Kerr Newman Metrik

[Yukterez]

Das ist die deutschsprachige Version.   English versions are available on en.yukterez.net and yukipedia.

Verwandte Beiträge: Kerr || Reissner Nordström || Schwarzschild || Geodäsie || Gravitationslinsen || Raytracing || Paraboloid  
 

  ←
Schatten eines Kerr-Newman SL mit a²+℧²=M², Betrachtungswinkel: edge on. Für andere Winkel siehe hier. Rohmaterial: ESO/Brunier.   
 

  ←
Zoom auf den Schatten des obigen Kerr-Newman SL mit a²+℧²=M² und eingeblendeten Oberflächen (letztere sind in natura nicht sichtbar)    
 

  ←
Retrograder Orbit eines mit q=1 geladenen Partikels um ein SL mit a=√¾ & ℧=⅓. v0 & i0: lokale Startgeschwindigkeit & Inklination    

  ←
Prograder Orbit eines neutralen Testpartikels um ein mit a=0.9 rotierendes und ℧=0.4 elektrisch geladenes Kerr Newman Schwarzloch    

  ←
Prograder Orbit eines negativ geladenen Testpartikels (q=-¼) um ein wie oben rotierendes und positiv geladenes schwarzes Loch    

  ←
Nichtäquatorialer und retrograder Photonenorbit um ein mit a=½ und ℧=½ geladenes schwarzes Loch, konstanter Boyer Lindquist Radius      

  ←
Polarer Photonenorbit um eine mit a=0.5 rotierende und ℧=0.75 geladene nackte Singularität, konstanter Boyer Lindquist Radius      

  ←
Polarer Orbit (Lz=0) eines positiv geladenen Testpartikels (q=⅓) um ein positiv geladenes und rotierendes schwarzes Loch (℧=a=0.7)    

  ←
Freier Fall eines neutralen Testpartikels auf eine mit mit a=1.5 rotierende und und ℧=0.4 elektrisch geladene nackte Singularität      

  ←
Geodätischer Orbit um eine nackte Singularität mit den gleichen Spin- und Ladungaparametern wie ein Beispiel weiter oben    
 

  ←
Chaotischer Orbit eines positiv geladenen Partikels (q=½) um eine rotierende und positiv geladene Ringsingularität (a=¾, ℧=⅔)      

  ←
Nichtäquatorialer und retrograder Photonenorbit um eine mit a=0.9 rotierende und ℧=0.9 geladene nackte Singularität    
 

  ←
Retrograder Photonenorbit um eine nackte Singularität (a=0.99, ℧=0.99). Lokale äquatoriale Inklination: -2.5rad=-143.23945°    
 

  ←
Stationärer Photonenorbit (E=0) um eine Ringsingularität (a=½, ℧=1). Außer bei r=1, θ=90° ist v framedrag überall <c, daher keine Ergosphären.      

  ←
Äquatorialer retrograder Photonenorbit, Singularität bei r=0→R=√(r²+a²)=a=½. Ergoring (grün) bei r=1, Umkehrpunkte bei r=0.8 und r=1.3484      

  ←
Retrograder Photonenorbit der 3. Art innerhalb eines mit a=0.75 rotierenden und ℧=0.5 geladenen schwarzes Lochs, konstanter BL Radius      

  ←
Orbit eines negativ geladenen Partikels im Inneren eines positiv geladenen Reissner Nordström SL (vergleiche Dokuchaev, Fig. 1)      

[Yukterez]

Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten, metrische Signatur (+,-,-,-):



wobei



mit dem Spinparameter â=Jc/G/M bzw. dem dimensionslosen Spinparameter a=â/M und dem spezifischen elektrischen Ladungsparameter Ω=⚼·√(K/G) bzw. dem dimensionlosen Ladungsparameter ℧=Ω/M. Der Artikel verwendet die dimensionslosen natürlichen Einheiten G=M=c=K=1 mit Längen in GM/c² und Zeiten in GM/c³. Der Zusammenhang zwischen dem hier gleich 1 gesetzten Massenäquivalent M und der irreduziblen Masse Mirr ist



Für massebehaftete Testpartikel gilt μ=-1, für Photonen μ=0. Die spezifische Ladung des Testpartikels ist q. Transformationsregel für ko-und kontravariante Indizes (hochgestellte Buchstaben sind hierbei keine Potenzen sondern Indizes):



Ko- und kontravariante Metrik:

Elektromagnetisches Potential:



Kovarianter elektromagnetischer Tensor:



Kontravarianter Maxwelltensor:



Eigenzeitableitungen der Koordinaten:



Damit lauten die Bewegungsgleichungen:









Kanonischer Viererimpuls:

Insgesamte Zeitdilatation eines neutralen Testpartikels, gewonnen aus dem Linienelement:



Zusätzliche Zeitdilatation eines geladenen Testpartikels:



Insgesamte Zeitdilatation eines geladenen Testpartikels:



Zusammenhang der ersten Eigenzeitableitungen mit den kovarianten Impulskomponenten:





Zusammenhang der ersten Eigenzeitableitungen mit den lokalen Dreiergeschwindigkeitskomponenten:

   



mit dem kontrahierten elektromagnetischen Potential



Das radiale effektive Potential das an seinen Nullstellen die Umkehrpunkte vorgibt ist



und das latitudinale Potential



mit dem Parameter



Für die lokale Dreiergeschwindigkeit relativ zu einem ZAMO vor Ort wird E nach v aufgelöst:



Radiale Fluchtgeschwindigkeit für ein neutrales Teilchen:



Für die Fluchtgeschwindigkeit eines drehimpulsfreien geladenen Teilchens wird E=1 gesetzt und nach v aufgelöst:

1. Erhaltungsgröße: Gesamtenergie E=-pt

2. Erhaltungsgröße: axialer Drehimpuls Lz=+pφ

3. Erhaltungsgröße: Carter-Konstante



mit der koaxialen Drehimpulskomponente (die selber keine Erhaltungsgröße ist)



Die azimutalen und latitudinalen Stoßparameter sind



Gravitative Zeitdilatation eines ZAMO, unendlich am Horizont:



Zeitdilatation eines neutralen stationären Partikels, unendlich bei der Ergosphäre:



mit dem Zusammenhang



Frame-Dragging Winkelgeschwindigkeit im System den Koordinatenbuchhalters:



Lokale Frame-Dragging Geschwindigkeit relativ zu den Fixsternen (bei der Ergosphäre c):



Axialer und koaxialer Gyrationsradius:



Axialer und koaxialer Umfang:



Die Radien der äquatorialen Photonenkreisorbits sind implizit gegeben durch:



Radialkoordinaten der Horizonte und Ergosphären:



Kartesische Projektion:

[Yukterez]

Input: Linienelement und Maxwell-Tensor, Output: Bewegungsgleichungen

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* | Mathematica Syntax | GEODESIC SOLVER | geodesics.yukterez.net | Version 20.01.2019 | *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

ClearAll["Global`*"]
                                               (* Input: kovariante metrische Komponenten *)
gtt=1-(2r-℧^2)/Σ;
grr=-Σ/Δ;
gθθ=-Σ;
gφφ=-Χ/Σ Sin[θ]^2;
gtφ=a (2r-℧^2) Sin[θ]^2/Σ;

                                                                           (* Abkürzungen *)
Σ=r^2+a^2 Cos[θ]^2;
Δ=r^2-2 r+a^2+℧^2;
Χ=(r^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ]^2 Δ;
щ=(q ℧ r (a^2+r^2))/(Δ Σ);

              (* Koordinaten, Dimensionen, magnetisches Monopol, elektrische Ladung, Spin *)
x={t, r, θ, φ}; n=4; P=0; Ω=℧; ℧=℧; a=a;

                                                                         "Metrischer Tensor"
metrik={{gtt, 0, 0, gtφ}, {0, grr, 0, 0}, {0, 0, gθθ, 0}, {gtφ, 0, 0, gφφ}};
Subscript["g", μσ] -> MatrixForm[metrik]
inversemetrik=Simplify[Inverse[metrik]];
"g"^μσ -> MatrixForm[inversemetrik]

