Transformation in ein bewegtes System

Deutschsprachige Version
Yukterez
Beiträge: 173
Registriert: Mi 21. Okt 2015, 02:16

Transformation in ein bewegtes System

Code: Alles auswählen

(*SYSTEM BEOBACHTER*)  L = {Line[{{-3, 0}, {3, 0}}]}; R = {PointSize[Large], Red, Point[{{0, 0}}]}; B = {PointSize[Large], Blue, Point[{{-2, 0}, {2, 0}}]}; o = {PointSize[Large], Orange, Point[{{0, 0}}]};  tmin = -7; tmax = 15; v = 0.8 c; c = 1; \[Gamma] = 1/Sqrt[1 - v^2];  plotB = Manipulate[   Graphics[ {Piecewise[{{{L, R,         B, {PointSize[Large], Brown, Point[{{-v t + 2, 0}}]}},        t < 0}, {{L, R,         B, {PointSize[Large], Green,          Point[{{-v t + 2, 0}}]}, {PointSize[Large], Yellow,          Point[{{-c t + 2, 0}}]}},        t <= 2 && t >= 0}, {{L, o,         B, {PointSize[Large], Green, Point[{{-v t + 2, 0}}]}},        t > 2 && t < 5}, {{L, o,         B, {PointSize[Large], Yellow,          Point[{{+c t - 7, 0}}]}, {PointSize[Large], Brown,          Point[{{-v t + 2, 0}}]}},        t >= 5 && t <= 25/4}, {{L, o,         B, {PointSize[Large], Yellow, Point[{{+c t - 7, 0}}]}},        t > 25/4 && t <= 7}, {{L, R, B}, t > 7}}]},    PlotRange -> {{-3, 3}, {-1, 1}}, ImageSize -> 500, Frame -> True,    FrameTicks -> {{None, None}, {All, None}}], {{t, tmin \[Gamma],     "t"}, tmin \[Gamma], tmax \[Gamma]}] (*SYSTEM LAMPE*)  plotL = Manipulate[  Show[Graphics[{Piecewise[{{{{Line[{{-5, 0}, {7, 0}}]}, {PointSize[           Large], Red, Point[{{-6/5 + v t, 0}}]}, {PointSize[Large],           Blue, Point[{{-12/5 + v t, 0}, {0 + v t, 0}}]}, {PointSize[           Large], Brown, Point[{{0, 0}}]}},         t < 0}, {{{Line[{{-5, 0}, {7, 0}}]}, {PointSize[Large], Red,           Point[{{-6/5 + v t, 0}}]}, {PointSize[Large], Blue,           Point[{{-12/5 + v t, 0}, {0 + v t, 0}}]}, {PointSize[Large],           Green, Point[{{0, 0}}]}, {PointSize[Large], Yellow,           Point[{{-c t, 0}}]}},         t >= 0 &&          t <= 2/3}, {{{Line[{{-5, 0}, {7, 0}}]}, {PointSize[Large],           Orange, Point[{{-6/5 + v t, 0}}]}, {PointSize[Large], Blue,           Point[{{-12/5 + v t, 0}, {0 + v t, 0}}]}, {PointSize[Large],           Green, Point[{{0, 0}}]}},         t > 2/3 &&          t <= 3}, {{{Line[{{-5, 0}, {7, 0}}]}, {PointSize[Large],           Orange, Point[{{-6/5 + v t, 0}}]}, {PointSize[Large], Blue,           Point[{{-12/5 + v t, 0}, {0 + v t, 0}}]}, {PointSize[Large],           Brown, Point[{{0, 0}}]}, {PointSize[Large], Yellow,           Point[{{c t - 3, 0}}]}},         t > 3 &&          t <= 9}, {{{Line[{{-5, 0}, {7, 0}}]}, {PointSize[Large], Red,           Point[{{-6/5 + v t, 0}}]}, {PointSize[Large], Blue,           Point[{{-12/5 + v t, 0}, {0 + v t, 0}}]}, {PointSize[Large],           Brown, Point[{{0, 0}}]}}, t > 9}}]},     PlotRange -> {{-3, 7}, {-5/3, 5/3}}, ImageSize -> 500,     Frame -> True, FrameTicks -> {{None, None}, {All, None}}]], {{t,     tmin, "\[Tau]"}, tmin, tmax}] (*SLIDE*)  tB = Manipulate[   Evaluate[N[t]], {{t, tmin \[Gamma], "t"}, tmin \[Gamma],     tmax  \[Gamma]}]; tL = Manipulate[Evaluate[N[t]], {{t, tmin, "\[Tau]"}, tmin, tmax}];

Im System des Beobachters, der auf dem Koordinatenursprung steht, bewegt sich eine Lampe mit 0.8 c auf ihn zu und beginnt in einer Entfernung von 2 Ls für 5 sek zu leuchten (im Lampensystem für 3 sek).

