



Verwandte Beiträge: Kerr Newman || Reissner Nordström || Schwarzschild || Geodäsie || Gravitationslinsen || Raytracing || Paraboloid


Schatten und Oberflächen (letztere sind fürs Auge unsichtbar) eines rotierenden schwarzen Lochs (Spin a=1). Zoom out: [-], Konturen: ƒ


Schatten und Oberflächen eines schwarzen Lochs (a=0.99) für verschiedene Polneigungswinkel (θ=1°..90°). Verlangsamen: ⎆

Alle Formeln sind in den natürlichen Einheiten G=M=c=1, d.h. alle Längen haben die Einheit GM/c² und Zeiten GM/c³. Die metrische Signatur ist time-positive (+,-,-,-). Dabei ist a der Spinparameter (für schwarze Löcher 0≤a≤M), M das gesamte Massenäquivalent des Zentralkörpers, und Mirr seine irreduzible Masse:


Die zusammengefassten Terme sind

Kovariante metrische Koeffizienten:

Kontravariante Metrik-Komponenten (hochgestellte Buchstaben sind hierbei keine Potenzen sondern Indizes):

Dabei steht a für den dimensionslosen Spinparameter Jc/G/M². Mit der Transformationsregel in kartesische Koordinaten:

lautet das Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten:

Metrischer Tensor (t,r,θ,Ф):


Μit der Transformation:

mit der Koordinatenzeit T und dem Azimuthalwinkel ψ:

lautet die Metrik in Kerr-Schild-Koordinaten (T,r,θ,ψ):


Bewegungsgleichungen in Boyer-Lindquist-Koordinaten:

Ko- und kontravariante Impulskomponenten:

Koordinatenzeitableitung nach der Eigenzeit (dt/dτ):

Zeitliche Impulskomponente:

Radialkoordinatenableitung (dr/dτ):

Radiale Impulskomponentenableitung:

Radialimpulskomponente:

Breitengradableitung (dθ/dτ):

Drehimpulsableitung auf der θ-Achse (dpθ/dτ):

Latitudinaldrehimpulskomponente:

Längengradableitung (dФ/dτ):

Drehimpulsableitung auf der Ф-Achse (pФ/dτ):

Longitudinaldrehimpulskomponente:

Erhaltungsgröße Carter-Konstante:

Erhaltungsgröße Carter k:

Erhaltungsgröße Gesamtenergie:

Erhaltungsgröße Drehimpuls entlang Ф:

Lokale 3er-Geschwindigkeit auf der r-Achse:

Lokale 3er-Geschwindigkeit auf der θ-Achse:

Lokale 3er-Geschwindigkeit auf der Ф-Achse:

Lokale 3er-Geschwindigkeit, total:

Für massebehaftete Testteilchen gilt μ=-1 und für Photonen μ=-0. a ist der Spinparameter und δ der Bahninklinationswinkel. Mit α als dem vertikalen Abschusswinkel ergeben sich die Komponenten der Geschwindigkeit (relativ zum ZAMO)

Aus der Unendlichkeit beobachtete Geschwindigkeit:

Radiale Fluchtgeschwindigkeit:


Frame-Dragging Winkelgeschwindigkeit (dФ/dt):

Verzögerte Frame-Dragging Transversalgeschwindigkeit am Äquator des äußeren Horizonts:

mit dem Horizont- und Ergosphärenradius (Lösung für r bei Δ=0 und gtt=0):

Von r und θ abhängige verzögerte Frame-Dragging Transversalgeschwindigkeit:

Auf der äquatorialen Ebene mit θ=π/2:

Von r und θ abhängige lokale Frame-Dragging Transversalgeschwindigkeit (ab der Ergosphäre >c):

Auf der äquatorialen Ebene mit θ=π/2:

Auf die kartesischen Hintergrundkoordinaten projizierte Frame-Dragging Transversalgeschwindigkeit:

Auf der äquatorialen Ebene mit θ=π/2:

Gravitative Zeitdilatationskomponente (dt/dτ):

Axialer und koaxialer Gyrationsradius:

Axialer und koaxialer Umfang:


Beispiel 1:

Bahn eines Photons durch die Ringsingularität und Austritt im Antiversum; Startbedingungen: r0=7, θ0=π/4, v0=vr0=c (radial einfallendes Photon). Bahnkonstanten: E total=0.8469 hf0, Carter Q=-0.29 GMhf0/c³, Lz=0 GMhf0/c³, Spin: a=0.9 M.
Untere Hälfte: Boyer-Lindquist-Koordinaten (die darstellbare Bahn endet an der Koordinatensingularität am äußeren Ereignishorizont, wo der Partikel mit stehengebliebener Uhr am rotierenden Ereignishorizont einfriert und im System des weit entfernten Beobachters unendlich viele Korotationen ausführt).
Obere Hälfte: die selbe Situation in Kerr-Schild-Koordinaten (die Bahn kann damit bis zur Ringsingularität und darüber hinaus fortgesetzt werden, da die infinite Korotation heraustransformiert und die unendlich vielen Umdrehungen in infinitesimaler Eigenzeit am Horizont dadurch vermieden werden). Animationsparameter: affiner Nullgeodätenparameter.