                                                                            "Maxwell Tensor"
A={(Ω r)/Σ+P/Σ Cos[θ] a, 0, 0, -(Ω r/Σ) Sin[θ]^2 a-P/Σ Cos[θ](r^2+a^2)};
F=Simplify[Table[((D[A[[j]], x[[k]]]-D[A[[k]], x[[j]]])), {j, 1, n}, {k, 1, n}], Reals];
Subscript["F", μσ] -> MatrixForm[F]
f=Simplify[Table[Sum[
inversemetrik[[i, k]] inversemetrik[[j, l]] F[[k, l]],
{k, 1, n}, {l, 1, n}], {i, 1, n}, {j, 1, n}], Reals];
"F"^μσ -> MatrixForm[f]

                                                                        "Christoffelsymbole"
christoffel=Simplify[Table[(1/2)Sum[(inversemetrik[[i, s]])
(D[metrik[[s, j]], x[[k]]]+D[metrik[[s, k]], x[[j]]] -D[metrik[[j, k]], x[[s]]]), {s, 1, n}],
{i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, n}]];
Christoffel=Table[If[UnsameQ[christoffel[[i, j, k]], 0],
{ToString[Γ[i, j, k]], christoffel[[i, j, k]]}], {i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, j}];
TableForm[Partition[DeleteCases[Flatten[Christoffel], Null], 2]]
                                               
                                                                            "Riemann Tensor"
riemann=Simplify[Table[
D[christoffel[[i, j, l]], x[[k]]] - D[christoffel[[i, j, k]], x[[l]]] +
Sum[christoffel[[s, j, l]] christoffel[[i, k, s]] -
christoffel[[s, j, k]] christoffel[[i, l, s]],
{s, 1, n}], {i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, n}, {l, 1, n}]];
Riemann=Table[If[UnsameQ[riemann[[i, j, k, l]], 0],
{ToString[R[i, j, k, l]], riemann[[i, j, k, l]]}],
{i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, n}, {l, 1, k - 1}];
TableForm[Partition[DeleteCases[Flatten[Riemann], Null], 2]]
 
                                                                              "Ricci Tensor"
ricci=Simplify[Table[
Sum[riemann[[i, j, i, l]], {i, 1, n}], {j, 1, n}, {l, 1, n}]];
Subscript["Ř", μσ] -> MatrixForm[ricci]
Ricci=Simplify[Table[Sum[
inversemetrik[[i, k]] inversemetrik[[j, l]] ricci[[k, l]], {k, 1, n}, {l, 1, n}],
{i, 1, n}, {j, 1, n}], Reals];
"Ř"^μσ -> MatrixForm[Ricci]
                                                                              "Ricci Skalar"
Ř=Simplify[Sum[inversemetrik[[i, j]] ricci[[i, j]], {i, 1, n}, {j, 1, n}]]; "Ř"->Ř

"Einstein Tensor"
einstein=Simplify[Ricci-Ř metrik/2];
Subscript["G", μσ] -> MatrixForm[einstein]
Einstein=Simplify[Table[Sum[
metrik[[i, k]] metrik[[j, l]] einstein[[k, l]], {k, 1, n}, {l, 1, n}],
{i, 1, n}, {j, 1, n}], Reals];
"G"^μσ -> MatrixForm[Simplify[Einstein]]

rplc[y_]:=(((((((y/.t->t[τ])/.r->r[τ])/.θ->θ[τ])/.φ->φ[τ])/.Derivative[1][t[τ]]->
t'[τ])/.Derivative[1][r[τ]]->r'[τ])/.Derivative[1][θ[τ]]->θ'[τ])/.Derivative[1][φ[τ]]->φ'[τ];
rple[y_]:=(((((((y/.t->t[τ])/.r->r[τ])/.θ->θ[τ])/.φ->φ[τ])/.Derivative[1][t[τ]]->
t'[τ])/. r\.b4->r'[τ])/. θ\.b4->θ'[τ])/. φ\.b4->φ'[τ];
list[y_]:=y[[1]]==y[[2]];

                                                                      "Bewegungsgleichungen"
geodäsie=Simplify[Table[-Sum[
christoffel[[i, j, k]] x[[j]]' x[[k]]'+q f[[i, k]] x[[j]]' metrik[[j, k]],
{j, 1, n}, {k, 1, n}], {i, 1, n}]];

bewegungsgleichung=Table[{x[[i]]''[τ]==Simplify[rplc[geodäsie[[i]]], Reals]}, {i, 1, n}];

geodesic1=bewegungsgleichung[[1]][[1]]
geodesic2=bewegungsgleichung[[2]][[1]]
geodesic3=bewegungsgleichung[[3]][[1]]
geodesic4=bewegungsgleichung[[4]][[1]]

                                                                            "Zeitdilatation"
ṫ=rple[Simplify[Normal[Solve[
-μ==gtt ť^2+grr r\.b4^2+gθθ θ\.b4^2+gφφ φ\.b4^2 + 2 gtφ ť φ\.b4, ť, Reals]]][[2, 1, 2]]-щ];
Derivative[1][t][τ]==ṫ











Simulator-Code für Photonen, geladene und neutrale Teilchen

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||| Mathematica | kerr.newman.yukterez.net | 06.08.2017 - 12.04.2019, Version 22 |||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"];
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];
 
wp=MachinePrecision;
mt1=Automatic;
mt2={"EquationSimplification"-> "Residual"};
mt3={"ImplicitRungeKutta", "DifferenceOrder"-> 20};
mt4={"StiffnessSwitching", Method-> {"ExplicitRungeKutta", Automatic}};
mt5={"EventLocator", "Event"-> (r[τ]-1001/1000 rA)};
mta=mt1;
dgl=1;
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 1) STARTBEDINGUNGEN EINGEBEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
A=a;                                   (* pseudosphärisch [BL]: A=0, kartesisch [KS]: A=a *)
 
tmax=300;                                                                    (* Eigenzeit *)
Tmax=300;                                                              (* Koordinatenzeit *)
TMax=Min[Tmax, т[plunge-1*^-3]]; tMax=Min[tmax, plunge-1/1000];       (* Integrationsende *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];                                                        (* Startradius *)
r1 = r0+2;                                                   (* Endradius wenn v0=vr0=vr1 *)
θ0 = π/2;                                                                  (* Breitengrad *)
φ0 = 0;                                                                     (* Längengrad *)
a  = 9/10;                                                               (* Spinparameter *)
℧  = 2/5;                                       (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)
q  = 0;                                             (* spezifische Ladung des Testkörpers *)
 
v0 = 2/5;                                                       (* Anfangsgeschwindigkeit *)
α0 = 0;                                                      (* vertikaler Abschusswinkel *)
i0 = ArcTan[5/6];                                               (* Bahninklinationswinkel *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 2) GESCHWINDIGKEITS-, ENERGIE UND DREHIMPULSKOMPONENTEN ||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
vr0=v0 Sin[α0];                                     (* radiale Geschwindigkeitskomponente *)
vθ0=v0 Cos[α0] Sin[i0];                      (* longitudinale  Geschwindigkeitskomponente *)
vφ0=v0 Cos[α0] Cos[i0];                        (* latitudinale Geschwindigkeitskomponente *)

vrj[τ_]:=R'[τ]/Sqrt[Δi[τ]] Sqrt[Σi[τ] (1+μ v[τ]^2)];
vθj[τ_]:=Θ'[τ] Sqrt[Σi[τ] (1+μ v[τ]^2)];
vφj[τ_]:=Evaluate[(-(((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]] Sqrt[1-
μ^2 v[τ]^2] (-φ'[τ]-(a q ℧ r[τ])/((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+
(ε Csc[θ[τ]]^2 (a (-a^2-℧^2+2 r[τ]-r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2+a (a^2+
r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2))/((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+(a q ℧ r[τ] (a^2+
℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2))/((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 (a^2+℧^2-2 r[τ]+
r[τ]^2) (1-μ^2 v[τ]^2))))/((a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2) Sqrt[((a^2+r[τ]^2)^2-
a^2 (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2)/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)]))) /. sol][[1]]
vtj[τ_]:=Sqrt[vrj[τ]^2+vθj[τ]^2+vφj[τ]^2];
vr[τ_]:=vrj[τ]/vtj[τ]*v[τ];
vθ[τ_]:=vθj[τ]/vtj[τ]*v[τ];
vφ[τ_]:=vφj[τ]/vtj[τ]*v[τ];
VΦ[τ_]:=Sqrt[v[τ]^2-vθ[τ]^2-vr[τ]^2];
Vφ[τ_]:=If[q==0, Vφ[τ], VΦ[τ]];
 
x0[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Cos[φ0];                             (* Anfangskoordinaten *)
y0[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Sin[φ0];
z0[A_]:=r0 Cos[θ0];
 