Gesucht ist nun die Lebensdauer (zeitlicher Abstand Emission zu Arbsorption) des ersten, mittleren und letzten Photons sowohl im System des Beobachters als auch im System der Lampe.

• Beobachtersystem:
Da das erste Photon in 2 Ls Entfernung emittiert wird, beträgt die Lebensdauer des ersten Photons logischerweise 2 sek.
Weil das letzte Photon wie im Link vorgerechnet in -2 Ls Abstand gesendet wird, ist dessen Lebensdauer identisch mit der des Ersten, also 2 sek.
• Lampensystem:
Aufgrund der Längenkontraktion bei 0.8 c sind die 2 Ls Abstand zum Empfänger auf 3/5 ihrer Ruhelänge kontrahiert auf 6/5 Ls = 1.2 Ls.
Ebenso ist aus Sicht der Lampe der Beobachter der Bewegte; er bewegt sich also mit 0.8 c auf die Lampe zu.
Währenddessen fährt das erste Photon mit c relativ zur Lampe und damit mit 1.8 c relativ zum Empfänger voran.
Die relativistische Geschwindigkeitsaddition wird hier entgegen der landläufigen Meinung nicht angewandt.
Die Lebensdauer des ersten Photons beträgt damit (1.2 Ls)/(1.8 Ls/sek) = 2/3 sek = 0.'6 sek.
Das Letzte Photon wird im selben Abstand, der auf die selben 1.2 Ls kontrahiert ist, ausgesendet.
Währenddessen bewegt sich der Empfänger mit 0.8 c von der Lampe weg, und das Photon mit 1 c.
Die Relativgeschwindigkeit zwischen Photon und Empfänger ist daher aus der Sicht der Lampe 0.2 c.
Die Lebensdauer des letzten Photons ist folgerichtig (1.2 Ls)/(0.2 Ls/sek) = 6 sek.
• Probe:
(2/3+6)/4 = 5/3 = γ-Faktor 1/√(1-v²/c²)

Симон Тыран @ facebook || wikipedia || stackexchange || wolfram

Yukterez
Beiträge: 173
Registriert: Mi 21. Okt 2015, 02:16

Im System eines mit dem Geschwindigkeitsvektor U={+ux,+uy,+uz} bewegter Beobachters hat ein anderes mit dem Geschwindigkeitsvektor V={-vx,-vy,-vz} bewegtes Objekt den Geschwindigkeitsvektor W={+wx,+wy,+wz}:

$\95dpi \rm W=U \oplus V=\frac{\frac{\gamma \ U\times (U\times V)}{\gamma +1}+U+V}{U \cdot V+1}$

wobei der Punkt · für das Punktprodukt und das Kreuz × für das Kreuzprodukt stehen. c wird hier gleich 1 gesetzt. γ ist der Lorentzfaktor 1/√(1-|U|²). Damit ergeben sich die Komponenten

$\95dpi \rm w_x = \frac{\frac{{u_x} {u_y} {v_y}+{u_z} ({u_x} {v_z}-{u_z} {v_x})-{u_y}^2 {v_x}}{\sqrt{-\left| {u_x}\right| ^2-\left| {u_y}\right| ^2-\left| {u_z}\right| ^2+1}+1}+{u_x}+{v_x}}{{u_x} {v_x}+{u_y} {v_y}+{u_z} {v_z}+1}$

$\95dpi \rm w_y = \frac{\frac{{u_x}^2 (-{v_y})+{u_x} {u_y} {v_x}+{u_y} {u_z} {v_z}-{u_z}^2 {v_y}}{\sqrt{-\left| {u_x}\right| ^2-\left| {u_y}\right| ^2-\left| {u_z}\right| ^2+1}+1}+{u_y}+{v_y}}{{u_x} {v_x}+{u_y} {v_y}+{u_z} {v_z}+1}$

$\95dpi \rm w_z = \frac{\frac{{u_x}^2 (-{v_z})+{u_x} {u_z} {v_x}-{u_y}^2 {v_z}+{u_y} {u_z} {v_y}}{\sqrt{-\left| {u_x}\right| ^2-\left| {u_y}\right| ^2-\left| {u_z}\right| ^2+1}+1}+{u_z}+{v_z}}{{u_x} {v_x}+{u_y} {v_y}+{u_z} {v_z}+1}$

Симон Тыран @ facebook || wikipedia || stackexchange || wolfram

Zurück zu „Yukterez Notizblock“

Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 1 Gast