interpolationsfunktion für den schnelleren Output vieler Einzelbilder bei dafür etwas längerer Anlaufzeit:

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 11) PLOT NACH KOORDINATENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

Plp=Round[Max[4, 2tk]];

rint=Evaluate[Interpolation[Table[{tint,R[д[tint]]},{tint,0,TMax,1/2}]]];
uint=Evaluate[Interpolation[Table[{tint,Θ[д[tint]]},{tint,0,TMax,1/2}]]];
pint=Evaluate[Interpolation[Table[{tint,Φ[д[tint]]},{tint,0,TMax,1/2}]]];
zint[τ_]:=rint[τ] Cos[uint[τ]];
xint[τ_]:=Sqrt[rint[τ]^2+a^2] Sin[uint[τ]] Cos[pint[τ]];
yint[τ_]:=Sqrt[rint[τ]^2+a^2] Sin[uint[τ]] Sin[pint[τ]];

display[T_]:=Grid[{
{s[" t coord"], " = ", s[n0[tk]], s["GM/c³"], s[dp]},
{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[T]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" ṫ total"], " = ", s[n0[ю[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[ς[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" γ kinet"], " = ", If[μ==0, s[n0[ς[T]]], s[n0[1/Sqrt[1-v[T]^2]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" R carts"], " = ", s[n0[Sqrt[xint[tk]^2+yint[tk]^2+zint[tk]^2]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" x carts"], " = ", s[n0[xint[tk]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" y carts"], " = ", s[n0[yint[tk]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" z carts"], " = ", s[n0[zint[tk]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},

{s[" r coord"], " = ", s[n0[rint[tk]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" φ longd"], " = ", s[n0[pint[tk] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[uint[tk] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" d¹r/dτ¹"], " = ", s[n0[R'[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" d¹φ/dτ¹"], " = ", s[n0[Φ'[T]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d¹θ/dτ¹"], " = ", s[n0[Θ'[T]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2r/dτ\.b2"], " = ", s[n0[R''[T]]], s["c⁴/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2φ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Φ''[T]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" d\.b2θ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Θ''[T]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},

{s[" ℧ cntrl"], " = ", s[n0[℧]], s["Q/M"], s[dp]},
{s[" q prtcl"], " = ", s[n0[q]], s["q/m"], s[dp]},
{s[" M irred"], " = ", s[N[mirr]], s["M"], s[dp]},
{s[" E kinet"], " = ", s[n0[ekin[T]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E poten"], " = ", s[n0[epot[T]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E total"], " = ", s[n0[ε]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" CarterQ"], " = ", s[n0[Qk]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L polar"], " = ", s[n0[pΘ[T]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" p r.mom"], " = ", s[n0[pR[T]]], s["mc"], s[dp]},

{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[ω[T]]]], s["c³/G/M"], s[dp]},
{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[Abs[й[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[Ω[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v propr"], " = ", s[n0[v[T]/Sqrt[1-v[T]^2]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v escpe"], " = ", s[n0[vesc[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v r,loc"], " = ", s[n0[vr[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v θ,loc"], " = ", s[n0[vθ[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v φ,loc"], " = ", s[n0[vφ[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v local"], " = ", s[n0[v[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" "], s[" "], s["                       "], s["         "]}},
Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}];

hz=horizons[A, None, 0, 0];
 
plot1a[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                     (* Animation *)
Show[

Graphics3D[{
{PointSize[0.011], Red, Point[
Xyz[xyZ[{xint[tk], yint[tk], zint[tk]}, w1], w2]]}},
ImageSize-> imgsize,
PlotRange-> {
{-(2 Sign[Abs[xx]]+1) PR, +(2 Sign[Abs[xx]]+1) PR},
{-(2 Sign[Abs[yy]]+1) PR, +(2 Sign[Abs[yy]]+1) PR},
{-(2 Sign[Abs[zz]]+1) PR, +(2 Sign[Abs[zz]]+1) PR}
},
SphericalRegion->False,
ImagePadding-> 1],

horizons[A, None, w1, w2],

If[a==0, {}, ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[prm] a,
Cos[prm] a,
0}, w1], w2],
{prm, 0, 2π},
PlotStyle -> {Thickness[0.005], Orange}]],