ε0=Sqrt[δ Ξ/χ]/j[v0]+Lz ω0;
ε=ε0+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2));
εζ:=Sqrt[Δ Σ/Χ]/j[ν]+Lz ωζ+((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2));
LZ=vφ0 Ы/j[v0];
Lz=LZ+((q a r0 ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) j[v0]^2;
Lζ:=vφ0 я/j[ν]+0((q a r[τ] ℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2));
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0]; pθζ:=θ'[τ] Σ;
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
Qk=Limit[pθ0^2+(Lz^2 Csc[θ1]^2-a^2 (ε^2+μ)) Cos[θ1]^2, θ1->θ0];       (* Carter Konstante *)
Q=Limit[pθ0^2+(Lz^2 Csc[θ1]^2-a^2 (ε^2+μ)) Cos[θ1]^2, θ1->θ0];
Qζ:=pθζ^2+(Lz^2 Csc[θ[τ]]^2-a^2 (εζ^2+μ)) Cos[θ[τ]]^2;
k=Q+Lz^2+a^2 (ε^2+μ); kζ:=Qζ+Lz^2+a^2 (εζ^2+μ);
 
μ=If[Abs[v0]==1, 0, If[Abs[v0]<1, -1, 1]];                   (* Baryon: μ=-1, Photon: μ=0 *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 3) FLUCHTGESCHWINDIGKEIT UND BENÖTIGTER ABSCHUSSWINKEL |||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

vEsc=If[q==0, ж0, Abs[(\[Sqrt](r0^2 (r0^2 (δ Ξ-χ)+2 q r0 χ ℧-q^2 χ ℧^2)+
2 a^2 r0 (r0 δ Ξ-r0 χ+q χ ℧) Cos[θ0]^2+a^4 (δ Ξ-
χ) Cos[θ0]^4))/(Sqrt[χ] (r0 (r0-q ℧)+a^2 Cos[θ0]^2))]];
                                                  (* horizontaler Photonenkreiswinkel, i0 *)
iP[r0_, a_]:=Normal[iPh/.NSolve[1/(8 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)^3) (a^2+(-2+r0) r0+
℧^2) (8 r0 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sin[iPh]^2+1/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)) 8 a (Cos[iPh] Sin[θ0] (a^2-2 r0+r0^2+℧^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+(a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+
a (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))) (-(1/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)))2 a^2 Cot[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2-2 r0+
r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)]+((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-
℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) Sin[θ0]^2)))+1/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) 2 r0 (r0-
℧^2) Csc[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)]+((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+
(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))))+1/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) 8 Csc[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)]+((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+
(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))) (1/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) a^2 Cot[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+
a (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-
℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-
a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+
r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-
2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)))+1/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)) r0 (-r0+
℧^2) Csc[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (-a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+
((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^4) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-
℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))))+1/((a^2-2 r0+r0^2+
℧^2)^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)^2) Csc[θ0]^2 (Cos[iPh] Sin[θ0] (a^2-2 r0+r0^2+℧^2-
a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]+
(a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2+a (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^2) (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a (2 r0-
℧^2) Cos[iPh] Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+
a^2 Cos[θ0]^2)])/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)))^2 (r0 (a^2 (3 a^2+
4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ0]+a^2 Cos[4 θ0])+8 r0 (r0^3+2 a^2 r0 Cos[θ0]^2-
a^2 Sin[θ0]^2))+2 a^4 Sin[2 θ0]^2))==0,iPh,Reals]][[1]]/.C[1]->0
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 4) HORIZONTE UND ERGOSPHÄREN RADIEN ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
rE=1+Sqrt[1-a^2 Cos[θ]^2-℧^2];                                       (* äußere Ergosphäre *)
RE[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rE^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rE^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rE Cos[θ]}, w1], w2];
rG=1-Sqrt[1-a^2 Cos[θ]^2-℧^2];                                       (* innere Ergosphäre *)
RG[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rG^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rG^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rG Cos[θ]}, w1], w2];
rA=1+Sqrt[1-a^2-℧^2];                                                 (* äußerer Horizont *)
RA[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rA^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rA^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rA Cos[θ]}, w1], w2];
rI=1-Sqrt[1-a^2-℧^2];                                                 (* innerer Horizont *)
RI[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rI^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rI^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rI Cos[θ]}, w1], w2];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 5) HORIZONTE UND ERGOSPHÄREN PLOT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
horizons[A_, mesh_, w1_, w2_]:=Show[
ParametricPlot3D[RE[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> mesh, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Blue, Opacity[0.10]]],
ParametricPlot3D[RA[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Cyan, Opacity[0.15]]],
ParametricPlot3D[RI[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.25]]],
ParametricPlot3D[RG[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.35]]]];
BLKS:=Grid[{{horizons[a, 35, 0, 0], horizons[0, 35, 0, 0]}}];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 6) FUNKTIONEN ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
j[v_]:=Sqrt[1-μ^2 v^2];                                                    (* Lorentzfaktor *)
mirr=Sqrt[2-℧^2+2 Sqrt[1-a^2-℧^2]]/2;                                (* irreduzible Masse *)
я=Sqrt[Χ/Σ]Sin[θ[τ]];                                            (* axialer Umfangsradius *)
яi[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Σi[τ]]Sin[Θ[τ]];
Ы=Sqrt[χ/Ξ]Sin[θ0];

Σ=r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2;                                    (* poloidialer Umfangsradius *)
Σi[τ_]:=R[τ]^2+a^2 Cos[Θ[τ]]^2;
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;

Δ=r[τ]^2-2r[τ]+a^2+℧^2;
Δr[r_]:=r^2-2r+a^2+℧^2;
Δi[τ_]:=R[τ]^2-2R[τ]+a^2+℧^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;

Χ=(r[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2 Δ;
Χi[τ_]:=(R[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[Θ[τ]]^2 Δi[τ];
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;

Xj=a Sin[θ0]^2;
xJ[τ_]:=a Sin[Θ[τ]]^2;
XJ=a Sin[θ[τ]]^2;

Pr[r_]:=ε(r^2+a^2)+℧ q r-a Lz;
Pt[τ_]:=ε(R[τ]^2+a^2)+℧ q R[τ]-a Lz;
Pτ=ε(r[τ]^2+a^2)+℧ q r[τ]-a Lz;
pτ=ε(r0^2+a^2)+℧ q r0-a Lz;

Vr[r_]:=Pr[r]^2-Δr[r](μ^2 r^2+(Lz-a ε)^2+Q);             (* effektives radiales Potential *)
Vτ=Pτ^2-Δ(μ^2 r[τ]^2+(Lz-a ε)^2+Q);
Vθ[θ_]:=Q-Cos[θ]^2(a^2 (μ^2-ε^2)+Lz^2 Sin[θ]^(-2)); (* effektives latitudinales Potential *)

т[τ_]:=Evaluate[t[τ]/.sol][[1]];                        (* Koordinatenzeit nach Eigenzeit *)
д[ξ_]:=Quiet[zt /.FindRoot[т[zt]-ξ, {zt, 0}]];          (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)
T :=Quiet[д[tk]];                       
 
ю[τ_]:=Evaluate[t'[τ]/.sol][[1]];
γ[τ_]:=If[μ==0, "Infinity", ю[τ]];                                           (* totale ZD *)
R[τ_]:=Evaluate[r[τ]/.sol][[1]];                                (* Boyer-Lindquist Radius *)
Φ[τ_]:=Evaluate[φ[τ]/.sol][[1]];                           
Θ[τ_]:=Evaluate[θ[τ]/.sol][[1]];
ß[τ_]:=Sqrt[X'[τ]^2+Y'[τ]^2+Z'[τ]^2 ]/ю[τ];
 
