Kerr Orbits

Physik, Mathematik & Programmierung
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Yukterez
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Kerr-Flächen

Beitragvon Yukterez » Mi 21. Jun 2017, 06:10

rH: Ereignishorizonte, rE: Ergosphären (in Boyer-Lindquist Koordinaten)

Bild

r,θ,φ (links) vs x,y,z (rechts):

Bild

Farbcode: hellblau = äußere Ergosphäre, cyan = äußerer Horizont, violett = innerer Horizont, Rot = innere Ergosphäre

Bild

Alle relevanten Flächen; die Ringsingularität befindet sich auf der Äquatorebene der inneren Ergosphäre:

Bild

Der Spinparameter in der oberen Illustration beträgt a=0.99Jc/G/M².

Code:

Code: Alles auswählen

(* Perspektive *)
rE = 1 + Sqrt[1 - a^2 Cos[θ]^2]; RE[A_] := {Sqrt[rE^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rE^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rE Cos[θ]};
rA = 1 + Sqrt[1 - a^2]; RA[A_] := {Sqrt[rA^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rA^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rA Cos[θ]};
rI = 1 - Sqrt[1 - a^2]; RI[A_] := {Sqrt[rI^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rI^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rI Cos[θ]};
rG = 1 - Sqrt[1 - a^2 Cos[θ]^2]; RG[A_] := {Sqrt[rG^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rG^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rG Cos[θ]};
horizons[A_] := Show[
Graphics3D[{}, SphericalRegion -> True, ViewPoint -> {0, -10 Cos[w] + 10 Sin[w], 10 Cos[w] + 10 Sin[w]}, ImageSize -> 340, PlotRange -> 3],
ParametricPlot3D[RE[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Blue, Opacity[0.1]]],
ParametricPlot3D[RA[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Cyan, Opacity[0.15]]],
ParametricPlot3D[RI[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.2]]],
ParametricPlot3D[RG[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.5]]]];
a = 0.99;
Do[Print[Rasterize[Grid[{{horizons[a], horizons[0]}}]]], {w, 0, 2 π, π/125}]

Code: Alles auswählen

(* Spinparameter *)
rE = 1 + Sqrt[1 - a^2 Cos[θ]^2]; RE[A_] := {Sqrt[rE^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rE^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rE Cos[θ]};
rA = 1 + Sqrt[1 - a^2]; RA[A_] := {Sqrt[rA^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rA^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rA Cos[θ]};
rI = 1 - Sqrt[1 - a^2]; RI[A_] := {Sqrt[rI^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rI^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rI Cos[θ]};
rG = 1 - Sqrt[1 - a^2 Cos[θ]^2]; RG[A_] := {Sqrt[rG^2 + A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rG^2 + A^2] Sin[θ] Sin[φ], rG Cos[θ]};
horizons[A_] := Show[
Graphics3D[{}, SphericalRegion -> True, ViewPoint -> {0, 10, 5}, ImageSize -> 340, PlotRange -> 3],
ParametricPlot3D[RE[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Blue, Opacity[0.1]]],
ParametricPlot3D[RA[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Cyan, Opacity[0.15]]],
ParametricPlot3D[RI[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.2]]],
ParametricPlot3D[RG[A], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π}, Mesh -> None, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.5]]]];
Do[Print[Rasterize[Grid[{{horizons[a], horizons[0]}}]]], {a, 0, 1, 1/250}]
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Kreisbahnen um rotierende schwarze Löcher

Beitragvon Yukterez » Fr 23. Jun 2017, 09:48

Die Bedingung für die radiale Beschleunigung und den radialen Impuls auf einer Kreisbahn ist

Bild

Um die lokale Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) für einen Orbit auf gegebenem r mit gegebenem a zu erhalten wird mit v=vφ, vθ=0, θ=π/2 nach vφ aufgelöst. Diese Gleichung hat 2 Lösungen, wovon die kleinere prograd und die größere retrograd ist:

Bild

Der pro- und retrograde Photonenradius liegt damit bei

Bild

und wenn vφ=0, v=vθ gesetzt wird der poloidiale mit Lz=0 (einem lokalen Inklinationswinkel von 90°, siehe Orbit 1) bei

Bild

Wegen der Korotation lokaler Inertialsysteme fahrt das Photon dann trotz dem es keinen axialen Drehimpuls besitzt mit der lokalen Frame-Dragging-Rate die Ф-Achse entlang:

Bild  ↗

Für ein Photon mit genau so viel axialem Drehimpuls um das Frame-Dragging am Äquator zu kompensieren ergibt sich für alle Spinparameter die Boyer-Lindquist-Radialkoordinate

Bild, also der klassische Schwarzschild-Photonenkreisbahnradius (siehe Orbit 2)

Die zu kompensierende Frame-Dragging-Geschwindigkeit beträgt in dem Fall c/3, weshalb der Inklinationswinkel δ0=π/2+ArcSin(1/3) ist, damit die lokale Geschwindigkeitskomponente des Photons gegen die Ф-Achse vФ nach Pythagoras genau 1/3 ist:

Bild  ↗

Auf r=3 ergibt sich für alle a ein beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel: Vergleich

Um den von a und r abhängigen Inklinationswinkel für einen Photonenorbit mit Startposition auf der Äquatorebene zu finden wird v0=1, μ=0, vr0=0, pr'0=0 gesetzt und nach δ0 aufgelöst. Dann ergibt sich:

Bild

mit

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Bild

Bild

Bild

Alle geschlossenen Photonenbahnen haben einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius, weswegen die Form der abgefahrenen Sphären in kartesischen Koordinaten ein Ellipsoid ergibt.