Beispiel 2:

Lokal retrograde Kreisbahn eines Testpartikels im inneren eines mit a=0.99 rotierenden schwarzen Lochs (innerhalb des Cauchyhorizonts, aber außerhalb der inneren Ergosphäre sind wieder radial konstante Orbits möglich, für eine nähere Erklärung siehe hier).
Für weitere Beispiele geht es hier entlang.


Die zusammengefassten Terme sind

Kovariante metrische Koeffizienten:

Kontravariante Metrik-Komponenten (hochgestellte Buchstaben sind hierbei keine Potenzen sondern Indizes):

Dabei steht a für den dimensionslosen Spinparameter Jc/G/M². Mit der Transformationsregel in kartesische Koordinaten:

lautet das Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten:

Metrischer Tensor (t,r,θ,Ф):


Μit der Transformation:

mit der Koordinatenzeit T und dem Azimuthalwinkel ψ:

lautet die Metrik in Kerr-Schild-Koordinaten (T,r,θ,ψ):


Bewegungsgleichungen in Boyer-Lindquist-Koordinaten:

Ko- und kontravariante Impulskomponenten:

Koordinatenzeitableitung nach der Eigenzeit (dt/dτ):

Zeitliche Impulskomponente:

Radialkoordinatenableitung (dr/dτ):

Radiale Impulskomponentenableitung:

Radialimpulskomponente:

Breitengradableitung (dθ/dτ):

Drehimpulsableitung auf der θ-Achse (dpθ/dτ):

Latitudinaldrehimpulskomponente:

Längengradableitung (dФ/dτ):

Drehimpulsableitung auf der Ф-Achse (pФ/dτ):

Longitudinaldrehimpulskomponente:

Erhaltungsgröße Carter-Konstante:

Erhaltungsgröße Carter k:

Erhaltungsgröße Gesamtenergie:

Erhaltungsgröße Drehimpuls entlang Ф:

Lokale 3er-Geschwindigkeit auf der r-Achse:

Lokale 3er-Geschwindigkeit auf der θ-Achse:

Lokale 3er-Geschwindigkeit auf der Ф-Achse:

Lokale 3er-Geschwindigkeit, total:

Für massebehaftete Testteilchen gilt μ=-1 und für Photonen μ=-0. a ist der Spinparameter und δ der Bahninklinationswinkel. Mit α als dem vertikalen Abschusswinkel ergeben sich die Komponenten der Geschwindigkeit (relativ zum ZAMO)

Aus der Unendlichkeit beobachtete Geschwindigkeit:

Radiale Fluchtgeschwindigkeit:


Frame-Dragging Winkelgeschwindigkeit (dФ/dt):

Verzögerte Frame-Dragging Transversalgeschwindigkeit am Äquator des äußeren Horizonts:

mit dem Horizont- und Ergosphärenradius (Lösung für r bei Δ=0 und gtt=0):

Von r und θ abhängige verzögerte Frame-Dragging Transversalgeschwindigkeit:

Auf der äquatorialen Ebene mit θ=π/2:

Von r und θ abhängige lokale Frame-Dragging Transversalgeschwindigkeit (ab der Ergosphäre >c):

Auf der äquatorialen Ebene mit θ=π/2:

Auf die kartesischen Hintergrundkoordinaten projizierte Frame-Dragging Transversalgeschwindigkeit:

Auf der äquatorialen Ebene mit θ=π/2:

Gravitative Zeitdilatationskomponente (dt/dτ):

Axialer und koaxialer Gyrationsradius:

Axialer und koaxialer Umfang:


Beispiel 1:

Bahn eines Photons durch die Ringsingularität und Austritt im Antiversum; Startbedingungen: r0=7, θ0=π/4, v0=vr0=c (radial einfallendes Photon). Bahnkonstanten: E total=0.8469 hf0, Carter Q=-0.29 GMhf0/c³, Lz=0 GMhf0/c³, Spin: a=0.9 M.
Untere Hälfte: Boyer-Lindquist-Koordinaten (die darstellbare Bahn endet an der Koordinatensingularität am äußeren Ereignishorizont, wo der Partikel mit stehengebliebener Uhr am rotierenden Ereignishorizont einfriert und im System des weit entfernten Beobachters unendlich viele Korotationen ausführt).
Obere Hälfte: die selbe Situation in Kerr-Schild-Koordinaten (die Bahn kann damit bis zur Ringsingularität und darüber hinaus fortgesetzt werden, da die infinite Korotation heraustransformiert und die unendlich vielen Umdrehungen in infinitesimaler Eigenzeit am Horizont dadurch vermieden werden). Animationsparameter: affiner Nullgeodätenparameter.

Beispiel 2:

Lokal retrograde Kreisbahn eines Testpartikels im inneren eines mit a=0.99 rotierenden schwarzen Lochs (innerhalb des Cauchyhorizonts, aber außerhalb der inneren Ergosphäre sind wieder radial konstante Orbits möglich, für eine nähere Erklärung siehe hier).
Für weitere Beispiele geht es hier entlang.