ς[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Δi[τ]/Σi[τ]]; ς0=Sqrt[χ/δ/Ξ];                         (* gravitative ZD *)
ω[τ_]:=(a(2R[τ]-℧^2))/Χi[τ]; ω0=(a(2r0-℧^2))/χ; ωζ=(a(2r[τ]-℧^2))/Χ;    (* F-Drag Winkelg *)
Ω[τ_]:=ω[τ] Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2];            (* Frame Dragging beobachtete Geschwindigkeit *)
й[τ_]:=ω[τ] яi[τ] ς[τ]; й0=ω0 Ы ς0;              (* Frame Dragging lokale Geschwindigkeit *)
 
ж[τ_]:=Sqrt[ς[τ]^2-1]/ς[τ]; ж0=Sqrt[ς0^2-1]/ς0;                  (* Fluchtgeschwindigkeit *)
V[τ_]:=If[μ==0, 1, Re[Sqrt[-ς[τ]^2+ю[τ]^2]/ю[τ]]];
                                                  (* Fluchtgeschwindigkeit von r0 nach r1 *)
vd1:=v1/.NSolve[Sqrt[δ Ξ/χ]/Sqrt[1-v1^2]+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))==Sqrt[((a^2+
(-2+r1) r1+℧^2) (r1^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r1^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r1) r1+℧^2) Sin[θ0]^2)]+
(a^2 q r1 ℧ (2 r1-℧^2) Sin[θ0]^2)/((r1^2+a^2 Cos[θ0]^2) ((a^2+r1^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r1) r1+
℧^2) Sin[θ0]^2))+((q r1 ℧)/(r1^2+a^2 Cos[θ0]^2))&&v1>0,v1][[1]];
                                                          (* lokale Dreiergeschwindigkeit *)
vd[τ_]:=Abs[(Sqrt[Δ Σ^3 Χ-ε^2 Σ^2 Χ^2-2 a Lz ε Σ^2 Χ ℧^2-a^2 Lz^2 Σ^2 ℧^4+
4 a Lz ε Σ^2 Χ r[τ]+2 q ε Σ Χ^2 ℧ r[τ]+4 a^2 Lz^2 Σ^2 ℧^2 r[τ]+2 a Lz q Σ Χ ℧^3 r[τ]-
4 a^2 Lz^2 Σ^2 r[τ]^2-4 a Lz q Σ Χ ℧ r[τ]^2-q^2 Χ^2 ℧^2 r[τ]^2])/(ε Σ Χ+
a Lz Σ ℧^2-2 a Lz Σ r[τ]-q Χ ℧ r[τ])];

v[τ_]:=If[μ==0, 1, Evaluate[vlt'[τ]/.sol][[1]]];

ν:=If[μ==0, 1, Re[Sqrt[(Δ Σ-Χ(εζ-Lζ ωζ)^2)/(μ Χ (εζ-Lζ ωζ)^2)]]];
vesc[τ_]:=Abs[(\[Sqrt](R[τ]^2 (R[τ]^2 (Δi[τ] Σi[τ]-Χi[τ])+2 q R[τ] Χi[τ] ℧-q^2 Χi[τ] ℧^2)+
2 a^2 R[τ] (R[τ] Δi[τ] Σi[τ]-R[τ] Χi[τ]+q Χi[τ] ℧) Cos[Θ[τ]]^2+a^4 (Δi[τ] Σi[τ]-
Χi[τ]) Cos[Θ[τ]]^4))/(Sqrt[Χi[τ]] (R[τ] (R[τ]-q ℧)+a^2 Cos[Θ[τ]]^2))];

dst[τ_]:=Evaluate[str[τ]/.sol][[1]];                                           (* Strecke *)
 
pΘ[τ_]:=Evaluate[Ξ θ'[τ] /. sol][[1]];
pR[τ_]:=Evaluate[r'[τ] Ξ/δ /. sol][[1]];

epot[τ_]:=ε+μ-ekin[τ];                                             (* potentielle Energie *)
ekin[τ_]:=If[μ==0, ς[τ], 1/Sqrt[1-v[τ]^2]-1];                       (* kinetische Energie *)
 
                                                               (* beobachtete Inklination *)
ink0:=б/. Solve[Z'[0]/ю[0] Cos[б]==-Y'[0]/ю[0] Sin[б]&&б>0&&б<2π&&б<δp[r0, a], б][[1]];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 7) DIFFERENTIALGLEICHUNG |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
dp= \!\(\*SuperscriptBox[\(Y\),\(Y\)]\); n0[z_]:=Chop[Re[N[Chop[Simplify[Chop[z]]]]]];
 
Φ10=(a(2r0-℧^2) ε+(Ξ-2r0)Lz Csc[θ0]^2)/(Ξ δ);
Θ10=pθ0/Ξ;
r10=pr0 δ/Ξ;
t10=-((a (-℧^2+2 r0) Sin[θ0]^2 Φ10)/(Ξ+℧^2-2 r0))+\[Sqrt]((1/(δ (Ξ+℧^2-2 r0)^2))(Ξ (Ξ+℧^2-
2 r0) (-δ μ+Ξ r10^2+δ Ξ Θ10^2)-δ χ (-Ξ-℧^2+2 r0) Sin[θ0]^2 Φ10^2+a^2 δ (℧^2-
2 r0)^2 Sin[θ0]^4 Φ10^2));
                                       
DG1={
 
t''[τ]==-(((r'[τ] ((a^2+r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+
2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ]))+a (2 a^4 Cos[θ[τ]]^2+a^2 ℧^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]-
a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ])+a^2 θ'[τ] (Sin[2 θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])-2 a Cos[θ[τ]] (℧^2-
2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 φ'[τ]))/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2),
 
t'[0]==1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (Lz (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε (-δ Xj^2+
Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)),
t[0]==0,
 
r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+
(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+
r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+
8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+
8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2),
 
r'[0]==(pr0 δ)/Ξ,
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+
10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+
a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2),
 
θ'[0]==pθ0/Ξ,
θ[0]==θ0,
 
φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))((r'[τ] (4 a q ℧ (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2)-
8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(℧^2-r[τ]) r[τ]) t'[τ]+(a^2 (3 a^2+8 ℧^2+a^2 (4 Cos[2 θ[τ]]+
Cos[4 θ[τ]])) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-
16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+
θ'[τ] (8 a Cot[θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+(8 Cot[θ[τ]] (a^2+r[τ]^2)^2-
2 a^2 (3 a^2+2 ℧^2+4 (-1+r[τ]) r[τ]) Sin[2 θ[τ]]-a^4 Sin[4 θ[τ]]) φ'[τ])),
 
φ'[0]==1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+Lz (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-
q ℧ r0 a Sin[θ0]^2),
φ[0]==φ0,
 
str'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]/Max[1*^-16, Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]]],
str[0]==0,
vlt'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]],
vlt[0]==0
 
};

DG2={
 
t'[τ]==1/(Δ Σ Sin[θ[τ]]^2) (Lz (Δ XJ-a Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2))+ε (-Δ XJ^2+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2)^2)-q ℧ r[τ] Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2)),
t[0]==0,
 
r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+
(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+
r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+
8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+
8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2),
 
r'[0]==(pr0 δ)/Ξ,
r[0]==r0,
 
θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+
r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+
10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+
a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+
r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2),
 
θ'[0]==pθ0/Ξ,
θ[0]==θ0,
 
φ'[τ]==1/(Δ Σ Sin[θ[τ]]^2) (ε (-Δ XJ+a Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2))+Lz (Δ-a^2 Sin[θ[τ]]^2)-
q ℧ r[τ] a Sin[θ[τ]]^2),
φ[0]==φ0,
 
str'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]/Max[1*^-16, Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]]],
str[0]==0,
vlt'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]],
vlt[0]==0
 
};

DG3={
 
t'[τ]==1/(Δ Σ Sin[θ[τ]]^2) (Lz (Δ XJ-a Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2))+ε (-Δ XJ^2+
Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2)^2)-q ℧ r[τ] Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2)),
t[0]==0,
 
r'[τ]==Sign[vr0] Sqrt[Vτ]/Σ,
r[0]==r0,

θ'[τ]==Sign[vθ0] Sqrt[Q-Cos[θ[τ]]^2 (a^2 (μ^2-ε^2)+Lz^2/Sin[θ[τ]]^2)]/Σ,
θ[0]==θ0,

