Schwarzschild Metrik

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 21. Mai 2016, 23:08

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Verwandte Beiträge: Kerr Newman || Kerr || Reissner Nordström || Geodäsie || Gravitationslinsen || Raytracing || Flamms Paraboloid
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Metrischer Tensor in Schwarzschild Koordinaten {t,r,θ,Ф}:

$Bild$

Erweiterte Finkelsteinkoordinaten {ť,r,θ,Ф} mit der horizontüberschreitenden Koordinatenzeit ť wobei dť=dt+2dr/(r-rs):

$Bild$

Bewegungsgleichung in Schwarzschildkoordinaten; aufgrund der Kugelsymmetrie kann auf eine Winkelkoordinate reduziert werden so dass √(dθ²+sin²θ dФ²)→dθ:

$Bild$

$Bild$

$Bild$

mit v⊥=v cos ζ als die transversale, und v∥=v sin ζ als die radiale lokale Dreiergeschwindigkeit mit dem lokalen Abschusswinkel ζ (von außen erscheint dieser aufgrund der radialen Längenkontraktion flacher).

τ ist die Eigenzeit des Testpartikels, und t die Koordinatenzeit eines Beobachters at infinty. Um die Schalenzeit eines stationären Beobachters auf r=R zu erhalten wird τ einfach durch √(1-rs/r) dividiert, mit dem Schwarzschildradius rs=2GM/c². Die totale Zeitdilatation ist das multiplikative Produkt aus der gravitativen und der kinematischen Zeitdilatation.

Um von der lokalen Geschwindigkeit auf die beobachtete zu transformieren gilt für die radiale und transversale Komponente:

$Bild$

Der Betrag der lokalen bzw. verzögerten Geschwindigkeit ist dann nach Pythagoras

$Bild$

Der Drehimpuls

$Bild$

und die Gesamtenergie

$Bild$

sind konstant, wobei

$Bild$

Physikalischer Abstand zwischen zwei verschiedenen r:

$Bild$

Bei einer rein radialen Bewegung vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu

$Bild$

Simulator (alte Version in Schwarzschildkoordinaten; für horizontüberschreitende Finkelsteinkoordinaten kann im aktuelleren Kerr-Simulator crd=2 und a=0 gesetzt werden):

Code: Alles auswählen

(*||| Schwarzschild Simulator |||||||| yukterez.net ||||||||||| Version 13.02.2018 |||||||| Syntax: Mathematica |||*)
(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

ClearAll["Global`*"]                                       (* Variablen frei machen *)
G = 1; M = 1; c = 1; rs = 2 G M/c^2;                       (* Einheiten *)
wp = MachinePrecision;                                     (* numerische Genauigkeit *)
set= {"GlobalAdaptive", "MaxErrorIncreases" -> 100, Method -> "GaussKronrodRule"};
para = 20; pstep = 1/3;                                    (* Paraboloid Grid *)

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

j[v_] := Sqrt[1 - v^2/c^2];    J = j[v0];                  (* Gammafaktor *)
k[r_] := Sqrt[1 - rs/r];       κ = k[r0];                  (* Schwarzschildfaktor *)

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

r0 = 3/2 rs;                                               (* Startradius *)
v0 = 7/10 c;                                               (* lokale Startgeschwindigkeit *)
ζ  = Pi/4;                                                 (* Abschusswinkel *)
θ0 = 0;                                                    (* Startwinkel *)
τM = 20 G M/c^3;                                           (* Simulationsdauer *)

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

τMax = Min[τM, plunge-0.0001]; TMax=Min[τM, и[plunge-0.0001]]; 
(* г = Sqrt[χ^2 + γ^2]; Θ = ArcSin[γ/г]; *)                (* Kartesisch auf Polar *)
vr0 = v0 Sin[ζ] κ/J; vθ0 = v0/r0 Cos[ζ]/J;                 (* Längenkontraktion und Tiefenexpansion *)
d1 = τM/10; d2 = d1; f = 3;                                (* Schweifdauer und Frameanzahl *)

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

sol = NDSolve[{                                            (* Differentialgleichung *)
r''[t] == -((G M)/r[t]^2) + r[t] θ'[t]^2 - (3 G M)/c^2 θ'[t]^2,
r'[0]  == vr0,
r[0]   == r0,
θ''[t] == -((2 r'[t] θ'[t])/r[t]),
θ'[0]  == vθ0,
θ[0]   == θ0,
τ'[t]  == Sqrt[c^2 r[t] + r[t] r'[t]^2 - c^2 rs + r[t]^3 θ'[t]^2 - r[t]^2 rs θ'[t]^2]/(c Sqrt[r[t] - rs] Sqrt[1 - rs/r[t]]),
τ[0]   == 0,
cl'[t] == ((r'[t] / k[r[t]])^2 + (θ'[t] r[t])^2)/c^2,
cl[0]  == 0
}, {r, θ, τ, cl}, {t, 0, τM},
MaxSteps -> Infinity,
Method -> Automatic,
WorkingPrecision -> wp,
InterpolationOrder -> All,
StepMonitor :> (laststep=plunge; plunge=t;
stepsize=plunge-laststep;), Method->{"EventLocator",
"Event" :> (If[stepsize<1*^-5, 0, 1])}];

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

t[ξ_] := Quiet[                                            (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)
χ /.FindRoot[Evaluate[τ[χ] /. sol][[1]] - ξ, {χ, 0}, WorkingPrecision -> wp, Method -> Automatic]];
Τ := Quiet[t[ι]];