If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]],

If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, tk-199/100 π/ω0], tk},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

Block[{$RecursionLimit = Mrec},
If[tk==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{xint[tt], yint[tt], zint[tt]}, w1], w2], {tt, If[TMax<0, Min[0, tk+d1], Max[0, tk-d1]], tk},
PlotStyle-> {Thickness[0.004]},
ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},
Hue[0, 1, 0.5, If[TMax<0, Max[Min[(+tk+(-t+d1))/d1, 1], 0], Max[Min[(-tk+(t+d1))/d1, 1], 0]]]],
ColorFunctionScaling-> False,
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{xint[tt], yint[tt], zint[tt]}, w1], w2],
{tt, 0, If[Tmax<0, Min[-1*^-16, tk+d1/3], Max[1*^-16, tk-d1/3]]},
PlotStyle-> {Thickness[0.004], Opacity[0.6], Darker[Gray]},
PlotPoints-> Plp,
MaxRecursion-> mrec]]],

ViewPoint-> {xx, yy, zz}];
 
Quiet[Do[
Print[Rasterize[Grid[{{
plot1a[{0, -Infinity, 0, tk, w1l, w2l}],
plot1a[{0, 0, Infinity, tk, w1r, w2r}],
display[Quiet[д[tk]]]
}, {"  ", "  ", "                                             "}
}, Alignment->Left]]],
{tk, 0, TMax, TMax/2}]]











Erhaltungsgrößen Testmonitor zur Probe der numerischen Stabilität

Code: Alles auswählen

[email protected]ε

ε0=With[{τ=0},Evaluate[+((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

ε1=With[{τ=tMax 99/100},Evaluate[+((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

[email protected]

Lz0=With[{τ=0},Evaluate[(q a r[τ] ℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

Lz1=With[{τ=tMax 99/100},Evaluate[(q a r[τ] ℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

[email protected]

Q0=With[{τ=0},Evaluate[((θ'[τ] (r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+(((q a r[τ]℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2 Csc[θ[τ]]^2-a^2 ((((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+μ)) Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

Q1=With[{τ=tMax 99/100},Evaluate[((θ'[τ] (r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+(((q a r[τ]℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2 Csc[θ[τ]]^2-a^2 ((((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+μ)) Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

Plot[{
Evaluate[+((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]],
Evaluate[(q a r[τ] ℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]],
Evaluate[((θ'[τ] (r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+(((q a r[τ]℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2 Csc[θ[τ]]^2-a^2 ((((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+μ)) Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]
}, {τ, 0, tMax 99/100}, PlotPoints->100, ImageSize->300, Frame->True]











Solver für den Inklinationswinkel bei gegebener Geschwindigkeit und Bahndrehimpuls:

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* Solver: Inklinationswinkel für gegebenen Bahndrehimpuls |||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];                                                        (* Startradius *)
r1 = r0+2;                                                   (* Endradius wenn v0=vr0=vr1 *)
θ0 = π/2;                                                                  (* Breitengrad *)
φ0 = 0;                                                                     (* Längengrad *)
a  = 9/10;                                                               (* Spinparameter *)
℧  = 2/5;                                       (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)
q  = 0;                                             (* spezifische Ladung des Testkörpers *)
 
v0 = 2/5;                                                       (* Anfangsgeschwindigkeit *)
α0 = 0;                                                      (* vertikaler Abschusswinkel *)
i0 = i0;                                                        (* Bahninklinationswinkel *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 2) GESCHWINDIGKEITS-, ENERGIE UND DREHIMPULSKOMPONENTEN ||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
vr0=v0 Sin[α0];                                     (* radiale Geschwindigkeitskomponente *)
vθ0=v0 Cos[α0] Sin[i0];                      (* longitudinale  Geschwindigkeitskomponente *)
vφ0=v0 Cos[α0] Cos[i0];                        (* latitudinale Geschwindigkeitskomponente *)