φ'[τ]==1/(Δ Σ Sin[θ[τ]]^2) (ε (-Δ XJ+a Sin[θ[τ]]^2 (r[τ]^2+a^2))+Lz (Δ-a^2 Sin[θ[τ]]^2)-
q ℧ r[τ] a Sin[θ[τ]]^2),
φ[0]==φ0,
 
str'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]/Max[1*^-16, Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]]],
str[0]==0,
vlt'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]],
vlt[0]==0
 
};

DGL = If[dgl==1, DG1, If[dgl==2, DG2, DG3]];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 8) INTEGRATION |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
sol=NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ, vlt, str}, {τ, 0, tmax+1/1000},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
Method-> mta,
InterpolationOrder-> All,
StepMonitor :> (laststep=plunge; plunge=τ;
stepsize=plunge-laststep;), Method->{"EventLocator",
"Event" :> (If[stepsize<1*^-4, 0, 1])}];
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 9) KOORDINATEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
X[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Cos[φ[τ]]/.sol][[1]];            (* kartesisch *)
Y[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Sin[φ[τ]]/.sol][[1]];
Z[τ_]:=Evaluate[r[τ] Cos[θ[τ]]/.sol][[1]];
 
x[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+A^2] Sin[θ[τ]] Cos[φ[τ]]/.sol][[1]];       (* Plotkoordinaten *)
y[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+A^2] Sin[θ[τ]] Sin[φ[τ]]/.sol][[1]];
z[τ_]:=Z[τ];
 
XYZ[τ_]:=Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2+Z[τ]^2]; XY[τ_]:=Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2];  (* kartesischer Radius *)
 
Xyz[{x_, y_, z_}, α_]:={x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};      (* Rotationsmatrix *)
xYz[{x_, y_, z_}, β_]:={x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};
xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_]:={x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]};
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 10) PLOT EINSTELLUNGEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
PR=r1;                                                                      (* Plot Range *)
VP={r0, r0, r0};                                                     (* Perspektive x,y,z *)
d1=10;                                                                    (* Schweiflänge *)
plp=50;                                                            (* Flächenplot Details *)
Plp=Automatic;                                                          (* Kurven Details *)
 
w1l=0; w2l=0; w1r=0; w2r=0;                                          (* Startperspektiven *)
Mrec=100; mrec=10;                                       (* Parametric Plot Subdivisionen *)
imgsize=380;                                                                 (* Bildgröße *)
 
s[text_]:=Style[text, FontSize->font]; font=11;                            (* Anzeigestil *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 11) PLOT NACH KOORDINATENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
display[T_]:=Grid[{
{s[" t coord"], " = ", s[n0[tk]], s["GM/c³"], s[dp]},
{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[T]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" ṫ total"], " = ", s[n0[ю[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[ς[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" γ kinet"], " = ", If[μ==0, s[n0[ς[T]]], s[n0[1/Sqrt[1-v[T]^2]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" R carts"], " = ", s[n0[XYZ[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" x carts"], " = ", s[n0[X[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" y carts"], " = ", s[n0[Y[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" z carts"], " = ", s[n0[Z[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},

{s[" r coord"], " = ", s[n0[R[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" φ longd"], " = ", s[n0[Φ[T] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[Θ[T] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" d¹r/dτ¹"], " = ", s[n0[R'[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" d¹φ/dτ¹"], " = ", s[n0[Φ'[T]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d¹θ/dτ¹"], " = ", s[n0[Θ'[T]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2r/dτ\.b2"], " = ", s[n0[R''[T]]], s["c⁴/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2φ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Φ''[T]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" d\.b2θ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Θ''[T]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},

{s[" ℧ cntrl"], " = ", s[n0[℧]], s["Q/M"], s[dp]},
{s[" q prtcl"], " = ", s[n0[q]], s["q/m"], s[dp]},
{s[" M irred"], " = ", s[N[mirr]], s["M"], s[dp]},
{s[" E kinet"], " = ", s[n0[ekin[T]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E poten"], " = ", s[n0[epot[T]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E total"], " = ", s[n0[ε]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" CarterQ"], " = ", s[n0[Qk]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L polar"], " = ", s[n0[pΘ[T]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" p r.mom"], " = ", s[n0[pR[T]]], s["mc"], s[dp]},

{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[ω[T]]]], s["c³/G/M"], s[dp]},
{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[Abs[й[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[Ω[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v propr"], " = ", s[n0[v[T]/Sqrt[1-v[T]^2]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v escpe"], " = ", s[n0[vesc[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v r,loc"], " = ", s[n0[vr[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v θ,loc"], " = ", s[n0[vθ[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v φ,loc"], " = ", s[n0[vφ[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v local"], " = ", s[n0[v[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" "], s[" "], s["                   "], s["         "]}},
Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}];
 
plot1a[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                     (* Animation *)
Show[

Graphics3D[{
{PointSize[0.011], Red, Point[
Xyz[xyZ[{x[T], y[T], z[T]}, w1], w2]]}},
ImageSize-> imgsize,
PlotRange-> {
{-(9 Sign[Abs[xx]]+1) PR, +(9 Sign[Abs[xx]]+1) PR},
{-(9 Sign[Abs[yy]]+1) PR, +(9 Sign[Abs[yy]]+1) PR},
{-(9 Sign[Abs[zz]]+1) PR, +(9 Sign[Abs[zz]]+1) PR}
},
SphericalRegion->False,
ImagePadding-> 1],

horizons[A, None, w1, w2],

If[a==0, {}, ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[prm] a,
Cos[prm] a,
0}, w1], w2],
{prm, 0, 2π},
PlotStyle -> {Thickness[0.005], Orange}]],

If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]],

If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, tk-199/100 π/ω0], tk},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

Block[{$RecursionLimit = Mrec},
If[tk==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, If[TMax<0, Min[0, T+d1], Max[0, T-d1]], T},
PlotStyle-> {Thickness[0.004]},
ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},
Hue[0, 1, 0.5, If[TMax<0, Max[Min[(+T+(-t+d1))/d1, 1], 0], Max[Min[(-T+(t+d1))/d1, 1], 0]]]],
ColorFunctionScaling-> False,
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2],
{tt, 0, If[Tmax<0, Min[-1*^-16, T+d1/3], Max[1*^-16, T-d1/3]]},
PlotStyle-> {Thickness[0.004], Opacity[0.6], Darker[Gray]},
PlotPoints-> Plp,
MaxRecursion-> mrec]]],

ViewPoint-> {xx, yy, zz}];
 
Quiet[Do[
Print[Rasterize[Grid[{{
plot1a[{0, -Infinity, 0, tk, w1l, w2l}],
plot1a[{0, 0, Infinity, tk, w1r, w2r}],
display[Quiet[д[tk]]]
}}, Alignment->Left]]],
{tk, 0, TMax, TMax/1}]]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 12) PLOT NACH EIGENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
display[T_]:=Grid[{
{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[tp]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" t coord"], " = ", s[n0[т[tp]]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" ṫ total"], " = ", s[n0[ю[tp]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[ς[tp]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" γ kinet"], " = ", If[μ==0, s[n0[ς[tp]]], s[n0[1/Sqrt[1-v[tp]^2]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" R carts"], " = ", s[n0[XYZ[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" x carts"], " = ", s[n0[X[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" y carts"], " = ", s[n0[Y[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" z carts"], " = ", s[n0[Z[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},

{s[" r coord"], " = ", s[n0[R[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" φ longd"], " = ", s[n0[Φ[tp] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[Θ[tp] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" d¹r/dτ¹"], " = ", s[n0[R'[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" d¹φ/dτ¹"], " = ", s[n0[Φ'[tp]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d¹θ/dτ¹"], " = ", s[n0[Θ'[tp]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2r/dτ\.b2"], " = ", s[n0[R''[tp]]], s["c⁴/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2φ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Φ''[tp]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" d\.b2θ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Θ''[tp]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},

