Projektionseffekte und scheinbare Geschwindigkeiten

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Projektionseffekte und scheinbare Geschwindigkeiten

Beitragvon Yukterez » Mi 11. Nov 2015, 01:17

Wir postulieren einen Kreis von 1 Lichtsekunde Radius, in dessen Mitte sich sowohl ein Laserpointer als auch eine Salamikanone befinden, die sich innerhalb einer Sekunde einmal um die eigene Achse drehen. Die Photonen reisen mit c, die Salamischeiben mit c/2:

Bild

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z = 90; d = 1/2/z; x = 1.1; y = x;
t1 = τ /. Solve[τ - 2 d z == 1, τ][[1]];
t2 = τ /. Solve[τ/2 - d z == 1, τ][[1]];

plot[f_, ta_, tb_, c1_, c2_, c3_] := Manipulate[
   
   P = {Max[Min[(t - 2 n d)/f, 1], 0] Sin[2 n π/z],
        Max[Min[(t - 2 n d)/f, 1], 0] Cos[2 n π/z]};
      
   L = {P, {0, 0}};
   TP = Table[Point[P], {n, 0, z}];
   TL = Table[Line[L, VertexColors -> {c2, c1}], {n, 0, z}];
   VS = {c3, PointSize[0.03], Point[{Sin[Max[t - f, 0] 2 π], Cos[Max[t - f, 0] 2 π]}]};
   
   Graphics[{TP, TL, VS, Circle[{0, 0}, 1]},
    PlotRange -> {{-x, x}, {-y, y}}, ImageSize -> 200], {t, ta, tb}];

p1 := plot[1, t1 - t2, t1, Green, Cyan, Blue];
p2 := plot[2, 0, t2, Yellow, Orange, Red];
p3 := Manipulate[N[Evaluate[N[t]]], {t, 0, t2}];

{p1, p2}

Innerhalb einer Sekunde werden am Kreis 2π Lichtsekunden abgefahren; der Lichtpunkt bzw. die Salamischeiben wandern dann mit einer Scheingeschwindigkeit von 6.28c den Kreis entlang (in Wahrheit handelt es sich natürlich nicht um ein Photon oder eine Salamischeibe die mit 2πc im Kreis fahren, sondern um viele Photonen und Salamischeiben die mit c bzw c/2 in einer geraden Linie fliegen).
Bild
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Re: Projektionseffekte und scheinbare Geschwindigkeiten

Beitragvon Yukterez » Mi 11. Nov 2015, 01:20

Projizieren wir nicht auf einen Kreis sondern eine Gerade und drehen den Laser dabei mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ergibt sich folgende Projektion:

Bild

Die beleuchtete Strecke ist hier 1 Ls lang und der Abstand des Lasers zum Zentrum 1/2 Ls. Der Laser dreht sich in diesem Beispiel mit einer Winkelgeschwindigkeit von π/sek = 180°/sek.

Code: Alles auswählen

z = 200; d = 1/2/z;
plot[f_, ta_, tb_, c1_, c2_, c3_] := Manipulate[
P = {Max[Min[(t + 1/4 - 4 n d), 2], 0] Sin[2 n \[Pi]/z],
Max[Min[(t + 1/4 - 4 n d), 2], 0] Cos[2 n \[Pi]/z], 0};
L = {P, {0, 0, 0}};
TP = {c3, Table[Point[P], {n, z/8, 3 z/8}]};
TL = Table[Line[L, VertexColors -> {c2, c1}], {n, z/8, 3 z/8}];
Graphics3D[{TL, TP},
PlotRange -> {{1/2, 0}, {1/2, -1/2}, {-1/2, 1/2}},
ImageSize -> 300, ViewPoint -> {4, 4, 4}], {t, ta, tb}];
p1 = plot[1, 0, 1/Sqrt[2] + 1/2, Red, Magenta, Purple]
(* Yukterez 2015 *)
Bild
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Re: Projektionseffekte und scheinbare Geschwindigkeiten

