Flammsches Paraboloid, Gummituchmodell

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Yukterez
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Flammsches Paraboloid, Gummituchmodell

Beitragvon Yukterez » So 21. Jan 2018, 17:02

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Verwandte Beiträge: Schwarzschild Metrik || Kerr Metrik || Kerr-Newman Metrik ||Geodätengleichung || Gravitationslinseneffekt
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Radiale und zeitliche metrische Komponenten für die innere und äußere Schwarzschildlösung; ist die Ausdehnung der Masse in umfanggetreuen Schwarzschildkoordinaten:



Auf die Fläche als Kurvenlänge projizierte physikalische Radialdistanz :



Zeitdilatation (Eigenzeit des lokalen Schalenbeobachters durch Koordinatenzeit des feldfreien Buchhalters):


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Plot A1: Isometrische Einbettung der Radialdistanz; die blaue Kurvenlänge im 1D Plot () stellt den tatsächlichen radialen Abstand im Verhältnis zum auf der -Achse dargestellten Umfangradius dar. Wie beim Gummituchmodell ist die -Achse eine räumliche Hilfsdimension.

Plot A2: Die rote Funktion () zeigt die Zeitdilation eines lokalen Schalenbeobachters; im inneren des schwarzen Lochs läuft die Eigenzeit eines stationären Schalenbeobachters relativ zur Koordinatenzeit des externen Koordinatenbuchalters wieder rückwärts - was ein mathematisches Artefakt ist, da es innerhalb des Horizonts keine stationären Beobachter mehr gibt, und es außerdem bereits eine unendliche Koordinatenzeit (wenn auch endliche Eigenzeit) dauert damit die Masse kleiner als ihr Ereignishorizont werden kann.

Plot A; Animationsparameter: Massenausdehnung :

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Standbild A-Ⅰ: Ausdehnung der Masse bis zum zehnfachen Schwarzschildradius:

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Standbild A-Ⅱ: Ausdehnung der Masse bis zum dreifachen Schwarzschildradius:

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Standbild A-Ⅲ: Ausdehnung der Masse bis zur Photonensphäre bei :

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Standbild A-Ⅳ: ; ab dieser Ausdehnung ist der Gravitationskollaps unvermeidlich, unendliche Zeitdilatation im Zentrum:

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Standbild A-Ⅴ: ; der umfanggetreue Koordinatenradius entspricht dem metrischen Radius , unendliche ZD am Horizont:

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Plot B zeigt das Paraboloid aus der umfanggetreuen 2D () Vogelperspektive; alle Schalen haben einen physikalischen Abstand von Animationsparameter: Massenausdehnung :

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Standbild B-Ⅰ: euklidscher Raum, keine Masse:

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Standbild B-Ⅱ: Ausdehnung bis :

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Standbild B-Ⅲ: Ausdehnung bis zur Photonensphäre bei :

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Standbild B-Ⅳ: Ausdehnung der Masse konvergiert auf den Ereignishorizont zu:

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Standbild B-Ⅴ: Vakuumlösung (); und vertauschen im Inneren das Vorzeichen, die zurückgelegte Strecke und Koordinatenzeit wird negativ:

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Diese Seite ist ein Unterkapitel von schwarzschild.yukterez.net; eine genauere Beschreibung und weitere Bilder folgen demnächst. Code (Mathematica Syntax):

Code: Alles auswählen

(* schwarzschild.yukterez.net || flamm.yukterez.net *)

set= {"GlobalAdaptive", "MaxErrorIncreases" -> 100, Method -> "GaussKronrodRule"};

grr[r_, R_]:=If[Abs[r]<R, (1-(2Abs[r]^2)/R^3)^-1, (1-2/Abs[r])^-1 ];
gtt[r_, R_]:=If[Abs[r]<R, 4(3Sqrt[1-2/R]-Sqrt[1-(2Abs[r]^2)/R^3])^-2, (1-2/Abs[r])^-1];