Animation aller Photonenorbits für den Spinparameter a=1Jc/G/M² (für eine erweiterte Ansicht das Bild anklicken):

Bild  ↗

Herleitung: hier entlang, weiterführender Beitrag: klick

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von a und r:

Bild

Schwarzschildlimit:

Bild

Natürliches Limit:

Bild

Extreme Kerr:

Bild

x-Achse: Boyer-Lindquist r, y-Achse: v lokal

Code:

Code: Alles auswählen

ClearAll["Global`*"]

vretro[a_,r_]:=(a^2+2 a Sqrt[r]+r^2)/(Sqrt[a^2+(-2+r) r] (a-r^(3/2)));
vpro[a_,r_]:=(a^2-2 a Sqrt[r]+r^2)/(Sqrt[a^2+(-2+r) r] (a+r^(3/2)));

rh = 1 + Sqrt[1 - a^2];
r1 = 2 (1 + Cos[2/3 ArcCos[-a]]);
r2 = 2 (1 + Cos[2/3 ArcCos[+a]]);

Do[Print[Rasterize[Grid[{{
Plot[{vpro[a, r], vretro[a, r]}, {r, 1, 10},
PlotRange->{{1, 10}, {-1, 1}},
GridLines->{{rh, r1, r2}, {}},
Frame->True, ImageSize->400]},
{"a"->a}}, Alignment->Left]]],
{a, 0, 1, 0.2}]
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ZAMO, ZAVO, FREFO & FIDO

Beitragvon Yukterez » Mo 26. Jun 2017, 17:34

Die mitrotierenden Punkte zeigen lokal ruhende Inertialsysteme LNRFs (locally nonrotating frames) auf denen ZAMOs (zero angular momentum observers) auf konstantem r,θ mit der Frame-Dragging-Rate mitbewegt werden. Darstellung im Inertialsystem eines ZAVOs (zero angular velocity oberservers) at infinity (mit a=1Jc/G/M²):

Bild

ZAMO (magenta), FIDO (cyan) & FREFO (rot) im Bezugssystem des ZAVO:

Bild  ↗

Benötigte Formeln:

Framedragging Winkelgeschwindigkeit

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Axialer Gyrationsradius

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Kartesischer Umfangsradius

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Gravitative Zeitdilatation

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Die im System des Buchhalters (ZAVO) beobachtete Transversalgeschwindigkeit der lokal stationären Boje (ZAMO) ist

Bild

während die lokal stationäre Boje (ZAMO) misst dass eine zum Buchhalter stationäre und damit relativ zum Strudel bewegte Boje (FIDO) mit

Bild

an ihr vorbeifliegt.

weiterführender Beitrag: hier entlang
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metrische Abstände

Beitragvon Yukterez » Mo 26. Jun 2017, 20:50

Bestimmung der radialen physikalischen Distanz:
Bild
Das voll ausgeschriebene Linienelement der Kerr-Metrik in BL-Koordinaten ist

Bild                            
Bild
Bild
Bild

Das wird mit a=0 zur Schwarzschild-Metrik in Schwarzschild-Koordinaten

Bild                            
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Für die radiale Strecke wird die Wurzel des roten Terms (g_rr) von r1 bis r2 integriert, für die poloidiale Strecke die des grünen Terms (g_θθ) von θ1 bis θ2, und für die axiale Strecke die des blauen Terms (g_ФФ) von Ф1 bis Ф2. Wenn die Strecke nicht nur auf einer Achse sondern auf mehreren verläuft oder man den Platz auf einer Fläche bzw. den Inhalt eines Volumens betrachtet muss die gekoppelte Differentialgleichung über alle betroffenen Koordinaten integriert werden.

Beispiel: die radiale Strecke vom Schwarzschildradius r1=rs=2GM/c² bis r2=2.1GM/c², also Δr=0.1, ergibt mit a=0 die physikalische Strecke ΔR=0.901826GM/c²:

Bild

Bild

und mit a=Jc/G/M²=1 je nach Polwinkel knapp über oder unter ΔR≈0.2GM/c²:

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Einbettungsdiagramm:

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Wenn man von einer r-Koordinate zur anderen rechnet gilt: je stärker die Rotation, desto geringer die radiale Längenkontraktion, aber desto größer dafür die axiale. Das kommt daher dass der Horizont sich bei steigender Rotation nach hinten verschiebt.

Rechnen wir nicht vom Schwarzschildradius r1=rs=2 weg, sondern vom Ereignishorizont r1=rH=1+√(1-a²), dann werden die Δr=0.1 mit steigendem a zu einem sehr viel höherem ΔR. Bei a=1 würde die radiale Strecke bis zum Ereignishorizont sogar unendlich, siehe Bardeen 1972:

Bild

was wegen dem a≤0.998-Limit und der komischen Zensur in der Natur aber nicht vorkommt. Plot von a=0 bis a=1:

Bild

Einbettungsdiagramm:

Bild

Mit dem praktischen Maximum von a=0.998 beträgt die Strecke bis zum Ereignishorizont in diesem Beispiel

Bild

Selbes Einbettungsdiagramm mit Fokus auf a=0.998:

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ΔR für r1=rH und r2=r1+0.1 (also Δ=0.1) bei a=0.998 und θ=π/2:

Bild

Originalbeitrag: hier entlang
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