Beitragvon Yukterez » Mi 11. Nov 2015, 01:26

Code: Alles auswählen

ClearAll["Global`*"]
tmax = 1/Sqrt[2];
f[t_] := 1/Sin[t π + π/4]/2 + t; F[t_] := -(f[t] - t) + f[0];
plot2[f_, ta_, tb_, c1_, c2_, c3_, a_, b_, c_] := Do[Print[
P1 = {t Sin[n π/180 + π/4], t Cos[n π/180 + π/4], 0};
L1 = {P1, {0, 0, 0}};
TP1 = {c3, Table[{PointSize[0.01], Point[P1]}, {n, 0, 45}]};
TL1 = Table[Line[L1, VertexColors -> {c2, c1}], {n, 0, 45}];
P2[t_] := {(tmax - t) Sin[n π/180 + π/4], (tmax - t) Cos[n π/180 + π/4], 0};
L2 = {P2[t], p}; p = P2[0];
TP2 = {c3, Table[{PointSize[0.01], Point[P2[t]]}, {n, 0, 45}]};
TL2 = Table[Line[L2, VertexColors -> {c1, c2}], {n, 0, 45}];
P3 = {(t - F[n/180]) Sin[n π/180 + π/4], (t - F[n/180]) Cos[n π/180 + π/4], 0};
L3 = {P3, {0, 0, 0}};
TP3 = {c3, Table[{PointSize[0.01], Point[P3]}, {n, 0, 45}]};
TL3 = Table[Line[L3, VertexColors -> {c2, c1}], {n, 0, 45}];
Rasterize[Grid[{{
Grid[{{Rotate[
Graphics3D[{TL1, TP1, {Dashed, Line[{{1/2, 1/2, 0}, {1/2, -1/2, 0}}]}},
PlotRange -> {{1/2, 0}, {0, 1/2}, {-1/16, 1/16}},
ImagePadding -> 1, ImageSize -> 240,
ViewPoint -> {a, b, c}], -π/2]}, {N[2 t]}}, Alignment -> Left],
Grid[{{Rotate[
Graphics3D[{TL3, TP3, {Dashed, Line[{{1/2, 1/2, 0}, {1/2, -1/2, 0}}]}},
PlotRange -> {{1/2, 0}, {0, 1/2}, {-1/16, 1/16}},
ImageSize -> 240, ImagePadding -> 1,
ViewPoint -> {a, b, c}], -π/2]}, {"Projektionseffekt"}}, Alignment -> Center],
Grid[{{Rotate[
Graphics3D[{TL2, TP2, {Dashed, Line[{{1/2, 1/2, 0}, {1/2, -1/2, 0}}]}},
PlotRange -> {{1/2, 0}, {0, 1/2}, {-1/16, 1/16}},
ImageSize -> 240, ImagePadding -> 1,
ViewPoint -> {a, b, c}], -π/2]}, {"yukterez.net"}}, Alignment -> Right]}}]]],
{t, ta, tb, 1/Sqrt[2]/10}];
p3 = plot2[1, 0, 1/Sqrt[2], Red, Magenta, Purple, 0, 0, Infinity]

Bild
Links: alle Laser werden gleichzeitig eingeschaltet; der projizierte Punkt wandert 1 Lichtsekunde in ca. 0.4 sek ab.
Mitte: die Laser werden so getimed bzw. der Laserpointer so gedreht dass die gesamte Strecke gleichzeitig beleuchtet wird.
Rechts: die Laser stehen am Boden und werden so getimed dass der Beobachter in der Ecke die ganze Strecke gleichzeitig aufleuchten sieht.

Die Funktion für 2 lautet

Bild

und die Funktion für 3

Bild

mit X als dem maximalen Abstand von der Y-Achse und Y als der Höhe des Beobachters auf x=0.

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Bild
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