{s[" ℧ cntrl"], " = ", s[n0[℧]], s["Q/M"], s[dp]},
{s[" q prtcl"], " = ", s[n0[q]], s["q/m"], s[dp]},
{s[" M irred"], " = ", s[N[mirr]], s["M"], s[dp]},
{s[" E kinet"], " = ", s[n0[ekin[tp]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E poten"], " = ", s[n0[epot[tp]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E total"], " = ", s[n0[ε]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" CarterQ"], " = ", s[n0[Qk]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L polar"], " = ", s[n0[pΘ[tp]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" p r.mom"], " = ", s[n0[pR[tp]]], s["mc"], s[dp]},

{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[ω[tp]]], s["c³/G/M"], s[dp]},
{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[й[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Ω[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v propr"], " = ", s[n0[v[tp]/Sqrt[1-v[tp]^2]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v escpe"], " = ", s[n0[vesc[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v r,loc"], " = ", s[n0[vr[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v θ,loc"], " = ", s[n0[vθ[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v φ,loc"], " = ", s[n0[vφ[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v local"], " = ", s[n0[v[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" "], s[" "], s["                   "], s["         "]}},
Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}];
 
plot1b[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                     (* Animation *)
Show[

Graphics3D[{
{PointSize[0.011], Red, Point[
Xyz[xyZ[{x[tp], y[tp], z[tp]}, w1], w2]]}},
ImageSize-> imgsize,
PlotRange-> {
{-(9 Sign[Abs[xx]]+1) PR, +(9 Sign[Abs[xx]]+1) PR},
{-(9 Sign[Abs[yy]]+1) PR, +(9 Sign[Abs[yy]]+1) PR},
{-(9 Sign[Abs[zz]]+1) PR, +(9 Sign[Abs[zz]]+1) PR}
},
SphericalRegion->False,
ImagePadding-> 1],

horizons[A, None, w1, w2],

If[a==0, {}, ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[prm] a,
Cos[prm] a,
0}, w1], w2],
{prm, 0, 2π},
PlotStyle -> {Thickness[0.005], Orange}]],

If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]],

If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, д[т[tp]-199/100 π/ω0]], tp},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> 12]]],

If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, If[tp<0, Min[0, tp+d1], Max[0, tp-d1]], tp},
PlotStyle-> {Thickness[0.004]},
ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},
Hue[0, 1, 0.5, If[tp<0,
Max[Min[(+tp+(-t+d1))/d1, 1], 0], Max[Min[(-tp+(t+d1))/d1, 1], 0]]]],
ColorFunctionScaling-> False,
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2],
{tt, 0, If[tp<0, Min[-1*^-16, tp+d1/3], Max[1*^-16, tp-d1/3]]},
PlotStyle-> {Thickness[0.004], Opacity[0.6], Darker[Gray]},
PlotPoints-> Plp,
MaxRecursion-> mrec]]],

ViewPoint-> {xx, yy, zz}];
 
Do[
Print[Rasterize[Grid[{{
plot1b[{0, -Infinity, 0, tp, w1l, w2l}],
plot1b[{0, 0, +Infinity, tp, w1r, w2r}],
display[tp]
}}, Alignment->Left]]],
{tp, 0, tMax, tMax/1}]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 13) EXPORTOPTIONEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
(* Export als HTML Dokument *)
(* Export["Y:\\export\\dateiname.html", EvaluationNotebook[], "GraphicsOutput" -> "PNG"]  *)
(* Export direkt als Bildsequenz *)
(* Do[Export["Y:\\export\\dateiname" <> ToString[tk] <> ".png", Rasterize[...]            *)
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||| http://kerr.newman.yukerez.net ||||| Simon Tyran, Vienna |||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)











Interpolationsfunktion für den schnelleren Output vieler Einzelbilder bei dafür etwas längerer Anlaufzeit:

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 11) PLOT NACH KOORDINATENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

Plp=Round[Max[4, 2tk]];

rint=Evaluate[Interpolation[Table[{tint,R[д[tint]]},{tint,0,TMax,1/2}]]];
uint=Evaluate[Interpolation[Table[{tint,Θ[д[tint]]},{tint,0,TMax,1/2}]]];
pint=Evaluate[Interpolation[Table[{tint,Φ[д[tint]]},{tint,0,TMax,1/2}]]];
zint[τ_]:=rint[τ] Cos[uint[τ]];
xint[τ_]:=Sqrt[rint[τ]^2+a^2] Sin[uint[τ]] Cos[pint[τ]];
yint[τ_]:=Sqrt[rint[τ]^2+a^2] Sin[uint[τ]] Sin[pint[τ]];

display[T_]:=Grid[{
{s[" t coord"], " = ", s[n0[tk]], s["GM/c³"], s[dp]},
{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[T]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" ṫ total"], " = ", s[n0[ю[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[ς[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" γ kinet"], " = ", If[μ==0, s[n0[ς[T]]], s[n0[1/Sqrt[1-v[T]^2]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" R carts"], " = ", s[n0[Sqrt[xint[tk]^2+yint[tk]^2+zint[tk]^2]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" x carts"], " = ", s[n0[xint[tk]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" y carts"], " = ", s[n0[yint[tk]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" z carts"], " = ", s[n0[zint[tk]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},

{s[" r coord"], " = ", s[n0[rint[tk]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" φ longd"], " = ", s[n0[pint[tk] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[uint[tk] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" d¹r/dτ¹"], " = ", s[n0[R'[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" d¹φ/dτ¹"], " = ", s[n0[Φ'[T]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d¹θ/dτ¹"], " = ", s[n0[Θ'[T]]], s["c\.b3/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2r/dτ\.b2"], " = ", s[n0[R''[T]]], s["c⁴/G/M"], s[dp]},
{s[" d\.b2φ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Φ''[T]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" d\.b2θ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Θ''[T]]], s["c⁶/G\.b2/M\.b2"], s[dp]},
{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},

{s[" ℧ cntrl"], " = ", s[n0[℧]], s["Q/M"], s[dp]},
{s[" q prtcl"], " = ", s[n0[q]], s["q/m"], s[dp]},
{s[" M irred"], " = ", s[N[mirr]], s["M"], s[dp]},
{s[" E kinet"], " = ", s[n0[ekin[T]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E poten"], " = ", s[n0[epot[T]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E total"], " = ", s[n0[ε]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" CarterQ"], " = ", s[n0[Qk]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" L polar"], " = ", s[n0[pΘ[T]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" p r.mom"], " = ", s[n0[pR[T]]], s["mc"], s[dp]},

{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[ω[T]]]], s["c³/G/M"], s[dp]},
{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[Abs[й[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[Ω[T]]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v propr"], " = ", s[n0[v[T]/Sqrt[1-v[T]^2]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v escpe"], " = ", s[n0[vesc[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v r,loc"], " = ", s[n0[vr[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v θ,loc"], " = ", s[n0[vθ[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v φ,loc"], " = ", s[n0[vφ[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v local"], " = ", s[n0[v[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" "], s[" "], s["                   "], s["         "]}},
Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}];

hz=horizons[A, None, 0, 0];
 
plot1a[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                     (* Animation *)
Show[

Graphics3D[{
{PointSize[0.011], Red, Point[
Xyz[xyZ[{xint[tk], yint[tk], zint[tk]}, w1], w2]]}},
ImageSize-> imgsize,
PlotRange-> {
{-(9 Sign[Abs[xx]]+1) PR, +(9 Sign[Abs[xx]]+1) PR},
{-(9 Sign[Abs[yy]]+1) PR, +(9 Sign[Abs[yy]]+1) PR},
{-(9 Sign[Abs[zz]]+1) PR, +(9 Sign[Abs[zz]]+1) PR}
},
SphericalRegion->False,
ImagePadding-> 1],

horizons[A, None, w1, w2],

If[a==0, {}, ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[prm] a,
Cos[prm] a,
0}, w1], w2],
{prm, 0, 2π},
PlotStyle -> {Thickness[0.005], Orange}]],

If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]],

If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, tk-199/100 π/ω0], tk},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

Block[{$RecursionLimit = Mrec},
If[tk==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{xint[tt], yint[tt], zint[tt]}, w1], w2], {tt, If[TMax<0, Min[0, tk+d1], Max[0, tk-d1]], tk},
PlotStyle-> {Thickness[0.004]},
ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},
Hue[0, 1, 0.5, If[TMax<0, Max[Min[(+tk+(-t+d1))/d1, 1], 0], Max[Min[(-tk+(t+d1))/d1, 1], 0]]]],
ColorFunctionScaling-> False,
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],