vrj[τ_]:=R'[τ]/Sqrt[Δi[τ]] Sqrt[Σi[τ] (1+μ v[τ]^2)];
vθj[τ_]:=Θ'[τ] Sqrt[Σi[τ] (1+μ v[τ]^2)];
vφj[τ_]:=Evaluate[(-(((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]] Sqrt[1-
μ^2 v[τ]^2] (-φ'[τ]-(a q ℧ r[τ])/((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+
(ε Csc[θ[τ]]^2 (a (-a^2-℧^2+2 r[τ]-r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2+a (a^2+
r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2))/((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+(a q ℧ r[τ] (a^2+
℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2))/((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 (a^2+℧^2-2 r[τ]+
r[τ]^2) (1-μ^2 v[τ]^2))))/((a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2) Sqrt[((a^2+r[τ]^2)^2-
a^2 (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2)/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)]))) /. sol][[1]]
vtj[τ_]:=Sqrt[vrj[τ]^2+vθj[τ]^2+vφj[τ]^2];
vr[τ_]:=vrj[τ]/vtj[τ]*v[τ];
vθ[τ_]:=vθj[τ]/vtj[τ]*v[τ];
vφ[τ_]:=vφj[τ]/vtj[τ]*v[τ];
VΦ[τ_]:=Sqrt[v[τ]^2-vθ[τ]^2-vr[τ]^2];
Vφ[τ_]:=If[q==0, Vφ[τ], VΦ[τ]];
 
x0[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Cos[φ0];                             (* Anfangskoordinaten *)
y0[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Sin[φ0];
z0[A_]:=r0 Cos[θ0];
 
ε0=Sqrt[δ Ξ/χ]/j[v0]+Lz ω0;
ε=ε0+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2));
εζ:=Sqrt[Δ Σ/Χ]/j[ν]+Lz ωζ+((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2));
LZ=vφ0 Ы/j[v0];
Lz=LZ+((q a r0 ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) j[v0]^2;
Lζ:=vφ0 я/j[ν]+0((q a r[τ] ℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2));
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0]; pθζ:=θ'[τ] Σ;
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
Qk=Limit[pθ0^2+(Lz^2 Csc[θ1]^2-a^2 (ε^2+μ)) Cos[θ1]^2, θ1->θ0];       (* Carter Konstante *)
Q=Limit[pθ0^2+(Lz^2 Csc[θ1]^2-a^2 (ε^2+μ)) Cos[θ1]^2, θ1->θ0];
Qζ:=pθζ^2+(Lz^2 Csc[θ[τ]]^2-a^2 (εζ^2+μ)) Cos[θ[τ]]^2;
k=Q+Lz^2+a^2 (ε^2+μ); kζ:=Qζ+Lz^2+a^2 (εζ^2+μ);
j[v_]:=Sqrt[1-μ^2 v^2];                                                  (* Lorentzfaktor *)
я=Sqrt[Χ/Σ]Sin[θ[τ]];                                            (* axialer Umfangsradius *)
яi[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Σi[τ]]Sin[Θ[τ]];
Ы=Sqrt[χ/Ξ]Sin[θ0];

Σ=r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2;                                    (* poloidialer Umfangsradius *)
Σi[τ_]:=R[τ]^2+a^2 Cos[Θ[τ]]^2;
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;

Δ=r[τ]^2-2r[τ]+a^2+℧^2;
Δr[r_]:=r^2-2r+a^2+℧^2;
Δi[τ_]:=R[τ]^2-2R[τ]+a^2+℧^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;

Χ=(r[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2 Δ;
Χi[τ_]:=(R[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[Θ[τ]]^2 Δi[τ];
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;

Xj=a Sin[θ0]^2;
xJ[τ_]:=a Sin[Θ[τ]]^2;
XJ=a Sin[θ[τ]]^2;

Pr[r_]:=ε(r^2+a^2)+℧ q r-a Lz;
Pt[τ_]:=ε(R[τ]^2+a^2)+℧ q R[τ]-a Lz;
Pτ=ε(r[τ]^2+a^2)+℧ q r[τ]-a Lz;
pτ=ε(r0^2+a^2)+℧ q r0-a Lz;