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

grr[r_]:=If[Abs[r]>2, (1-2/Abs[r])^-1, (1-(2Abs[r]^2)/2^3)^-1];
gtt[r_]:=If[Abs[r]>2, (1-2/Abs[r])^-1, 4(3Sqrt[1-2/2]-Sqrt[1-(2Abs[r]^2)/2^3])^-2];

Ȓ[я_]:=Quiet[NIntegrate[Sqrt[Abs[grr[r]]], {r, 0, Abs[я]}, Method -> set, MaxRecursion -> 100]];
Ř[я_]:=Quiet[NIntegrate[Sqrt[Abs[grr[r]-1]], {r, Abs[я], para}, Method -> set, MaxRecursion -> 100]];
ř[я_]:=Quiet[Ř[0]-Ř[я]];
grid[я_]:=Quiet[x/.FindRoot[Ȓ[x]-я, {x, 1}]];

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

x[t_] := (Sin[Evaluate[θ[t] /. sol]] Evaluate[r[t] /. sol])[[1]]
y[t_] := (Cos[Evaluate[θ[t] /. sol]] Evaluate[r[t] /. sol])[[1]]

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

R[t_] := Evaluate[r[t] /. sol][[1]];                       (* Radialkoordinate *)
γ[t_] := Evaluate[τ'[t] /. sol][[1]];                      (* Zeitdilatation *)
и[t_] := Evaluate[τ[t] /. sol][[1]];                       (* Koordinatenzeit *)

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

crθ[t_] := Evaluate[cl'[t] /. sol][[1]];                   (* Celerität *)
vrθ[t_] := crθ[t]/Sqrt[1 + crθ[t]^2];
clr[t_] := Evaluate[r'[t] /. sol][[1]];
clθ[t_] := R[t] Evaluate[θ'[t] /. sol][[1]];

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

vr[t_] := clr[t]/γ[t]/k[R[t]]^2;                           (* lokale Geschwindigkeit, radial *)
vt[t_] := clθ[t]/γ[t]/k[R[t]];                             (* lokale Geschwindigkeit, transversal *)
vp[t_] := Sqrt[vr[t]^2 + vt[t]^2];                         (* lokale Geschwindigkeit, total *)
vc[t_] := Sqrt[vr[t]^2 k[R[t]]^2 + vt[t]^2] k[R[t]];       (* Koordinatengeschwindigkeit, total *)

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

s[text_] := Style[text, FontSize -> font];  font = 11;     (* Stil der Anzeigetafel *)
PR = 2 r0;                                                 (* Plot Range *)

(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

Do[Print[                                                  (* Animation nach Eigenzeit *)
Rasterize[Grid[{{Show[

Graphics[{Table[{LightGray, Circle[{0, 0}, grid[n]]}, {n, pstep, para, pstep}]},
Frame -> True, ImageSize -> 360,
PlotRange -> PR, ImagePadding ->  Automatic],
Graphics[{Magenta, Opacity[0.1], Annulus[{0, 0}, {2, para}]}],
Graphics[{White, Opacity[0.7], Disk[{0, 0}, 2]}],
Graphics[{Cyan, Opacity[0.1], Disk[{0, 0}, 2]}],
Graphics[{Black, Dashed, Circle[{0, 0}, r0]}],

Graphics[{PointSize[0.01], Red, Point[{x[т], y[т]}]}],

ParametricPlot[{x[η], y[η]}, {η, 0, Max[1*^-16, т - d1]},
PlotStyle->{Thickness[0.004], LightGray}],
ParametricPlot[{x[η], y[η]}, {η, Max[1*^-16, т - d2], т},
ColorFunction -> Function[{x, y, η},
Hue[0, 1, 0.5, Max[Min[(-т + (η + d2))/d2, 1], 0]]],
ColorFunctionScaling -> False]]},

      {Grid[{
      {s["  Eigenzeit"],           " = ",    s[N[т, 8]],                                      s[" GM/c³"]},
      {s["  Koordinatenzeit"],     " = ",    s[N[Evaluate[τ[т] /. sol][[1]], 8]],             s[" GM/c³"]},
      {s["  Zeitdilatation"],      " = ",    s[N[γ[т], 8]],                                   s[" dt/dτ"]},
      {s["  Winkel"],              " = ",    s[N[Evaluate[(θ[т] /. sol) 180/Pi][[1]], 8]],    s[" Grad"]},
      {s["  Radialkoordinate"],    " = ",    s[N[R[т] , 8]],                                  s[" GM/c²"]},
      {s["  x-Achse"],             " = ",    s[N[x[т], 8]],                                   s[" GM/c²"]},
      {s["  y-Achse"],             " = ",    s[N[y[т], 8]],                                   s[" GM/c²"]},
      {s["  v lokal"],             " = ",    s[N[vp[т], 8]],                                  s[" c"]},
      {s["  v extern"],            " = ",    s[N[vc[т], 8]],                                  s[" c"]},
      {s["  kinetische Energie"],  " = ",    s[N[1/Sqrt[1 - vp[т]^2] - 1, 8]],                s[" mc²"]},
      {s[" "],                     "   ",    s["                 "],                          s[" "]}
      }, Alignment -> Left, Spacings -> {0, 1/2}]}}, Alignment -> Left]]
      ], {т, τMax/f, τMax, τMax/f}]
   
(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

Do[Print[                                                  (* Animation nach Koordinatenzeit *)
Rasterize[Grid[{{Show[

