Position: Ableitungen nach der Zeit

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Yukterez
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Position: Ableitungen nach der Zeit

Beitragvon Yukterez » Mo 11. Apr 2016, 23:05

Bin ich jetzt hier und 1 sek später 10 m weit entfernt habe ich eine Geschwindigkeit von 10 m/sek.
Habe ich jetzt eine Geschwindigkeit von 10 m/sek und 1 sek später 20 m/sek ist meine Beschleunigung 10 m/sek².
Ist meine Beschleunigung jetzt 10 m/sek² und in 1 sek 20 m/sek² war mein Ruck 10 m/sek³.
Ist mein Ruck jetzt... etc.

Die verwendeten Variablen:

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Ableitung         Bezeichnung               Dimensionen

x[t]              Position                  d₀ → m/sek⁰
x'[t]             Geschwindigkeit           d₁ → m/sek¹
x''[t]            Beschleunigung            d₂ → m/sek²
x'''[t]           Ruck                      d₃ → m/sek³
x''''[t]          Snap                      d₄ → m/sek⁴
x'''''[t]         Crackle                   d₅ → m/sek⁵
x''''''[t]        Pop                       d₆ → m/sek⁶
x'''''''[t]       Crankhop                  d₇ → m/sek⁷

Der Buchstabe für Geschwindigkeit ist zwar normalerweise v, der für die Beschleunigung a und jener für den Ruck j; aus Gründen der Übersichtlichkeit notiere ich aber mit d# bei der dazugehörigen Einheit m/sek^#. Im Deutschen gibt es soweit ich weiß auch noch keine Namen für die höheren Ableitungen.

Ich beginne mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit. Die Differentialgleichung dafür lautet dann

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x'[t] = d₁, x[0] = d₀

Das wird bekanntlich zu Position = Anfangsentfernung + Geschwindigkeit × Zeit:



in anderer Form auch bekannt als



Kommt eine Beschleunigung dazu wird daraus die Differentialgleichung

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x''[t] = d₂, x'[0] = d₁, x[0] = d₀

die zu einem Position = Anfangsentfernung + Initialgeschwindigkeit × Zeit + Beschleunigung/2 × Zeit² wird:



was sich in der Form



eingebürgert hat.

Nun kommt noch eine Änderung der Beschleunigung pro Zeit, also ein Ruck d₃ dazu, der da er die Einheit m/sek³ hat logischerweise mit Zeit³ multipliziert gehört um eine Strecke zu ergeben:

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x'''[t] = d₃, x''[0] = d₂, x'[0] = d₁, x[0] = d₀

Dafür erhalten wir Position = ... + Ruck/(3!) × Zeit³:



Wie man sieht zeichnet sich hier ein Muster ab:



wobei im Beispiel mit dem vorgegebenem Ruck k=3 gesetzt wird, da dieser die dritte Ableitung der Position nach der Zeit ist.
Mit dem gesagt können wir gleich zur 7. Ableitung (die Änderungsrate der Änderungsrate der Änderungsrate der Änderungsrate des Rucks) weiterspringen:

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x'''''''[t] = d₇, x''''''[0] = d₆, x'''''[0] = d₅, x''''[0] = d₄, x'''[0] = d₃, x''[0] = d₂, x'[0] = d₁, x[0] = d₀

Dafür brauchen wir nur in der oben erhaltenen Summe k=7 setzen:



ausgeschrieben:



Rechenbeispiel:

Wir haben ein Objekt, das sich initial in d₀ = 30 m Entfernung befindet, eine v₀ von d₁ = 20 m/sek hat und einem konstanten Crackpop von d₇ = 10 m/sek⁷ ausgesetzt ist. Für die Position nach t = 5 sek erhalten wir also die Gleichung



Suche ich statt der Position zu einem bestimmten Zeitpunkt die passende Geschwindigkeit, rutschen die d# eins nach links,



suche ich die momentane Beschleunigung um zwei,



für den Ruck um drei, usw. usf.
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