Vr[r_]:=Pr[r]^2-Δr[r](μ^2 r^2+(Lz-a ε)^2+Q);             (* effektives radiales Potential *)
Vτ=Pτ^2-Δ(μ^2 r[τ]^2+(Lz-a ε)^2+Q);
Vθ[θ_]:=Q-Cos[θ]^2(a^2 (μ^2-ε^2)+Lz^2 Sin[θ]^(-2)); (* effektives latitudinales Potential *)

т[τ_]:=Evaluate[t[τ]/.sol][[1]];                        (* Koordinatenzeit nach Eigenzeit *)
д[ξ_]:=Quiet[zt /.FindRoot[т[zt]-ξ, {zt, 0}]];          (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)
T :=Quiet[д[tk]];                       
 
ю[τ_]:=Evaluate[t'[τ]/.sol][[1]];
γ[τ_]:=If[μ==0, "Infinity", ю[τ]];                                           (* totale ZD *)
R[τ_]:=Evaluate[r[τ]/.sol][[1]];                                (* Boyer-Lindquist Radius *)
Φ[τ_]:=Evaluate[φ[τ]/.sol][[1]];                           
Θ[τ_]:=Evaluate[θ[τ]/.sol][[1]];
ß[τ_]:=Sqrt[X'[τ]^2+Y'[τ]^2+Z'[τ]^2 ]/ю[τ];
 
ς[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Δi[τ]/Σi[τ]]; ς0=Sqrt[χ/δ/Ξ];                         (* gravitative ZD *)
ω[τ_]:=(a(2R[τ]-℧^2))/Χi[τ]; ω0=(a(2r0-℧^2))/χ; ωζ=(a(2r[τ]-℧^2))/Χ;   (* F-Drag Winkelg *)
Ω[τ_]:=ω[τ] Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2];            (* Frame Dragging beobachtete Geschwindigkeit *)
й[τ_]:=ω[τ] яi[τ] ς[τ]; й0=ω0 Ы ς0;              (* Frame Dragging lokale Geschwindigkeit *)
μ=If[Abs[v0]==1, 0, If[Abs[v0]<1, -1, 1]];                   (* Baryon: μ=-1, Photon: μ=0 *)

NSolve[Lz==0, i0]










Solver für ISCO, Photonenradius und Kreisbahngeschwindigkeit:

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || Solver für r ISCO, Photonenorbit und Kreisbahngeschwindigkeit ||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

a=1/2;
℧=0;
r=isco;

vt=vφ;
Σ[r_]:=r^2;
Δ[r_]:=r^2-2 r+a^2+℧^2;
Χ[r_]:=(r^2+a^2)^2-a^2 Δ[r];
κ[r_]:=a;
rA=1+Sqrt[1-a^2-℧^2];
rE=1+Sqrt[1-℧^2];
rp=rf/.Solve[4 a^2 (rf-℧^2)-(rf^2-3 rf+2 ℧^2)^2==0&&rf>=1,rf];
"r photon"->rp

risco=Quiet[RI/.NSolve[0==RI (6 RI-RI^2-9 ℧^2+3 a^2)+4 ℧^2 (℧^2-a^2)-8 a (RI-℧^2)^(3/2)&&
RI>=If[Element[rA,Reals],rA,0],RI]];
isco=Min[risco]; isco=isco; Isco=Max[risco];
"r isco"->risco

j[v_]:=Sqrt[1-v^2];
Ы[r_]:=Sqrt[Χ[r]/Σ[r]];
ω[r_]:=(a (2 r-℧^2))/Χ[r];
ε[r_]:=Sqrt[Δ[r] Σ[r]/Χ[r]]/j[vt]+Lz[r] ω[r];
Lz[r_]:=vφ Ы[r]/j[vt];

red[r_]:=Quiet[Reduce[
dt==(Lz[r] (-a (a^2+r^2)+Δ[r] κ[r])+ε[r] ((a^2+r^2)^2-Δ[r] κ[r]^2))/(Δ[r] Σ[r])&&
0==((a^2+(-2+r) r+℧^2) (16 a dt dΦ r (r-℧^2)+8 dt^2 r (-r+℧^2)+dΦ^2 r (8 r (-a^2+r^3)+a^2 (4 a^2+4 ℧^2-4 (a-℧) (a+℧)))))/(8 r^6)&&
dΦ==(Lz[r] (-a^2+Δ[r])+ε[r] (a (a^2+r^2)-Δ[r] κ[r]))/(Δ[r] Σ[r])&&
vt>0,{vt,dΦ,dt},Reals]];
red[r]