Graphics[{Table[{LightGray, Circle[{0, 0}, grid[n]]}, {n, pstep, para, pstep}]},
Frame -> True, ImageSize -> 360,
PlotRange -> PR, ImagePadding ->  Automatic],
Graphics[{Magenta, Opacity[0.1], Annulus[{0, 0}, {2, para}]}],
Graphics[{White, Opacity[0.7], Disk[{0, 0}, 2]}],
Graphics[{Cyan, Opacity[0.1], Disk[{0, 0}, 2]}],
Graphics[{Black, Dashed, Circle[{0, 0}, r0]}],

Graphics[{PointSize[0.01], Red, Point[{x[Τ], y[Τ]}]}],

ParametricPlot[{x[η], y[η]}, {η, 0, Max[1*^-16, Τ - d1]},
PlotStyle->{Thickness[0.004], LightGray}],
ParametricPlot[{x[η], y[η]}, {η, Max[1*^-16, Τ - d2], Τ},
ColorFunction -> Function[{x, y, η},
Hue[0, 1, 0.5, Max[Min[(-Τ + (η + d2))/d2, 1], 0]]],
ColorFunctionScaling -> False]]},

      {Grid[{
      {s["  Eigenzeit"],           " = ",    s[N[Τ, 8]],                                      s[" GM/c³"]},
      {s["  Koordinatenzeit"],     " = ",    s[N[ι, 8]],                                      s[" GM/c³"]},
      {s["  Zeitdilatation"],      " = ",    s[N[γ[Τ], 8]],                                   s[" dt/dτ"]},
      {s["  Winkel"],              " = ",    s[N[Evaluate[(θ[Τ] /. sol) 180/Pi][[1]], 8]],    s[" Grad"]},
      {s["  Radialkoordinate"],    " = ",    s[N[R[Τ], 8]],                                   s[" GM/c²"]},
      {s["  x-Achse"],             " = ",    s[N[x[Τ], 8]],                                   s[" GM/c²"]},
      {s["  y-Achse"],             " = ",    s[N[y[Τ], 8]],                                   s[" GM/c²"]},
      {s["  v lokal"],             " = ",    s[N[vp[Τ], 8]],                                  s[" c"]},
      {s["  v extern"],            " = ",    s[N[vc[Τ], 8]],                                  s[" c"]},
      {s["  kinetische Energie"],  " = ",    s[N[1/Sqrt[1 - vp[Τ]^2] - 1, 8]],                s[" mc²"]},
      {s[" "],                     "   ",    s["                 "],                          s[" "]}
      }, Alignment -> Left, Spacings -> {0, 1/2}]}}, Alignment -> Left]]
      ], {ι, TMax/f, TMax, TMax/f}]
   
(*|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)
(* Syntax: Mathematica || schwarzschild.yukterez.net || kerr.yukterez.net ||| Simon Tyran - [Симон Тыран] - Vienna *)

Verschiedene Integrationsmethoden (bei Orbits in einem Mindestabstand vom zweifachen EH reicht die Methode Automatic):

Code: Alles auswählen

Method -> {"EventLocator", "Event" -> (r[t] - 2.000001)}

Code: Alles auswählen

Method -> {"StiffnessSwitching", Method -> {"ExplicitRungeKutta", Automatic}}

Code: Alles auswählen

Method -> {"ImplicitRungeKutta", DifferenceOrder" -> 20}

Mehrere Testpartikel:

Code: Alles auswählen

(* Schwarzschild Simulator für mehrere Testpartikel ||| schwarzschild.yukterez.net  5 2015 ||| Syntax: Mathematica *)
(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

G = 1; M = 1; c = 1; rs = 2 G M/c^2;                       (* Einheiten *)
wp = MachinePrecision;                                     (* Genauigkeit *)
para = 60; pstep = 1/2;                                    (* Paraboloid Grid *)

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

j[v_] := Sqrt[1 - v^2/c^2];                                (* Gammafaktor *)
k[r_] := Sqrt[1 - rs/r];                                   (* Schwarzschildfaktor *)

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

r01 = Sqrt[x01^2 + y01^2];                                 (* Startradius *)
y01 = +1 rs; x01 = +8 rs;                                  (* Position *)
v01 = 0;                                                   (* lokale Startgeschwindigkeit *)
ζ1  = 0;                                                   (* Abschusswinkel *)
θ01 = ArcSin[y01/r01];                                     (* Startwinkel *)

r02 = Sqrt[x02^2 + y02^2];                                 (* Startradius *)
y02 = -1 rs; x02 = +8 rs;                                  (* Position *)
v02 = 0;                                                   (* lokale Startgeschwindigkeit *)
ζ2  = 0;                                                   (* Abschusswinkel *)
θ02 = ArcSin[y02/r02];                                     (* Startwinkel *)

r03 = Sqrt[x03^2 + y03^2];                                 (* Startradius *)
y03 = +1 rs; x03 = +6 rs;                                  (* Position *)
v03 = 0;                                                   (* lokale Startgeschwindigkeit *)
ζ3  = 0;                                                   (* Abschusswinkel *)
θ03 = ArcSin[y03/r03];                                     (* Startwinkel *)

r04 = Sqrt[x04^2 + y04^2];                                 (* Startradius *)
y04 = -1 rs; x04 = +6 rs;                                  (* Position *)
v04 = 0;                                                   (* lokale Startgeschwindigkeit *)
ζ4  = 0;                                                   (* Abschusswinkel *)
θ04 = ArcSin[y04/r04];                                     (* Startwinkel *)

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

T  = 100;                                                  (* Simulationsdauer *)