If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{xint[tt], yint[tt], zint[tt]}, w1], w2],
{tt, 0, If[Tmax<0, Min[-1*^-16, tk+d1/3], Max[1*^-16, tk-d1/3]]},
PlotStyle-> {Thickness[0.004], Opacity[0.6], Darker[Gray]},
PlotPoints-> Plp,
MaxRecursion-> mrec]]],

ViewPoint-> {xx, yy, zz}];
 
Quiet[Do[
Print[Rasterize[Grid[{{
plot1a[{0, -Infinity, 0, tk, w1l, w2l}],
plot1a[{0, 0, Infinity, tk, w1r, w2r}],
display[Quiet[д[tk]]]
}}, Alignment->Left]]],
{tk, 0, TMax, TMax/2}]]











Erhaltungsgrößen Testmonitor zur Probe der numerischen Stabilität

Code: Alles auswählen

[email protected]ε

ε0=With[{τ=0},Evaluate[+((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

ε1=With[{τ=tMax 99/100},Evaluate[+((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

[email protected]

Lz0=With[{τ=0},Evaluate[(q a r[τ] ℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

Lz1=With[{τ=tMax 99/100},Evaluate[(q a r[τ] ℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

[email protected]

Q0=With[{τ=0},Evaluate[((θ'[τ] (r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+(((q a r[τ]℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2 Csc[θ[τ]]^2-a^2 ((((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+μ)) Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]

Q1=With[{τ=tMax 99/100},Evaluate[((θ'[τ] (r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+(((q a r[τ]℧ Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)-(a t'[τ]  (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2)+(φ'[τ] Sin[θ[τ]]^2 ((a^2+r[τ]^2)^2-a^2 (a^2-2 r[τ]+r[τ]^2+℧^2) Sin[θ[τ]]^2))/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2 Csc[θ[τ]]^2-a^2 ((((q r[τ] ℧)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+t'[τ] (1-(2 r[τ]-℧^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))+(a φ'[τ] (2 r[τ]-℧^2) Sin[θ[τ]]^2)/(r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2))^2+μ)) Cos[θ[τ]]^2)/.sol][[1]]]











Startbedingungssolver: Umrechung von lokaler Geschwindigkeit, Eigenzeitableitungen und Erhaltungsgrößen

Code: Alles auswählen

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 1: Erste Eigenzeitableitungen nach lokalen Geschwindigkeiten ||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Startwerte für die lokalen Geschwindigkeitskomponenten eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *)
 
vr0 = 0;
vθ0 = 2/5 Sin[(2 π)/9];
vφ0 = 2/5 Cos[(2 π)/9];
v0  = Sqrt[vr0^2+vθ0^2+vφ0^2];
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ε0 = (q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]/Sqrt[1-v0^2 μ^2]+(a (2 r0-℧^2) ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2]))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2);
 
L0 = (a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2];
 
Q0 = (vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(1-v0^2 μ^2)+Cos[θ0]^2 (Csc[θ0]^2 ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2])^2-a^2 (μ+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]/Sqrt[1-v0^2 μ^2]+(a (2 r0-℧^2) ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2]))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))^2));
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
 
dT=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (L0 (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε0 (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2));
dR=(pr0 δ)/Ξ;
dΘ=pθ0/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε0 (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+L0 (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);
 
(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 1"
FindInstance[dT==dt && dR==dr && dΘ==dθ && dΦ==dφ, {dt,dr,dθ,dφ}, Reals]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
(* || *)
    (* || *)
        (* || *)
            (* || *)
                 (* || *)
                      (* || *)
                          (* || *)
                              (* || *)
                                  (* ||*)
                                      (* || *)
                                          (* || *)
                                              (* || *)
                                                   (* || *)
                                                        (* || *)
                                                            (* || *)
                                                                (* || *)
                                                                    (* || *)
                                                                        (* ||*)
                                                                            (* || *)
                                                                                (* || *)
                                                                                    (* || *)
                                                                                   
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 2: Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q nach lokalen Geschwindigkeiten |||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Startwerte für die lokalen Geschwindigkeitskomponenten eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *)
 
vr0 = 0;
vθ0 = 2/5 Sin[(2 π)/9];
vφ0 = 2/5 Cos[(2 π)/9];
v0  = Sqrt[vr0^2+vθ0^2+vφ0^2];
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ε0 = (q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]/Sqrt[1-v0^2 μ^2]+(a (2 r0-℧^2) ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2]))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2);
 
L0 = (a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2];
 
Q0 = (vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(1-v0^2 μ^2)+Cos[θ0]^2 (Csc[θ0]^2 ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2])^2-a^2 (μ+((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]/Sqrt[1-v0^2 μ^2]+(a (2 r0-℧^2) ((a q r0 (1-v0^2 μ^2) ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2 μ^2]))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))^2));
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
 
dT=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (L0 (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε0 (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2));
dR=(pr0 δ)/Ξ;
dΘ=pθ0/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε0 (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+L0 (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);
 
(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 2"
FindInstance[ε==ε0 && Lz==L0 && Q==Q0, {ε,Lz,Q}, Reals]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

(* || *)
    (* || *)
        (* || *)
            (* || *)
                 (* || *)
                      (* || *)
                          (* || *)
                              (* || *)
                                  (* ||*)
                                      (* || *)
                                          (* || *)
                                              (* || *)
                                                   (* || *)
                                                        (* || *)
                                                            (* || *)
                                                                (* || *)
                                                                    (* || *)
                                                                        (* ||*)
                                                                            (* || *)
                                                                                (* || *)
                                                                                    (* || *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 3: Lokale Geschwindigkeit nach ersten Eigenzeitableitungen  |||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Startwerte für die ersten Eigenzeitableitungen eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *)
 
dt = -((1701 (-24095+4 Sqrt[4819])+47026091025 Sqrt[(21 (1229-5 Sqrt[4819]))/(5902951+405 Sqrt[4819])]+142231604345 Sqrt[(101199 (1229-5 Sqrt[4819]))/(5902951+405 Sqrt[4819])])/(487677981 (-1229+5 Sqrt[4819])));
dr = 0;
dθ = (20 Sin[(2 π)/9])/Sqrt[101199];
dφ = (10064917571310-509342021892 Sqrt[4819]+3576385309875 Sqrt[(101199 (1229-5 Sqrt[4819]))/(5902951+405 Sqrt[4819])]-257016180174650625 Sqrt[(3687-15 Sqrt[4819])/(41320657+2835 Sqrt[4819])]+13988810657375 Sqrt[1/21 (5902951+405 Sqrt[4819])] Cos[(2 π)/9]-713519331725 Sqrt[4819/21 (5902951+405 Sqrt[4819])] Cos[(2 π)/9])/(116113805 (-3622484152+14508505 Sqrt[4819]));
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ε0 = ((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))+dt (1-(2 r0-℧^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))+(a dφ (2 r0-℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2);
L0 = (q a r0 ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)-(a dt  (2 r0-℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(dφ Sin[θ0]^2 ((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2);
Q0 = ((dθ (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))^2+(((q a r0 ℧ Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)-(a dt  (2 r0-℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(dφ Sin[θ0]^2 ((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))^2 Csc[θ0]^2-a^2 ((((q r0 ℧)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))+dt (1-(2 r0-℧^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))+(a dφ (2 r0-℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))^2+μ)) Cos[θ0]^2);
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
 
dT=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (L0 (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε0 (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2));
dR=(pr0 δ)/Ξ;
dΘ=pθ0/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε0 (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+L0 (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);

v0j = Abs[(Sqrt[δ Ξ^3 χ-ε0^2 Ξ^2 χ^2-2 a L0 ε0 Ξ^2 χ ℧^2-a^2 L0^2 Ξ^2 ℧^4+4 a L0 ε0 Ξ^2 χ r0+2 q ε0 Ξ χ^2 ℧ r0+4 a^2 L0^2 Ξ^2 ℧^2 r0+2 a L0 q Ξ χ ℧^3 r0-4 a^2 L0^2 Ξ^2 r0^2-4 a L0 q Ξ χ ℧ r0^2-q^2 χ^2 ℧^2 r0^2])/(ε0 Ξ χ+a L0 Ξ ℧^2-2 a L0 Ξ r0-q χ ℧ r0)];
vrj = dr/Sqrt[δ] Sqrt[Ξ (1+μ v0j^2)];
vθj = dθ Sqrt[Ξ (1+μ v0j^2)];
vφj = -(((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) Sin[θ0] Sqrt[1-μ^2 v0j^2] (-dφ-(a q ℧ r0)/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2))+(ε0 Csc[θ0]^2 (a (-a^2-℧^2+2 r0-r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2))/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2))+(a q ℧ r0 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2-a^2 Sin[θ0]^2))/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)^2 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) (1-μ^2 v0j^2))))/((a^2+℧^2-2 r0+r0^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) Sin[θ0]^2)/(a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)]));