vPro=red[r][[1,2]];
"vPro"->vPro

[email protected][ε[r]==1,vt][[2,2]];
"vEsc"->vEsc

vDif=Quiet[vd/.Solve[(vPro+vd)/(1+vPro vd)==vEsc,vd][[1]]];
"vDif"->vDif

M1=1;M2=10;v1=vDif;
sol=Quiet[Simplify[Reduce[
(M1/Sqrt[1-v1^2]-M1)+(M2/Sqrt[1-v2^2]-M2)==Ek&&((M1 v1)/Sqrt[1-v1^2])+((M2 v2)/Sqrt[1-v2^2])==0&&
Ek>0&&M1>0&&M2>M1&&v1>0&&
v2<0, {Ek,v2}, Reals]]];
 
"vRec"->sol[[2,2]]
"Ek"->sol[[1,2]]










Solver für die radiale Koordinatenbeschleunigung

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || Solver für die Radialbeschleunigung ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

r0=4; θ0=1/3; a=0.5; ℧=0.7; q=0.6;
dr=dθ=dφ=v0=vr0=vθ0=vφ0=0;

Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
Ы=Sqrt[χ/Ξ]Sin[θ0];
μ=-1;
ω0=(a(2r0-℧^2))/χ;
j[v_]:=Sqrt[1-μ^2 v^2];
ε0=Sqrt[δ Ξ/χ]/j[v0]+Lz ω0;
ε=ε0+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2));
LZ=vφ0 Ы/j[v0];
Lz=LZ+((q a r0 ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) j[v0]^2;

dr=dθ=dφ=v0=0;

dt=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (Lz (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε (-δ Xj^2+
Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))

d2r=((-1+r0)/(a^2+℧^2+(-2+r0) r0)-r0/(a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)) dr^2+
(a^2 Sin[2 θ0] dr dθ)/(a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ0]^2+
r0^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r0) r0) (8 dt (a^2 Cos[θ0]^2 (-q ℧+dt)+
r0 (q ℧ r0+(℧^2-r0) dt))+8 r0 (a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)^2 dθ^2+
8 a Sin[θ0]^2 (a^2 Cos[θ0]^2 (q ℧-2 dt)+r0 (-q ℧ r0+2 (-℧^2+r0) dt)) dφ+
Sin[θ0]^2 (r0 (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ0]+a^2 Cos[4 θ0])+
8 r0 (2 a^2 Cos[θ0]^2 r0+r0^3-a^2 Sin[θ0]^2))+2 a^4 Sin[2 θ0]^2) dφ^2)










Startbedingungssolver: Umrechung von lokaler Geschwindigkeit, Eigenzeitableitungen und Erhaltungsgrößen

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 1: Erste Eigenzeitableitungen nach lokalen Geschwindigkeiten ||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Startwerte für die lokalen Geschwindigkeitskomponenten eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *)
 
vr0 = 0;
vθ0 = 2/5 Sin[(2 π)/9];
vφ0 = 2/5 Cos[(2 π)/9];
v0  = Sqrt[vr0^2+vθ0^2+vφ0^2];
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ε0 = (q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]/Sqrt[1-v0^2 μ^2]+(a (2 r0-℧^2) ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2]))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2);
 
L0 = (a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2];
 
Q0 = (vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(1-v0^2 μ^2)+Cos[θ0]^2 (Csc[θ0]^2 ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2])^2-a^2 (μ+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]/Sqrt[1-v0^2 μ^2]+(a (2 r0-℧^2) ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2]))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))^2));
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
 
dT=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (L0 (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε0 (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2));
dR=(pr0 δ)/Ξ;
dΘ=pθ0/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε0 (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+L0 (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);
 