Ȓ[я_, R_]:=NIntegrate[Sqrt[Abs[grr[r, R]]], {r, 0, Abs[я]}, Method -> set, MaxRecursion -> 100];
Ř[я_, R_]:=NIntegrate[Sqrt[Abs[grr[r, R]-1]], {r, Abs[я], 24}, Method -> set, MaxRecursion -> 100];
ř[я_, R_]:=Ř[0, R]-Ř[я, R];
г[я_, R_]:=x/.FindRoot[Ȓ[x, R]-я, {x, 1}];

ť[я_, R_]:=1/Sqrt[gtt[я, R]];
ṫ[я_, R_]:=If[R>2.25, Limit[ť[r, R], r->я],
If[Abs[я]<f/.FindRoot[ť[f, R], {f, R}], -Limit[ť[r, R], r->я], Limit[ť[r, R], r->я]]];

s[text_]:=Style[text, FontSize->font];font=11;

plot[R_]:=Grid[{{
s["   \[Square]: flamm's paraboloid, \[Square]: time dilation dт/dt, r"]},
{Show[
Plot[ř[я, R]-ř[24, R], {я, -24, 24}, GridLines->{{-R, R}, {0, ř[R, R]-ř[24, R], ř[0, R]-ř[24, R]}},
PlotRange->{{-24, 24}, {1, -16}}, Frame->True, PlotTheme->"Classic", PlotStyle->{Blue, Thick},
 AspectRatio->17/48, ImageSize->516, ImagePadding->18],
Graphics[{
{Cyan, Opacity[0.1], Rectangle[{-R, 1}, {R, -19}]},
{Magenta, Opacity[0.1], Rectangle[{-R, 1}, {-24, -19}]},
{Magenta, Opacity[0.1], Rectangle[{R, 1}, {24, -19}]}}]]},
{Show[
Plot[ṫ[я, R], {я, -24, 24}, GridLines->{{-R, R}, {0, 1, ṫ[R, R], ṫ[0, R]}},
PlotRange->{{-24, 24}, {1.1, -0.6}}, Frame->True, PlotTheme->"Classic", PlotStyle->{Red, Thick},
 AspectRatio->17/48/2, ImageSize->516, ImagePadding->18],
Graphics[{
{Cyan, Opacity[0.1], Rectangle[{-R, -1}, {R, 18}]},
{Magenta, Opacity[0.1], Rectangle[{-R, -1}, {-24, 18}]},
{Magenta, Opacity[0.1], Rectangle[{R, -1}, {24, 18}]}}]]
}, {Grid[{{
s["   r(M)"->N[R]], s["R(M)"->N[Ȓ[R,R]]]
},{"               ", " "}},
Alignment->Left]}}, Alignment->Left];

(* Plot A *)
Do[Print[Quiet[Rasterize[plot[Max[R, 2]]]]], {R, 2, 4, 1/5}]

(* Plot B *)
Do[Print[Quiet[Rasterize[Grid[{{
Show[
Plot[{5}, {x, -4.8, +4.8},
Frame->True, PlotRange->{{-4.8, +4.8}, {-4.8, +4.8}},
Frame->True, PlotTheme->"Classic", AspectRatio->1,
ImageSize->516, ImagePadding->18],
Graphics[{Table[Circle[{0, 0}, г[n, R]], {n, 1/5, 20, 1/5}]}],
Graphics[{Magenta, Opacity[0.1], Annulus[{0, 0}, {R, 8}]}],
Graphics[{White, Opacity[0.7], Disk[{0, 0}, R]}],
Graphics[{Cyan, Opacity[0.1], Disk[{0, 0}, R]}],
Graphics[{Blue, Thick, Dashed, Opacity[0.9], Circle[{0, 0}, R]}]
]}, {Grid[{{
s["   r(M)"->N[R]], s["R(M)"->N[Ȓ[R,R]]]
},{"               ", " "}},
Alignment->Left]
}}, Alignment->Left]
]]], {R, 2, 4, 1/5}]
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