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

sol1 = NDSolve[{                                           (* Differentialgleichung *)
r''[t] == -((G M)/r[t]^2) + r[t] θ'[t]^2 - (3 G M)/c^2 θ'[t]^2,
r'[0]  == 0,
r[0]   == r01,
θ''[t] == -((2 r'[t] θ'[t])/r[t]),
θ'[0]  == 0,
θ[0]   == θ01,
τ'[t]  == Sqrt[c^2 r[t] + r[t] r'[t]^2 - c^2 rs + r[t]^3 θ'[t]^2 - r[t]^2 rs θ'[t]^2]/(c Sqrt[r[t] - rs] Sqrt[1 - rs/r[t]]),
τ[0]   == 0,
cl'[t] == ((r'[t] / k[r[t]])^2 + (θ'[t] r[t])^2)/c^2,
cl[0]  == 0
}, {r, θ, τ, cl}, {t, 0, T}, WorkingPrecision -> wp,
MaxSteps -> Infinity, Method -> Automatic,
InterpolationOrder -> All];

sol2 = NDSolve[{                                            (* Differentialgleichung *)
r''[t] == -((G M)/r[t]^2) + r[t] θ'[t]^2 - (3 G M)/c^2 θ'[t]^2,
r'[0]  == 0,
r[0]   == r02,
θ''[t] == -((2 r'[t] θ'[t])/r[t]),
θ'[0]  == 0,
θ[0]   == θ02,
τ'[t]  == Sqrt[c^2 r[t] + r[t] r'[t]^2 - c^2 rs + r[t]^3 θ'[t]^2 - r[t]^2 rs θ'[t]^2]/(c Sqrt[r[t] - rs] Sqrt[1 - rs/r[t]]),
τ[0]   == 0,
cl'[t] == ((r'[t] / k[r[t]])^2 + (θ'[t] r[t])^2)/c^2,
cl[0]  == 0
}, {r, θ, τ, cl}, {t, 0, T}, WorkingPrecision -> wp,
MaxSteps -> Infinity, Method -> Automatic,
InterpolationOrder -> All];

sol3 = NDSolve[{                                            (* Differentialgleichung *)
r''[t] == -((G M)/r[t]^2) + r[t] θ'[t]^2 - (3 G M)/c^2 θ'[t]^2,
r'[0]  == 0,
r[0]   == r03,
θ''[t] == -((2 r'[t] θ'[t])/r[t]),
θ'[0]  == 0,
θ[0]   == θ03,
τ'[t]  == Sqrt[c^2 r[t] + r[t] r'[t]^2 - c^2 rs + r[t]^3 θ'[t]^2 - r[t]^2 rs θ'[t]^2]/(c Sqrt[r[t] - rs] Sqrt[1 - rs/r[t]]),
τ[0]   == 0,
cl'[t] == ((r'[t] / k[r[t]])^2 + (θ'[t] r[t])^2)/c^2,
cl[0]  == 0
}, {r, θ, τ, cl}, {t, 0, T}, WorkingPrecision -> wp,
MaxSteps -> Infinity, Method -> Automatic,
InterpolationOrder -> All];

sol4 = NDSolve[{                                            (* Differentialgleichung *)
r''[t] == -((G M)/r[t]^2) + r[t] θ'[t]^2 - (3 G M)/c^2 θ'[t]^2,
r'[0]  == 0,
r[0]   == r04,
θ''[t] == -((2 r'[t] θ'[t])/r[t]),
θ'[0]  == 0,
θ[0]   == θ04,
τ'[t]  == Sqrt[c^2 r[t] + r[t] r'[t]^2 - c^2 rs + r[t]^3 θ'[t]^2 - r[t]^2 rs θ'[t]^2]/(c Sqrt[r[t] - rs] Sqrt[1 - rs/r[t]]),
τ[0]   == 0,
cl'[t] == ((r'[t] / k[r[t]])^2 + (θ'[t] r[t])^2)/c^2,
cl[0]  == 0
}, {r, θ, τ, cl}, {t, 0, T}, WorkingPrecision -> wp,
MaxSteps -> Infinity, Method -> Automatic,
InterpolationOrder -> All];

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

t1[ξ_] := Quiet[                                           (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)
χ /.FindRoot[Evaluate[τ[χ] /. sol1][[1]] - ξ, {χ, 0}, 
WorkingPrecision -> wp, Method -> Automatic]];
Τ1 := Quiet[t1[ι]];
t2[ξ_] := Quiet[                                           (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)
χ /.FindRoot[Evaluate[τ[χ] /. sol2][[1]] - ξ, {χ, 0}, 
WorkingPrecision -> wp, Method -> Automatic]];
Τ2 := Quiet[t2[ι]];
t3[ξ_] := Quiet[                                           (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)
χ /.FindRoot[Evaluate[τ[χ] /. sol3][[1]] - ξ, {χ, 0}, 
WorkingPrecision -> wp, Method -> Automatic]];
Τ3 := Quiet[t3[ι]];
t4[ξ_] := Quiet[                                           (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)
χ /.FindRoot[Evaluate[τ[χ] /. sol4][[1]] - ξ, {χ, 0}, 
WorkingPrecision -> wp, Method -> Automatic]];
Τ4 := Quiet[t4[ι]];

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

u[x_, y_] = Max[2, Sqrt[x^2 + y^2]];                       (* flamm'sches Paraboloid *)
w[x_, y_] = 2 + Integrate[Sqrt[1/(1 - 2/R)], {R, 2, u[x, y]}];
q[x_, y_] = Sqrt[w[x, y]^2 - u[x, y]^2];
grid[n_]  = я /. FindRoot[2 + Sqrt[(-2 + я) я] + Log[-1 + я + Sqrt[(-2 + я) я]] == R, {я, 0}];