(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 1"
FindInstance[dT==dt && dR==dr && dΘ==dθ && dΦ==dφ, {dt,dr,dθ,dφ}, Reals]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
(* || *)
    (* || *)
        (* || *)
            (* || *)
                 (* || *)
                      (* || *)
                          (* || *)
                              (* || *)
                                  (* ||*)
                                      (* || *)
                                          (* || *)
                                              (* || *)
                                                   (* || *)
                                                        (* || *)
                                                            (* || *)
                                                                (* || *)
                                                                    (* || *)
                                                                        (* ||*)
                                                                            (* || *)
                                                                                (* || *)
                                                                                    (* || *)
                                                                                   
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 2: Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q nach lokalen Geschwindigkeiten |||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Startwerte für die lokalen Geschwindigkeitskomponenten eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *)
 
vr0 = 0;
vθ0 = 2/5 Sin[(2 π)/9];
vφ0 = 2/5 Cos[(2 π)/9];
v0  = Sqrt[vr0^2+vθ0^2+vφ0^2];
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ε0 = (q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]/Sqrt[1-v0^2 μ^2]+(a (2 r0-℧^2) ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2]))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2);
 
L0 = (a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2];
 
Q0 = (vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(1-v0^2 μ^2)+Cos[θ0]^2 (Csc[θ0]^2 ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2])^2-a^2 (μ+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]/Sqrt[1-v0^2 μ^2]+(a (2 r0-℧^2) ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2]))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))^2));
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
 
dT=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (L0 (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε0 (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2));
dR=(pr0 δ)/Ξ;
dΘ=pθ0/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε0 (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+L0 (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);
 
(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 2"
FindInstance[ε==ε0 && Lz==L0 && Q==Q0, {ε,Lz,Q}, Reals]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

(* || *)
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                                                            (* || *)
                                                                (* || *)
                                                                    (* || *)
                                                                        (* ||*)
                                                                            (* || *)
                                                                                (* || *)
                                                                                    (* || *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 3: Lokale Geschwindigkeit nach ersten Eigenzeitableitungen  |||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Startwerte für die ersten Eigenzeitableitungen eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *)
 
dt = -((1701 (-24095+4 Sqrt[4819])+47026091025 Sqrt[(21 (1229-5 Sqrt[4819]))/(5902951+405 Sqrt[4819])]+142231604345 Sqrt[(101199 (1229-5 Sqrt[4819]))/(5902951+405 Sqrt[4819])])/(487677981 (-1229+5 Sqrt[4819])));
dr = 0;
dθ = (20 Sin[(2 π)/9])/Sqrt[101199];
dφ = (10064917571310-509342021892 Sqrt[4819]+3576385309875 Sqrt[(101199 (1229-5 Sqrt[4819]))/(5902951+405 Sqrt[4819])]-257016180174650625 Sqrt[(3687-15 Sqrt[4819])/(41320657+2835 Sqrt[4819])]+13988810657375 Sqrt[1/21 (5902951+405 Sqrt[4819])] Cos[(2 π)/9]-713519331725 Sqrt[4819/21 (5902951+405 Sqrt[4819])] Cos[(2 π)/9])/(116113805 (-3622484152+14508505 Sqrt[4819]));
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ε0 = ((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))+dt (1-(2 r0-℧^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))+(a dφ (2 r0-℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2);
L0 = (q a r0 ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)-(a dt  (2 r0-℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(dφ Sin[θ0]^2 ((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2);
Q0 = ((dθ (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))^2+(((q a r0 ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)-(a dt  (2 r0-℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(dφ Sin[θ0]^2 ((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))^2 Csc[θ0]^2-a^2 ((((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))+dt (1-(2 r0-℧^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))+(a dφ (2 r0-℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))^2+μ)) Cos[θ0]^2);
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
 
dT=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (L0 (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε0 (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2));
dR=(pr0 δ)/Ξ;
dΘ=pθ0/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε0 (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+L0 (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);

