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In Arbeit

1) Newton

(* Gegeben *)

G  = 667384*^-16 m^3/kg/sek^2;   (* Newtons Konstante *)
M1 = 5972 10^21 kg;              (* Erdmasse *)
M2 = 1 kg;                       (* Testmasse *)
M  = M1 + M2;                    (* Gesamtmasse *)
R1 = 6371000 m;                  (* Erdradius *)
R2 = 1 m;                        (* Objektradius *)
R  = R1 + R2;                    (* minimaler Schwerpunktabstand *)
h  = 10 m;                       (* Fallhöhe *)
v0 = 0 m/sek;                    (* Initialgeschwindigkeit *)

(* Gesucht *)

t = f[\!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(R\), \(R + h\)]\(
\*FractionBox[\(1\), 
SqrtBox[\(2\ G\ M\ \((
\*FractionBox[\(1\), \(r\)] - 
\*FractionBox[\(1\), \(R + h\)])\) + 
       v0\ Abs[v0]\)]] \[DifferentialD]r\)\)] (* Fallzeit, integriert *)

t = f[1/(-2 G M + (h + R) v0 Abs[v0])^(3/2) Sqrt[
   h + R] (-Sqrt[2 G h M + R (h + R) v0 Abs[v0]] Sqrt[-2 G M R + 
       R (h + R) v0 Abs[v0]] + (h + 
        R) (Sqrt[(h + R) v0] Sqrt[Abs[v0]]
          Sqrt[-2 G M + (h + R) v0 Abs[v0]] + 
        2 G M (ArcSinh[Sqrt[-(R/(h + R)) + (R v0 Abs[v0])/(2 G M)]] - 
           ArcSinh[
            Sqrt[-1 + ((h + R) v0 Abs[v0])/(
             2 G M)]])))] (* Fallzeit, analytisch *)
             
v = f[Sqrt[\!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(R\), \(R + h\)]\(\((
\*FractionBox[\(2\ G\ M\), 
SuperscriptBox[\(r\), \(2\)]] + 
\*FractionBox[\(v0\ Abs[
         v0]\), \(h\)])\) \[DifferentialD]r\)\)]] (* insgesamte Geschwindigkeit, integriert *)

v = f[Sqrt[(2 G M h)/(R (R + h)) + 
   v0 Abs[v0]]] (* insgesamte Geschwindigkeit, analytisch *)
   
v1 = v M2/(M1 + M2) (* Geschwindigkeit Erde *)
v2 = v M1/(M1 + M2) (* Geschwindigkeit Objekt *)

Zeit t, Integral:

$t = \int_R^{h+R} \frac{1}{\sqrt{v_0 \left| v_0\right| +2 G M \left(\frac{1}{r}-\frac{1}{h+R}\right)}} \, \text{d}r$

Zeit t, analytisch:

$t = \frac{\sqrt{h+R}}{(v_0 \left| v_0\right| (h+R)-2 G M)^{3/2}} \cdot ...$

$... \left(-\sqrt{R v_0 \left| v_0\right| (h+R)+2 G h M} \sqrt{R v_0 \left| v_0\right| (h+R)-2 G M R}+\right. ...$

$... (h+R) \left(\sqrt{\left| v_0\right| } \sqrt{v_0 (h+R)} \sqrt{v_0 \left| v_0\right| (h+R)-2 G M}+\right. ...$

$... \left.\left.2 G M \left(\sinh ^{-1}\left(\sqrt{\frac{R v_0 \left| v_0\right| }{2 G M}-\frac{R}{h+R}}\right)-\sinh ^{-1}\left(\sqrt{\frac{v_0 \left| v_0\right| (h+R)}{2 G M}-1}\right)\right)\right)\right)$

Zeit t, numerisch:

$t = 1.4272 \text{sek}$

Gesamtgeschwindigkeit v, Integral:

$v = v_1+v_2 = \sqrt{\int_R^{h+R} \left(\frac{v_0 \left| v_0\right| }{h}+\frac{2 G M}{r^2}\right) \, dr}$

Gesamtgeschwindigkeit v, analytisch:

$v = v_1+v_2 = \sqrt{v_0 \left| v_0\right| +\frac{2 G h M}{R (h+R)}}$

Gesamtgeschwindigkeit v, numerisch:

$v = v_1+v_2 = 14.0138 \frac{\text{m}}{\text{sek}}$

Einzelgeschwindigkeiten v1 & v2:

$v_1 = \frac{v M_2}{M_1+M_2} , v_2 = \frac{v M_1}{M_1+M_2}$

Strecke statt Ziel:

$\int _R^{h+R} \to \int _{h-H+R}^{h+R}$

Hier ist h die initiale Höhe und H die bereits gefallene Strecke.

.nb

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Gravitation, Formelsammlung

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