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

x1[t_] := (Sin[Evaluate[θ[t] /. sol1]] Evaluate[r[t] /. sol1])[[1]]
y1[t_] := (Cos[Evaluate[θ[t] /. sol1]] Evaluate[r[t] /. sol1])[[1]]

x2[t_] := (Sin[Evaluate[θ[t] /. sol2]] Evaluate[r[t] /. sol2])[[1]]
y2[t_] := (Cos[Evaluate[θ[t] /. sol2]] Evaluate[r[t] /. sol2])[[1]]

x3[t_] := (Sin[Evaluate[θ[t] /. sol3]] Evaluate[r[t] /. sol3])[[1]]
y3[t_] := (Cos[Evaluate[θ[t] /. sol3]] Evaluate[r[t] /. sol3])[[1]]

x4[t_] := (Sin[Evaluate[θ[t] /. sol4]] Evaluate[r[t] /. sol4])[[1]]
y4[t_] := (Cos[Evaluate[θ[t] /. sol4]] Evaluate[r[t] /. sol4])[[1]]

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

R1[t_] := Evaluate[r[t] /. sol1][[1]];                     (* Radialkoordinate *)
γ1[t_] := Evaluate[τ'[t] /. sol1][[1]];                    (* Zeitdilatation *)
и1[t_] := Evaluate[τ[t] /. sol1][[1]];                     (* Koordinatenzeit *)

R2[t_] := Evaluate[r[t] /. sol2][[1]];                     (* Radialkoordinate *)
γ2[t_] := Evaluate[τ'[t] /. sol2][[1]];                    (* Zeitdilatation *)
и2[t_] := Evaluate[τ[t] /. sol2][[1]];                     (* Koordinatenzeit *)

R3[t_] := Evaluate[r[t] /. sol3][[1]];                     (* Radialkoordinate *)
γ3[t_] := Evaluate[τ'[t] /. sol3][[1]];                    (* Zeitdilatation *)
и3[t_] := Evaluate[τ[t] /. sol3][[1]];                     (* Koordinatenzeit *)

R4[t_] := Evaluate[r[t] /. sol4][[1]];                     (* Radialkoordinate *)
γ4[t_] := Evaluate[τ'[t] /. sol4][[1]];                    (* Zeitdilatation *)
и4[t_] := Evaluate[τ[t] /. sol4][[1]];                     (* Koordinatenzeit *)

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

crθ1[t_] := Evaluate[cl'[t] /. sol1][[1]];                 
vrθ1[t_] := crθ1[t]/Sqrt[1 + crθ1[t]^2];
clr1[t_] := Evaluate[r'[t] /. sol1][[1]];
clθ1[t_] := R1[t] Evaluate[θ'[t] /. sol1][[1]];

crθ2[t_] := Evaluate[cl'[t] /. sol2][[1]];                 
vrθ2[t_] := crθ2[t]/Sqrt[1 + crθ2[t]^2];
clr2[t_] := Evaluate[r'[t] /. sol2][[1]];
clθ2[t_] := R2[t] Evaluate[θ'[t] /. sol2][[1]];

crθ3[t_] := Evaluate[cl'[t] /. sol3][[1]];                 
vrθ3[t_] := crθ3[t]/Sqrt[1 + crθ3[t]^2];
clr3[t_] := Evaluate[r'[t] /. sol3][[1]];
clθ3[t_] := R3[t] Evaluate[θ'[t] /. sol3][[1]];

crθ4[t_] := Evaluate[cl'[t] /. sol4][[1]];                 
vrθ4[t_] := crθ4[t]/Sqrt[1 + crθ4[t]^2];
clr4[t_] := Evaluate[r'[t] /. sol4][[1]];
clθ4[t_] := R4[t] Evaluate[θ'[t] /. sol4][[1]];

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

vr1[t_] := clr1[t]/γ1[t]/k[R1[t]]^2;                        (* lokale Geschwindigkeit, radial *)
vt1[t_] := clθ1[t]/γ1[t]/k[R1[t]];                          (* lokale Geschwindigkeit, transversal *)
vp1[t_] := Sqrt[vr1[t]^2 + vt1[t]^2];                       (* lokale Geschwindigkeit, total *)
vc1[t_] := Sqrt[vr1[t]^2 k[R1[t]]^2 + vt1[t]^2] k[R1[t]];   (* Koordinatengeschwindigkeit, total *)

vr2[t_] := clr2[t]/γ2[t]/k[R2[t]]^2;                        (* lokale Geschwindigkeit, radial *)
vt2[t_] := clθ2[t]/γ2[t]/k[R2[t]];                          (* lokale Geschwindigkeit, transversal *)
vp2[t_] := Sqrt[vr2[t]^2 + vt2[t]^2];                       (* lokale Geschwindigkeit, total *)
vc2[t_] := Sqrt[vr2[t]^2 k[R2[t]]^2 + vt2[t]^2] k[R2[t]];   (* Koordinatengeschwindigkeit, total *)

vr3[t_] := clr3[t]/γ3[t]/k[R3[t]]^2;                        (* lokale Geschwindigkeit, radial *)
vt3[t_] := clθ3[t]/γ3[t]/k[R3[t]];                          (* lokale Geschwindigkeit, transversal *)
vp3[t_] := Sqrt[vr3[t]^2 + vt3[t]^2];                       (* lokale Geschwindigkeit, total *)
vc3[t_] := Sqrt[vr3[t]^2 k[R3[t]]^2 + vt3[t]^2] k[R3[t]];   (* Koordinatengeschwindigkeit, total *)

vr4[t_] := clr4[t]/γ4[t]/k[R4[t]]^2;                        (* lokale Geschwindigkeit, radial *)
vt4[t_] := clθ4[t]/γ4[t]/k[R4[t]];                          (* lokale Geschwindigkeit, transversal *)
vp4[t_] := Sqrt[vr4[t]^2 + vt4[t]^2];                       (* lokale Geschwindigkeit, total *)
vc4[t_] := Sqrt[vr4[t]^2 k[R4[t]]^2 + vt4[t]^2] k[R4[t]];   (* Koordinatengeschwindigkeit, total *)