v0j = Abs[(Sqrt[δ Ξ^3 χ-ε0^2 Ξ^2 χ^2-2 a L0 ε0 Ξ^2 χ ℧^2-a^2 L0^2 Ξ^2 ℧^4+4 a L0 ε0 Ξ^2 χ r0+2 q ε0 Ξ χ^2 ℧ r0+4 a^2 L0^2 Ξ^2 ℧^2 r0+2 a L0 q Ξ χ ℧^3 r0-4 a^2 L0^2 Ξ^2 r0^2-4 a L0 q Ξ χ ℧ r0^2-q^2 χ^2 ℧^2 r0^2])/(ε0 Ξ χ+a L0 Ξ ℧^2-2 a L0 Ξ r0-q χ ℧ r0)];
vrj = dr/Sqrt[δ] Sqrt[Ξ (1+μ v0j^2)];
vθj = dθ Sqrt[Ξ (1+μ v0j^2)];
vφj = -(((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) Sin[θ0] Sqrt[1-μ^2 v0j^2] (-dφ-(a q ℧ r0)/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2))+(ε0 Csc[θ0]^2 (a (-a^2-℧^2+2 r0-r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2))/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2))+(a q ℧ r0 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2-a^2 Sin[θ0]^2))/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)^2 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) (1-μ^2 v0j^2))))/((a^2+℧^2-2 r0+r0^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) Sin[θ0]^2)/(a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)]));

(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 3"
Simplify[Solve[v0==v0j && vr0==vrj && vθ0==vθj && vφ0==vφj, {v0,vr0,vφ0,vθ0}, Reals]]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

(* || *)
    (* || *)
        (* || *)
            (* || *)
                 (* || *)
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                              (* || *)
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                                                                (* || *)
                                                                    (* || *)
                                                                        (* ||*)
                                                                            (* || *)
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(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 4: Lokale Geschwindigkeit nach Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q ||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Erhaltungsgrößen Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante eingeben |||| *)
 
ε = 0.90688763;
Lz = 2.3240259;
Q = 3.7925614;
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
P=ε(r0^2+a^2)+℧ q r0-a Lz;
Vr=P^2-δ(μ^2 r0^2+(Lz-a ε)^2+Q);
Vθ=Q-Cos[θ0]^2(a^2(μ^2-ε^2)+Lz^2/Sin[θ0]^2);

dT=Abs[1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (Lz (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))];
dR=Sqrt[Abs[Vr]]/Ξ;
dΘ=Sqrt[Abs[Vθ]]/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+Lz (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);

v0j=Abs[(Sqrt[δ Ξ^3 χ-ε^2 Ξ^2 χ^2-2 a Lz ε Ξ^2 χ ℧^2-a^2 Lz^2 Ξ^2 ℧^4+4 a Lz ε Ξ^2 χ r0+2 q ε Ξ χ^2 ℧ r0+4 a^2 Lz^2 Ξ^2 ℧^2 r0+2 a Lz q Ξ χ ℧^3 r0-4 a^2 Lz^2 Ξ^2 r0^2-4 a Lz q Ξ χ ℧ r0^2-q^2 χ^2 ℧^2 r0^2])/(ε Ξ χ+a Lz Ξ ℧^2-2 a Lz Ξ r0-q χ ℧ r0)];
vrj=Abs[dR Sqrt[Ξ (1+μ v0j^2)]/Sqrt[δ]];
vθj=Abs[dΘ Sqrt[Ξ (1+μ v0j^2)]];
vφj=-(((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) Sin[θ0] Sqrt[1-μ^2 v0j^2] (-dΦ-(a q ℧ r0)/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2))+(ε Csc[θ0]^2 (a (-a^2-℧^2+2 r0-r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2))/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2))+(a q ℧ r0 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2-a^2 Sin[θ0]^2))/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)^2 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) (1-μ^2 v0j^2))))/((a^2+℧^2-2 r0+r0^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) Sin[θ0]^2)/(a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)]));
vtj=Sqrt[vrj^2+vθj^2+vφj^2];
 
(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 4"
FullSimplify[FindInstance[{[email protected] && vθ[email protected]θj && vφ[email protected]φj && [email protected][v0^2-vφ0^2-vθ0^2]}, {v0, vr0, vθ0, vφ0}]]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

(* || *)
    (* || *)
        (* || *)
            (* || *)
                 (* || *)
                      (* || *)
                          (* || *)
                              (* || *)
                                  (* ||*)
                                      (* || *)
                                          (* || *)
                                              (* || *)
                                                   (* || *)
                                                        (* || *)
                                                            (* || *)
                                                                (* || *)
                                                                    (* || *)
                                                                        (* ||*)
                                                                            (* || *)
                                                                                (* || *)
                                                                                    (* || *)
                                                               
