Kerr Orbits

Physik, Mathematik & Programmierung
Benutzeravatar
Yukterez
Administrator
Beiträge: 145
Registriert: Mi 21. Okt 2015, 02:16

Kerr-Flächen

Beitragvon Yukterez » Mi 21. Jun 2017, 06:10

rH: Ereignishorizonte, rE: Ergosphären (in Boyer-Lindquist Koordinaten)



r,θ,φ (links) vs x,y,z (rechts):

Bild

Farbcode: hellblau = äußere Ergosphäre, cyan = äußerer Horizont, violett = innerer Horizont, Rot = innere Ergosphäre

Bild

Alle relevanten Flächen; die Ringsingularität befindet sich auf der Äquatorebene der inneren Ergosphäre:

Bild

Code:

Code: Alles auswählen

(* Perspektive *)
rE = 1 + Sqrt[1 - a^2 Cos[θ]^2]; RE[A_] := {Sqrt[rE^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rE^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rE Cos[θ]};
rA = 1 + Sqrt[1 - a^2]; RA[A_] := {Sqrt[rA^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rA^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rA Cos[θ]};
rI = 1 - Sqrt[1 - a^2]; RI[A_] := {Sqrt[rI^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rI^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rI Cos[θ]};
rG = 1 - Sqrt[1 - a^2 Cos[θ]^2]; RG[A_] := {Sqrt[rG^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rG^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rG Cos[θ]};
horizons[A_] := Show[
Graphics3D[{}, SphericalRegion -> True, ViewPoint -> {0, -10 Cos[w] + 10 Sin[w], 10 Cos[w] + 10 Sin[w]}, ImageSize -> 340, PlotRange -> 3],
ParametricPlot3D[RE[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Blue, Opacity[0.1]]],
ParametricPlot3D[RA[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Cyan, Opacity[0.15]]],
ParametricPlot3D[RI[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.2]]],
ParametricPlot3D[RG[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.5]]]];
a = 0.99;
Do[Print[Rasterize[Grid[{{horizons[a], horizons[0]}}]]], {w, 0, 2 π, π/125}]

Code: Alles auswählen

(* Spinparameter *)
rE = 1 + Sqrt[1 - a^2 Cos[θ]^2]; RE[A_] := {Sqrt[rE^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rE^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rE Cos[θ]};
rA = 1 + Sqrt[1 - a^2]; RA[A_] := {Sqrt[rA^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rA^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rA Cos[θ]};
rI = 1 - Sqrt[1 - a^2]; RI[A_] := {Sqrt[rI^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rI^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rI Cos[θ]};
rG = 1 - Sqrt[1 - a^2 Cos[θ]^2]; RG[A_] := {Sqrt[rG^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rG^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rG Cos[θ]};
horizons[A_] := Show[
Graphics3D[{}, SphericalRegion -> True, ViewPoint -> {0, 10, 5}, ImageSize -> 340, PlotRange -> 3],
ParametricPlot3D[RE[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Blue, Opacity[0.1]]],
ParametricPlot3D[RA[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Cyan, Opacity[0.15]]],
ParametricPlot3D[RI[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.2]]],
ParametricPlot3D[RG[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.5]]]];
Do[Print[Rasterize[Grid[{{horizons[a], horizons[0]}}]]], {a, 0, 1, 1/250}]
Симон Тыран @ wikipedia | stackexchange | wolfram

Benutzeravatar
Yukterez
Administrator
Beiträge: 145
Registriert: Mi 21. Okt 2015, 02:16

Kreisbahnen in der Kerr-Raumzeit

Beitragvon Yukterez » Fr 23. Jun 2017, 09:48

Die Bedingung für die radiale Beschleunigung und den radialen Impuls auf einer Kreisbahn ist



Um die lokale Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) für einen Orbit auf gegebenem r mit gegebenem a zu erhalten wird mit v=vφ, vθ=0, θ=π/2 nach vφ aufgelöst. Diese Gleichung hat 2 Lösungen, wovon die kleinere prograd und die größere retrograd ist:



Der pro- und retrograde Photonenradius liegt damit bei



und der axiale bei Lz=0 (einem lokalen Inklinationswinkel von 90°, siehe Orbit 1)



Wegen der Korotation lokaler Inertialsysteme fahrt das Photon dann trotz dem es keinen axialen Drehimpuls besitzt mit der lokalen Frame-Dragging-Rate die Ф-Achse entlang. Für ein Photon mit genau so viel axialem Drehimpuls um das Frame-Dragging am Äquator zu kompensieren ergibt sich als Radius

(siehe Orbit 2)

Die zu kompensierende Frame-Dragging-Geschwindigkeit beträgt in dem Fall c/3, weshalb der Inklinationswinkel δ=π/2+ArcSin(1/3) ist, damit die lokale Geschwindigkeitskomponente des Photons gegen die Ф-Achse vФ nach Pythagoras genau 1/3 ist:

Bild

Alle geschlossenen Photonenbahnen haben einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius, weswegen die Form der abgefahrenen Sphären in kartesischen Koordinaten ein Ellipsoid ergibt.

Herleitung: hier entlang, weiterführender Beitrag: klick

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von a und r:

Bild

Schwarzschildlimit:

Bild

Natürliches Limit:

Bild

Extreme Kerr:

Bild

x-Achse: Boyer-Lindquist r, y-Achse: v lokal

Code:

Code: Alles auswählen

ClearAll["Global`*"]

vretro[a_,r_]:=(a^2+2 a Sqrt[r]+r^2)/(Sqrt[a^2+(-2+r) r] (a-r^(3/2)));
vpro[a_,r_]:=(a^2-2 a Sqrt[r]+r^2)/(Sqrt[a^2+(-2+r) r] (a+r^(3/2)));

rh = 1 + Sqrt[1 - a^2];
r1 = 2 (1 + Cos[2/3 ArcCos[-a]]);
r2 = 2 (1 + Cos[2/3 ArcCos[+a]]);

Do[Print[Rasterize[Grid[{{
Plot[{vpro[a, r], vretro[a, r]}, {r, 1, 10},
PlotRange->{{1, 10}, {-1, 1}},
GridLines->{{rh, r1, r2}, {}},
Frame->True, ImageSize->400]},
{"a"->a}}, Alignment->Left]]],
{a, 0, 1, 0.2}]
Симон Тыран @ wikipedia | stackexchange | wolfram

Benutzeravatar
Yukterez
Administrator
Beiträge: 145
Registriert: Mi 21. Okt 2015, 02:16

ZAMO, ZAVO, FREFO & FIDO

Beitragvon Yukterez » Mo 26. Jun 2017, 17:34

Die mitrotierenden Punkte zeigen lokal ruhende Inertialsysteme LNRFs (locally nonrotating frames) auf denen ZAMOs (zero angular momentum observers) auf konstantem r,θ mit der Frame-Dragging-Rate mitbewegt werden. Darstellung im Inertialsystem eines ZAVOs (zero angular velocity oberservers) at infinity:

Bild

ZAMO (magenta), FIDO (cyan) & FREFO (rot) im Bezugssystem des ZAVO:

Bild

Benötigte Formeln:

Framedragging Winkelgeschwindigkeit



Gyrationsradius



Kartesischer Umfangsradius



Gravitative Zeitdilatation



Die im System des Buchhalters (ZAVO) beobachtete Transversalgeschwindigkeit der lokal stationären Boje (ZAMO) ist



während die lokal stationäre Boje (ZAMO) misst dass eine zum Buchhalter stationäre und damit relativ zum Strudel bewegte Boje (FIDO) mit



an ihr vorbeifliegt.

weiterführender Beitrag: hier entlang
Симон Тыран @ wikipedia | stackexchange | wolfram



Zurück zu „Yukterez Notizblock“

Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 1 Gast