(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)

s[text_] := Style[text, FontSize -> font];  font = 11;

Do[Print[                                            (* Animation nach Koordinatenzeit *)
  Rasterize[Grid[{{Show[Graphics[{
      {LightGray, Disk[{0, 0}, rs]}},
       Frame -> True, ImageSize -> 400, PlotRange -> 1.2 Max[r01, r02, r03, r04], ImagePadding -> 1],
       Graphics[Table[{Lighter[Gray], Circle[{0, 0}, grid[n]]}, {n, 2 + pstep, para, pstep}]],
      
       Graphics[{PointSize[0.01], Red, Point[{x1[Τ1], y1[Τ1]}]}],
       Graphics[{PointSize[0.01], Green, Point[{x2[Τ2], y2[Τ2]}]}],
       Graphics[{PointSize[0.01], Blue, Point[{x3[Τ3], y3[Τ3]}]}],
       Graphics[{PointSize[0.01], Pink, Point[{x4[Τ4], y4[Τ4]}]}]
      
      ]},
        {Grid[{
      {"  ", s["Koordinatenzeit"], " = ", s[N[ι, 8]], s["    GM/c³"]},
      {""},
      {"  ", s["Eigenzeit 1"], " = ", s[N[Τ1, 8]], s["    GM/c³"]},
      {"  ", s["Eigenzeit 2"], " = ", s[N[Τ2, 8]], s["    GM/c³"]},
      {"  ", s["Eigenzeit 3"], " = ", s[N[Τ3, 8]], s["    GM/c³"]},
      {"  ", s["Eigenzeit 4"], " = ", s[N[Τ4, 8]], s["    GM/c³"]},
      {""},
      {"  ", s["Zeitdilatation 1"], " = ", s[N[Evaluate[τ'[Τ1] /. sol1][[1]], 8]], s["    dt/dτ"]},
      {"  ", s["Zeitdilatation 2"], " = ", s[N[Evaluate[τ'[Τ2] /. sol2][[1]], 8]], s["    dt/dτ"]},
      {"  ", s["Zeitdilatation 3"], " = ", s[N[Evaluate[τ'[Τ3] /. sol3][[1]], 8]], s["    dt/dτ"]},
      {"  ", s["Zeitdilatation 4"], " = ", s[N[Evaluate[τ'[Τ4] /. sol4][[1]], 8]], s["    dt/dτ"]},
      {""},
      {"  ", s["Winkel 1"], " = ", s[N[Evaluate[(θ[Τ1] /. sol1) 180/Pi][[1]], 8]], s["    grad"]},
      {"  ", s["Winkel 2"], " = ", s[N[Evaluate[(θ[Τ2] /. sol2) 180/Pi][[1]], 8]], s["    grad"]},
      {"  ", s["Winkel 3"], " = ", s[N[Evaluate[(θ[Τ3] /. sol3) 180/Pi][[1]], 8]], s["    grad"]},
      {"  ", s["Winkel 4"], " = ", s[N[Evaluate[(θ[Τ4] /. sol4) 180/Pi][[1]], 8]], s["    grad"]},
      {""},
      {"  ", s["Radialkoordinate"], " = ", s[N[Evaluate[r[Τ1] /. sol1][[1]], 8]], s["    GM/c²"]},
      {"  ", s["Radialkoordinate 2"], " = ", s[N[Evaluate[r[Τ2] /. sol2][[1]], 8]], s["    GM/c²"]},
      {"  ", s["Radialkoordinate 3"], " = ", s[N[Evaluate[r[Τ3] /. sol3][[1]], 8]], s["    GM/c²"]},
      {"  ", s["Radialkoordinate 4"], " = ", s[N[Evaluate[r[Τ4] /. sol4][[1]], 8]], s["    GM/c²"]},
      {""},
      {"  ", s["x-Achse 1"], " = ", s[N[x1[Τ1], 8]], s["    GM/c²"]},
      {"  ", s["x-Achse 2"], " = ", s[N[x2[Τ2], 8]], s["    GM/c²"]},
      {"  ", s["x-Achse 3"], " = ", s[N[x3[Τ3], 8]], s["    GM/c²"]},
      {"  ", s["x-Achse 4"], " = ", s[N[x4[Τ4], 8]], s["    GM/c²"]},
      {""},
      {"  ", s["y-Achse 1"], " = ", s[N[y1[Τ1], 8]], s["    GM/c²"]},
      {"  ", s["y-Achse 2"], " = ", s[N[y2[Τ2], 8]], s["    GM/c²"]},
      {"  ", s["y-Achse 3"], " = ", s[N[y3[Τ3], 8]], s["    GM/c²"]},
      {"  ", s["y-Achse 4"], " = ", s[N[y4[Τ4], 8]], s["    GM/c²"]},
      {""},
      {"  ", s["v lokal 1"], " = ", s[N[vp1[Τ1], 8]], s["    c"]},
      {"  ", s["v lokal 2"], " = ", s[N[vp2[Τ2], 8]], s["    c"]},
      {"  ", s["v lokal 3"], " = ", s[N[vp3[Τ3], 8]], s["    c"]},
      {"  ", s["v lokal 4"], " = ", s[N[vp4[Τ4], 8]], s["    c"]},
      {""},
      {"  ", s["v extern 1"], " = ", s[N[vc1[Τ1], 8]], s["    c"]},
      {"  ", s["v extern 2"], " = ", s[N[vc2[Τ2], 8]], s["    c"]},
      {"  ", s["v extern 3"], " = ", s[N[vc3[Τ3], 8]], s["    c"]},
      {"  ", s["v extern 4"], " = ", s[N[vc4[Τ4], 8]], s["    c"]}
      