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 5: Erste Eigenzeitableitungen nach Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q ||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Erhaltungsgrößen Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante eingeben |||| *)
 
ε = 0.90688763;
Lz = 2.3240259;
Q = 3.7925614;
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
щ=(q ℧ r0 (a^2+r0^2))/(δ Ξ);

gtt=1-(2 r0-℧^2)/Ξ;
grr=-Ξ/δ;
gθθ=-Ξ;
gφφ=-χ/Ξ Sin[θ0]^2;
gtφ=a (2r0-℧^2) Sin[θ0]^2/Ξ;

P=ε(r0^2+a^2)+℧ q r0-a Lz;
Vr=P^2-δ(μ^2 r0^2+(Lz-a ε)^2+Q);
Vθ=Q-Cos[θ0]^2(a^2(μ^2-ε^2)+Lz^2/Sin[θ0]^2);

dT=Abs[1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (Lz (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))];
dR=Sqrt[Abs[Vr]]/Ξ;
dΘ=Sqrt[Abs[Vθ]]/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+Lz (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);

(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 5"
FullSimplify[FindInstance[{dt==dT && dθ==dΘ && dφ==dΦ && gtt dt^2+grr dr^2+gθθ dθ^2+gφφ dφ^2+gtφ dt dφ==-μ}, {dt, dr, dθ, dφ}]]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)










◬ Zur Überprüfung der numerischen Stabilität wird nach dem Plotten der Bahn der Erhaltungsgrößen Testmonitor (Codefenster 4) ausgeführt. dgl=1: alle Bewegungsgleichung über die zweite Zeitableitung (empfohlene Integrationsmethode mt0 oder mt3), dgl=2: r' und θ' über zweite, t' und φ' über die erste Zeitableitung (empfohlene Integrationsmethode mt2), dgl=3: alle Bewegungsgleichgungen über die erste Zeitableitung (diese Methode funktioniert wegen dem ± vor r' und θ' nur bis zu den radialen und poloidialen Umkehrpunkten und wird außer zu Testzwecken nicht empfohlen). dgl=4: Weak Field Approximation, dgl=5: Newton

▣ Raytracing Code für schwarze Löcher, stellare Objekte und Akkretionsscheiben: raytracing.yukterez.net

[Yukterez]

Referenzen und vertiefende Literatur:

• Misner, Thorne & Wheeler: MTW
• Newman & Adamo: Kerr-Newman metric
• Vyacheslav Dokuchaev: Voyage inside a black hole
• Pietro Giuseppe Frè: Gravity, a Geometrical Course Ⅱ
• Modak: Effective Values of Komar Conserved Quantities
• Hackmann & Xu: Charged particle motion in Kerr-Newman spacetimes
• Calvani & Felice: Off-equatorial circular orbits in the Kerr-Newman spacetime
• Mustapha Azreg-Aïnou: Epicyclic oscillations of charged particles in stationary solutions
• Stuchlík, Schee & Blaschke: Particle collisions and optical effects in the mining Kerr–Newman spacetimes
• Bičak, Stuchlík & Balek: Charged particle motion in the field of rotating charged black holes and naked singularities
• Bacchini, Ripperda, Porth & Sironi: Generalized, energy-conserving numerical simulations of particles in general relativity
• Schroven, Eva Hackmann & Lämmerzahl: Relativistic dust accretion of charged particles in Kerr-Newman spacetime
• Gal’tsov & Kobialko: Completing characterization of photon orbits in the Kerr-Newman metric
• Cebeci, Özdemir & Şentorun: Motion of charged particles in Kerr-Newman spacetime
• Pugliese & Quevedo: Horizon remnants, Killing throats and bottlenecks
• Semerák & Bičák: Interplay of forces in the Kerr–Newman field
• ICRANet: Generalizations of the Kerr-Newman solution
• Zhang & Liu: ISCOs of charged spinning test particles

Bei manchen Internetprovidern sind die Sci-Hub Links nur noch über Tor erreichbar.

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