Zeitdilatation durch Gravitation und Rotation

[Yukterez]

Dieser Abschnitt behandelt die vereinfachten Formeln im schwachen Feld. Für das starke Feld rotierender schwarzer Löcher geht es hier entlang.

GPS-Satelliten kreisen auf einer Höhe von



(⎆). Dort fahren sie mit ihrer Orbitalgeschwindigkeit von



herum. Die Uhren dort oben werden wegen der Zeitdilatation mit 10.22999999545 MHz getaktet um bei uns mit 10.23 MHz anzukommen (⎆).

Der Grund für die Zeitdilatation hat zwei Ursachen: erstens die vom Abstand zur Masse abhängige gravitative ZD, die mit der Funktion



beschrieben wird, und die geschwindigkeitsabhängige ZD, deren Funktion



lautet. Die Zeitdilatation die der Satellit relativ zu einem Beobachter at infinity erfährt hat damit den Faktor



Eine Uhr auf der Erde, deren Oberfächengeschwindigkeit am Äquator



beträgt, geht relativ zu diesem Beobachter ebenfalls nach, und zwar um den Faktor



Sowohl die ZD des Satelliten als auch des Beobachters sind absolut, da erstens die gravitative ZD sowieso immer absolut ist, und es sich zweitens sowohl bei der Bahnbewegung des Satelliten als auch bei der Oberflächenrotation der Erde um Bewegungen handelt, wo der Bewegte immer wieder zu seinem Ursprungsort zurückkehrt (wie auf einer Kreisbahn üblich). Damit gelten die selben Regeln wie beim Zwillingsparadoxon: der zurückgekehrte Zwilling ist tatsächlich jünger wenn er wieder am Ausgangsort ankommt.

Setzen wir nun Zahlen in die Rechnung ein, ergibt sich dass relativ zu einem Beobachter auf der Erdoberfläche die Uhren am Satelliten um 4.44e-10 sek/sek schneller gehen, was eine Uhr die oben mit 10.22999999545 MHz taktet unten mit den von den GPS-Empfängern geforderten 10.23 Mhz empfangen werden lässt:

Plot 1 zeigt die Zeitdilatation eines Turms der Höhe relativ zur Erdoberfläche. Plot 2 zeigt die ZD eines frei fallenden Satelliten relativ zur Erdoberfläche bei vernachlässigter Erdrotation, und Plot 3 wenn man dieselbe berücksichtigt (.nb File). Im ersten Fall heben sich beide Effekte auf ca. 1.4e8 m auf, im zweiten Fall bei genau dem 1.5-fachen Planetenradius (bei einem schwarzen Loch wäre das die Photonensphäre, da sowohl am Horizont bei r=rs als auch im Orbit bei r=1.5rs mit v=c eine unendliche Zeitdilatation auftritt), und im dritten Fall ein klein weniger näher.

Auf Wikipedia lesen wir zu Plot 2 bei Out[22]:

Wenn man die durch die Höhe verursachte Verringerung der gravitativen Zeitdilatation relativ zur Erdoberfläche und die durch die für diese Höhe erforderliche Kreisbahngeschwindigkeit bedingte Zeitdilatation miteinander vergleicht, zeigt sich, dass sich bei einem Bahnradius vom 1.5-fachen des Erdradius, also in einer Flughöhe von einem halben Erdradius, die beiden Effekte genau aufheben und daher die Zeit auf einer solchen Kreisbahn genau so schnell vergeht wie auf der Erdoberfläche (wenn man vereinfachend annimmt dass die Erde selbst nicht rotiert ist es exakt der 1.5-fache Radius, berücksichtigt man auch die Erdrotation ist es geringfügig weniger).

Time Dilation due gravity and rotation, Calculations, Simon Tyran, Wien (Vienna)

[Yukterez]

Wäre die Erde eine geometrische Kugel und kein Geoid, und wir platzierten eine Uhr am Äquator auf Breitengrad 0°(Singapur), eine auf 30° (Houston), eine auf 60°(Helsinki) und eine auf 90° (am Nordpol), ginge die Uhr am Nordpol, deren Zeitdilatation lediglich von der Gravition bewirkt wird, relativ zu einem feldfreien Beobachter, zB im Erdmittelpunkt, um den Faktor т/t=0.9999999993039402 langsamer. Eine Uhr am Äquator, deren Zeitdilatation auch eine Komponente von ihrer Kreisgeschwindigkeit um den Erdmittelpunkt hat, geht bereits um einen Faktor von τ/t=0.9999999993027394 langsamer. Daher geht die Uhr am Äquator um einen Faktor von τ/т=0.9999999999987993 langsamer als jene an den Polen:

Der gravitative Anteil für die ZD ist in diesem Beispiel für jeden Punkt an der Oberfläche gleich, der aufgrund der Kreisbewegung aber nicht. Die Abplattung der Erde wurde vernachlässigt und wird im nächsten Beitrag berücksichtigt. Die alte Version dieses Beitrags findet sich hier.