        }, Alignment -> Left, Spacings -> {0, 1/2}]}}, Alignment -> Left]]
        ], {ι, 1, 142, 1}]
      
(*/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////*)
                                                                                                   (* yukterez.net *)

Freifall vs Photon:

Code: Alles auswählen

ClearAll["Global`*"];                                   \
G = 1; M = 1; c = 1; rs =  2 G M/c^2;
wp = MachinePrecision;
para = 24; pstep =  1/2;

j[v_] := Sqrt[1 - v^2/c^2]; J = j[v0];
k[r_] := Sqrt[1 - rs/r]; \[Kappa] = k[r0];

r0 = 10;
v0 = 0;
\[CurlyPhi] = 0;
\[Theta]0 = Pi/2;
\[Upsilon] = 35;

vr0 = v0 Sin[\[CurlyPhi]] \[Kappa]/J; v\[Theta]0 = v0/r0 Cos[\[CurlyPhi]]/J;

Needs["DifferentialEquations`NDSolveProblems`"]; \
Needs["DifferentialEquations`NDSolveUtilities`"];

i[x_] := If[r[t] == 2, 1, If[r[t] < 2, Im[x], x]];

sol = NDSolve[
{r''[t] == -((G M)/r[t]^2) + r[t] \[Theta]'[t]^2 - (3 G M)/c^2 \[Theta]'[t]^2, r'[0] == vr0, 
r[0] == r0, \[Theta]''[t] == -((2 r'[t] \[Theta]'[t])/r[t]), 
\[Theta]'[0] == v\[Theta]0, \[Theta][0] == \[Theta]0, 
\[Tau]'[t] == Sqrt[c^2 r[t] + r[t] r'[t]^2 - c^2 rs + r[t]^3 \[Theta]'[t]^2 - r[t]^2 rs \[Theta]'[t]^2]/(c Sqrt[r[t] - rs] Sqrt[1 - rs/r[t]]), \[Tau][0] == 0, 
cl'[t] == ((r'[t]/k[r[t]])^2 + (\[Theta]'[t] r[t])^2)/c^2, 
cl[0] == 0}, {r, \[Theta], \[Tau], cl}, {t, 0, \[Upsilon]}, 
MaxSteps -> Infinity, Method -> Automatic, WorkingPrecision -> wp, InterpolationOrder -> All];

solp = NDSolve[
{r'[t] == -(1 - 2/r[t]), r[0] == 10}, r, {t, 0, 1000}, 
MaxSteps -> Infinity, Method -> Automatic, WorkingPrecision -> 32, InterpolationOrder -> All];

rp[\[Tau]_] := Quiet[Evaluate[r[\[Tau]] /. solp][[1]]];
тp = Quiet[tt /. FindRoot[rp[tt] - r1, {tt, 1}, WorkingPrecision -> 32]];

rf[t_] := Quiet[Evaluate[r[t] /. solf][[1]]];
T = Quiet[t /. FindRoot[rf[t] - r1, {t, 1}]];
тf = Quiet[Evaluate[\[Tau][T] /. solf][[1]]];

t[\[Xi]_] := Quiet[
\[Chi] /. FindRoot[
Evaluate[\[Tau][\[Chi]] /. sol][[1]] - \[Xi], {\[Chi], 0}, 
WorkingPrecision -> wp, Method -> Automatic]];
\[CapitalTau] := Quiet[t[\[Iota]]];

u[b_] = b - 2;
Quiet[w[b_] = NIntegrate[Sqrt[1/(1 - 2/R)], {R, 2, b}]; 
q[b_] = Sqrt[w[b]^2 - u[b]^2];]
grid[n_] = я /. FindRoot[2 + Sqrt[(-2 + я) я] + Log[-1 + я + Sqrt[(-2 + я) я]] == n, {я, 0}];

x[t_] := (Sin[Evaluate[\[Theta][t] /. sol]] Evaluate[r[t] /. sol])[[1]]
y[t_] := (Cos[Evaluate[\[Theta][t] /. sol]] Evaluate[r[t] /. sol])[[1]]

R[t_] := Evaluate[r[t] /. sol][[1]]; 
\[Gamma][t_] := Evaluate[\[Tau]'[t] /. sol][[1]];
и[t_] := Evaluate[\[Tau][t] /. sol][[1]];

cr\[Theta][t_] := Evaluate[cl'[t] /. sol][[1]]; (*Celerität*)
vr\[Theta][t_] := cr\[Theta][t]/Sqrt[1 + cr\[Theta][t]^2];
clr[t_] := Evaluate[r'[t] /. sol][[1]];
cl\[Theta][t_] := R[t] Evaluate[\[Theta]'[t] /. sol][[1]];

vr[t_] := clr[t]/\[Gamma][t]/k[R[t]]^2; 
vt[t_] := cl\[Theta][t]/\[Gamma][t]/k[R[t]];
vp[t_] := Sqrt[vr[t]^2 + vt[t]^2]; 
vc[t_] := Sqrt[vr[t]^2 k[R[t]]^2 + vt[t]^2] k[R[t]]; 

s[text_] := Style[text, FontSize -> 11]; PR = 12;