(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 3"
Simplify[Solve[v0==v0j && vr0==vrj && vθ0==vθj && vφ0==vφj, {v0,vr0,vφ0,vθ0}, Reals]]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

(* || *)
    (* || *)
        (* || *)
            (* || *)
                 (* || *)
                      (* || *)
                          (* || *)
                              (* || *)
                                  (* ||*)
                                      (* || *)
                                          (* || *)
                                              (* || *)
                                                   (* || *)
                                                        (* || *)
                                                            (* || *)
                                                                (* || *)
                                                                    (* || *)
                                                                        (* ||*)
                                                                            (* || *)
                                                                                (* || *)
                                                                                    (* || *)
                                                               
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 4: Lokale Geschwindigkeit nach Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q ||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Erhaltungsgrößen Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante eingeben |||| *)
 
ε = 0.90688763;
Lz = 2.3240259;
Q = 3.7925614;
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
P=ε(r0^2+a^2)+℧ q r0-a Lz;
Vr=P^2-δ(μ^2 r0^2+(Lz-a ε)^2+Q);
Vθ=Q-Cos[θ0]^2(a^2(μ^2-ε^2)+Lz^2/Sin[θ0]^2);

dT=Abs[1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (Lz (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))];
dR=Sqrt[Abs[Vr]]/Ξ;
dΘ=Sqrt[Abs[Vθ]]/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+Lz (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);

v0j=Abs[(Sqrt[δ Ξ^3 χ-ε^2 Ξ^2 χ^2-2 a Lz ε Ξ^2 χ ℧^2-a^2 Lz^2 Ξ^2 ℧^4+4 a Lz ε Ξ^2 χ r0+2 q ε Ξ χ^2 ℧ r0+4 a^2 Lz^2 Ξ^2 ℧^2 r0+2 a Lz q Ξ χ ℧^3 r0-4 a^2 Lz^2 Ξ^2 r0^2-4 a Lz q Ξ χ ℧ r0^2-q^2 χ^2 ℧^2 r0^2])/(ε Ξ χ+a Lz Ξ ℧^2-2 a Lz Ξ r0-q χ ℧ r0)];
vrj=Abs[dR Sqrt[Ξ (1+μ v0j^2)]/Sqrt[δ]];
vθj=Abs[dΘ Sqrt[Ξ (1+μ v0j^2)]];
vφj=-(((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) Sin[θ0] Sqrt[1-μ^2 v0j^2] (-dΦ-(a q ℧ r0)/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2))+(ε Csc[θ0]^2 (a (-a^2-℧^2+2 r0-r0^2) Sin[θ0]^2+a (a^2+r0^2) Sin[θ0]^2))/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2) (a^2+℧^2-2 r0+r0^2))+(a q ℧ r0 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2-a^2 Sin[θ0]^2))/((a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)^2 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) (1-μ^2 v0j^2))))/((a^2+℧^2-2 r0+r0^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+℧^2-2 r0+r0^2) Sin[θ0]^2)/(a^2 Cos[θ0]^2+r0^2)]));
vtj=Sqrt[vrj^2+vθj^2+vφj^2];
 
(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 4"
FullSimplify[FindInstance[{[email protected] && vθ[email protected]θj && vφ[email protected]φj && [email protected][v0^2-vφ0^2-vθ0^2]}, {v0, vr0, vθ0, vφ0}]]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

(* || *)
    (* || *)
        (* || *)
            (* || *)
                 (* || *)
                      (* || *)
                          (* || *)
                              (* || *)
                                  (* ||*)
                                      (* || *)
                                          (* || *)
                                              (* || *)
                                                   (* || *)
                                                        (* || *)
                                                            (* || *)
                                                                (* || *)
                                                                    (* || *)
                                                                        (* ||*)
                                                                            (* || *)
                                                                                (* || *)
                                                                                    (* || *)
                                                               
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* || CODE 5: Erste Eigenzeitableitungen nach Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q ||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
 
(* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
r0 = Sqrt[7^2-a^2];
θ0 = π/2;
φ0 = 0;
a  = 9/10;
℧  = 2/5;
q  = -1/2;
μ  =-1;
 
(* || Erhaltungsgrößen Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante eingeben |||| *)
 
ε = 0.90688763;
Lz = 2.3240259;
Q = 3.7925614;
 
(* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
Xj=a Sin[θ0]^2;
щ=(q ℧ r0 (a^2+r0^2))/(δ Ξ);

gtt=1-(2 r0-℧^2)/Ξ;
grr=-Ξ/δ;
gθθ=-Ξ;
gφφ=-χ/Ξ Sin[θ0]^2;
gtφ=a (2r0-℧^2) Sin[θ0]^2/Ξ;

P=ε(r0^2+a^2)+℧ q r0-a Lz;
Vr=P^2-δ(μ^2 r0^2+(Lz-a ε)^2+Q);
Vθ=Q-Cos[θ0]^2(a^2(μ^2-ε^2)+Lz^2/Sin[θ0]^2);

dT=Abs[1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (Lz (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))];
dR=Sqrt[Abs[Vr]]/Ξ;
dΘ=Sqrt[Abs[Vθ]]/Ξ;
dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+Lz (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);

(* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
 
"Code 5"
FullSimplify[FindInstance[{dt==dT && dθ==dΘ && dφ==dΦ && gtt dt^2+grr dr^2+gθθ dθ^2+gφφ dφ^2+gtφ dt dφ==-μ}, {dt, dr, dθ, dφ}]]
N[%]
 
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna  ||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)










◬ Zur Überprüfung der numerischen Stabilität wird nach dem Plotten der Bahn der Erhaltungsgrößen Testmonitor (Codefenster 4) ausgeführt. dg1: alle Bewegungsgleichung über die zweite Zeitableitung (empfohlene Integrationsmethode mt0 oder mt3), dg2: r' und θ' über zweite, t' und φ' über die erste Zeitableitung (empfohlene Integrationsmethode mt2), dg3: alle Bewegungsgleichgungen über die erste Zeitableitung (diese Methode funktioniert wegen dem ± vor r' und θ' nur bis zu den radialen und poloidialen Umkehrpunkten und wird außer zu Testzwecken nicht empfohlen).

[Yukterez]

Referenzen und vertiefende Literatur:

• Bacchini, Ripperda, Porth & Sironi: Generalized, energy-conserving numerical simulations of particles in general relativity
• Bičak, Stuchlík & Balek: Charged particle motion in the field of rotating charged black holes and naked singularities
• Stuchlík, Schee & Blaschke: Particle collisions and optical effects in the mining Kerr–Newman spacetimes
• Gal’tsov & Kobialko: Completing characterization of photon orbits in the Kerr-Newman metric
• Mustapha Azreg-Aïnou: Epicyclic oscillations of charged particles in stationary solutions
• Cebeci, Özdemir & Şentorun: Motion of charged particles in Kerr-Newman spacetime
• Calvani & Felice: Off-equatorial circular orbits in the Kerr-Newman spacetime
• Pugliese & Quevedo: Horizon remnants, Killing throats and bottlenecks
• Hackmann & Xu: Charged particle motion in Kerr-Newman spacetimes
• Semerák & Bičák: Interplay of forces in the Kerr–Newman field
• ICRANet: Generalizations of the Kerr-Newman solution
• Vyacheslav Dokuchaev: Voyage inside a black hole
• Newman & Adamo: Kerr-Newman metric
• Misner, Thorne & Wheeler: MTW

Animations by Simon Tyran, Vienna (Yukterez) - reuse permitted under the Creative Commons License CC BY-SA 4.0