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Kritischer Wert für die dunkle Energie ΩΛ in einem geschlossenen Universum; ein geringerer Wert führt zu einem Big Crunch, der exakte Wert zu einem Stillstand und ein höherer Wert sorgt dafür dass der Hubbleparameter H nie 0 wird und letztendlich auf einen konstanten Wert zukonvergiert, also eine beschleunigte Expansion:
Anwendungsbeispiel: Bei In[1] wird der normalisierte Hubbleparameter H und die erste und zweite Zeitableitung (ȧ und ä) des normalisierten Skalenfaktors a sowie die Zusammenhänge zwischen Druck, Dichte und Krümmung definiert. Bei In[5] wird die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Expansion auf 0 gesetzt um nach dem Grenzwert zwischen Expansion und Kontraktion aufzulösen. Bei In[6] werden die gewünschten Werte für die Materie Ωm und die Strahlung Ωr festgelegt. Bei In/Out[8] wird das für den Grenzfall benötigte ΩΛ und der Skalenfaktor bei dem das unstabile Gleichgewicht eintritt ausgegeben, was zur Probe bei Out[11] nochmal geplottet wird. Die Plotwerte nach der vertikalen Hilfslinie gehören zu solchen a Werten die zu keinem Zeitpunkt t erreicht werden da beim maximalen a von hier a=4.33407 sowohl H=0 als auch dH/dt=0, also ein unstabiles Gleichgewicht erreicht wird:
Raumzeitdiagamme des oberen Universums in Proper Distance r(t), Comoving Distance R(t) & nach Conformal Time R(η) Koordinaten. rH: Hubble Radius (blau), rE: Ereignishorizont (keiner), rP: Partikelhorizont (grün), orange Kurve: Lichtkegel, graue Kurven: mitbewegte Weltlinien, R=r/a:
Für ein geschlossenes Big Crunch Universum mit Ωr=2, Ωk=-1 geht es hier entlang. Die Metrik in radiusgetreuen und umfanggetreuen Koordinaten findet sich in dieser Liste. Da hier oben die radialen Abstände eingezeichnet sind wurden Erstere verwendet.
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(* | Solver for the critical value of ΩΛ in a closed universe || yukterez.net | *)
Ωk = 1-Ωm-Ωr-ΩΛ;
pr = Ωr/3;
pm = 0;
H² = Ωr/a^4+Ωm/a^3+Ωk/a^2+ΩΛ;
ȧ² = H² a^2;
ä = a (ΩΛ-(Ωm+pm)/a^3/2-(Ωr+pr)/a^4/2);
Ωr = 3/10;
Ωm = 11/10;
f = N[Reduce[ȧ²==ä==0 && Ωr+Ωm+ΩΛ>1 && Ωr>=0 && Ωm>=0 && ΩΛ>0 && a>1, ΩΛ]]
A = f[[1,2]]
ΩΛ = f[[2,2]]/.a->A
plot[x_]:=Plot[x, {a, A-1, A+1}, Frame -> True, GridLines -> {{A}, {}}]
"H²"->plot[H²]
"ȧ²"->plot[ȧ²]
"ä"->plot[ä]
Quit[]Anwendungsbeispiel: Bei In[1] wird der normalisierte Hubbleparameter H und die erste und zweite Zeitableitung (ȧ und ä) des normalisierten Skalenfaktors a sowie die Zusammenhänge zwischen Druck, Dichte und Krümmung definiert. Bei In[5] wird die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Expansion auf 0 gesetzt um nach dem Grenzwert zwischen Expansion und Kontraktion aufzulösen. Bei In[6] werden die gewünschten Werte für die Materie Ωm und die Strahlung Ωr festgelegt. Bei In/Out[8] wird das für den Grenzfall benötigte ΩΛ und der Skalenfaktor bei dem das unstabile Gleichgewicht eintritt ausgegeben, was zur Probe bei Out[11] nochmal geplottet wird. Die Plotwerte nach der vertikalen Hilfslinie gehören zu solchen a Werten die zu keinem Zeitpunkt t erreicht werden da beim maximalen a von hier a=4.33407 sowohl H=0 als auch dH/dt=0, also ein unstabiles Gleichgewicht erreicht wird:
Raumzeitdiagamme des oberen Universums in Proper Distance r(t), Comoving Distance R(t) & nach Conformal Time R(η) Koordinaten. rH: Hubble Radius (blau), rE: Ereignishorizont (keiner), rP: Partikelhorizont (grün), orange Kurve: Lichtkegel, graue Kurven: mitbewegte Weltlinien, R=r/a:
Für ein geschlossenes Big Crunch Universum mit Ωr=2, Ωk=-1 geht es hier entlang. Die Metrik in radiusgetreuen und umfanggetreuen Koordinaten findet sich in dieser Liste. Da hier oben die radialen Abstände eingezeichnet sind wurden Erstere verwendet.