Quiet[Do[Print[
Rasterize[Grid[{{Show[
Graphics[{{Gray, Disk[{0, 0}, rs]}, {Black, Dashed, 
Circle[{0, 0}, r0]}}, Frame -> True, ImageSize -> 500, PlotRange -> PR, ImagePadding -> Automatic], 
Graphics[Table[{Gray, Circle[{0, 0}, grid[n]]}, {n, 2 + pstep, para, pstep}]],
Graphics[{PointSize[0.01], Green, Point[{2, 0}]}],
Graphics[{PointSize[0.01], Blue, Point[{10, 0}]}], 
Graphics[{PointSize[0.01], Red, Point[{x[Quiet[t[\[Iota] + 30.553877]]], 0}]}],
Graphics[{PointSize[0.01], Green, Point[{rp[\[Iota]], 0}]}]]}, 
{Grid[{
{s["  Zeit A"], " = ", s[N[30.553877 + \[Iota], 8]]}, 
{s["  Zeit B"], " = ", s[N[(30.553877 + \[Iota]) Sqrt[1 - 2/10], 8]]},
{s["  Zeit C"], " = ", s[N[Quiet[t[\[Iota] + 30.553877]], 8]]}}, 
Alignment -> Left, Spacings -> {0, 1/2}]}}, Alignment -> Left]]], 
{\[Iota], 0, 40,0.1}]]

Startbedingungen: v0 = 1.111fache Kreisbahngeschwindigkeit im Perihel bei r0 = 2.8 rs = 5.6 GM/c²:

Startbedingungen: v0 = 1.02-fache Kreisbahngeschwindigkeit im Perihel bei r0 = 5 GM/c² (für die Kerr-Version hier entlang):

Startbedingungen: v0 = 1.26fache Kreisbahngeschwindigkeit im Perihel bei r0 = 10 rs = 20 GM/c²:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 21. Mai 2016, 23:09

links: lokal, rechts: extern:

links: lokal (Eigenzeit, Schalengeschwindigkeit), rechts: extern (Koordinatenzeit, verzögerte Geschwindigkeit):

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Sa 21. Mai 2016, 23:09

links: Newton, rechts: Einstein (Koordinatenzeit at infinity mit Shapiro-Verzögerung):

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » So 22. Mai 2016, 10:52

Startbedingungen: v0 = neutonische Kreisbahngeschwindigkeit bei r0 = 10 rs = 20 GM/c² und 0° Abschusswinkel:

Startbedingungen: v0 = neutonische Kreisbahngeschwindigkeit bei r0 = 10 rs = 20 GM/c² und 45° Abschusswinkel:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Do 26. Mai 2016, 09:29

$\90dpi {\rm \Delta R = \int_{r_1}^{r_2}} \sqrt{g_{\rm r r}} \ \rm d r = \rm \int_{r_1}^{r_2} \frac{ d r}{{\sqrt{1-\frac{r_\mathrm{s}}{r}}}} = \left. \left( r \sqrt{1-\frac{r_\mathrm{s}}{r}} + \frac{r_\mathrm{s}}{2} \ln {\frac{1+\sqrt{1-\frac{r_\mathrm{s}}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{r_\mathrm{s}}{r}}}} \right) \right|_{\displaystyle{{{r=}} \ r_1}}^{\displaystyle{{{r=}} \ r_2}}$

instabile Orbits um die Photonensphäre:

instabile Orbits innerhalb der Photonensphäre:

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Fr 21. Sep 2018, 00:40

Probe für MTW 32.1, Animation:

Bild

Standbilder: Startbedingung: r0=10, v0=0:

Bild

Bei τ=33.7, t=∞ ist der kollabierende Stern auf seinen Schwarzschildradius geschrumpft:

Bild

Bei τ=35.1 und t=42.4 ist die Singularität erreicht:

Bild

τ,t und τ,r Diagramme:

Bild

Benötigte Formeln (G=M=c=1):

$Bild$

Diskussion: Uwudl

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Fr 21. Sep 2018, 00:45

Einfallender Partikelstream, Finkelsteinkoordinaten vs Schwarzschildkoordinaten:

Diskussion: Uwudl, mehr zum Thema: hier entlang.

wikipedia · Beitragvon **Yukterez** » Fr 21. Sep 2018, 00:57

Der deutschsprachige Wikipedia Artikel wird derzeit von Crackpots heimgesucht (leider keine Seltenheit seit dem Kahanes Trolle und politische Aktivisten dort die Administration übernommen und so gut wie alle Intellektuellen vergrault haben). Von der aktuellen Version wird daher abgeraten und stattdessen die letzte stabile Version oder die englischsprachigen Artikel zum Thema empfohlen. In jedem Fall sollte die Versionsgeschichte überprüft werden, da die Flachweltler es machmal auch auf der englischen Wikipedia probieren (bisher zum Glück noch recht erfolglos).

Animations by Simon Tyran, Vienna (Yukterez) - reuse permitted under the Creative Commons License CC BY-SA 4.0

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