Evolution der kosmischen Horizonte

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Yukterez
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Evolution der kosmischen Horizonte

Beitragvon Yukterez » Do 7. Jan 2016, 01:31

Die Evolution des Universums und seiner Horizonte in Schalen-Darstellung
Modell: ΛCDM; H0=67150 m/Mpc/sek; ΩR=5.48e-5; ΩM=0.317; ΩΛ=1-ΩRM

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(* Syntax: Mathematica ||| yukterez.net *)

 kg = 1; m = 1; sek = 1;  K = 1;(* Units *)
set = {"GlobalAdaptive", "MaxErrorIncreases" -> 100, Method -> "GaussKronrodRule"}; (* Integration Rule *)
 n = 100; (* Recursion Depth *)
tE = 300 Gyr;  (* Eventhorizon Limit *)

c    = 299792458 m/sek; (* Lightspeed *)
ca   = 1; (* Perturbation Velocity *)
G    = 667384*^-16 m^3 kg^-1 sek^-2;  (* Newton's Constant *)
Gyr  = 10^7*36525*24*3600*sek; (* Billion Year Scale *)
Glyr = Gyr*c; (* Billion Lightyear Scale *)
Mpc  = 30856775777948584200000 m; (* Megaparsec *)
kB   = 13806488*^-30 kg m^2/sek^2/K; (* Boltzmann's Constant *)
h    = 662606957*^-42 kg m^2/sek; (* Planck's Constant *)

ρc[H_] := 3 H^2/8/π/G; (* Critical Density *)

ρR      = 8 π^5 kB^4 T^4/15/c^5/h^3; (* Radiation Density *)
ρΛ      = ρc[H0] ΩΛ; (* Dark Energy Density *)
T       = 2725/1000 K; (* CMB Temperature *)

H0 = 67150 m/Mpc/sek; (* Hubble's Constant *)
ΩR = ρR/ρc[H0]; ΩM = 317/1000; ΩΛ = 683/1000 - ΩR; ΩT = ΩR + ΩM + ΩΛ; ΩK = 1 - ΩT; (* Density Parameters *)

aE[t_]     := Power[(Sqrt[ΩM/ΩΛ] Sinh[(3 H0 Sqrt[ΩΛ])/2 t])^2, (3)^-1]; (* Solving Region *)
w[a_, w0_] := (1 + w0) (Sqrt[1 + (ΩΛ^-1 -1) a^-3] - (ΩΛ^-1 - 1) a^-3 Tanh[1/Sqrt[1 + (ΩΛ^-1 - 1) a^-3]]^-1)^2 (1/Sqrt[ΩΛ] - (ΩΛ^-1 - 1) Tanh[Sqrt[ΩΛ]]^-1)^-2 - 1; (* Dark Energy Function *)

F[a_, w0_] := Sqrt[ΩR a^-4 + ΩM a^-3 + ΩK a^-2 + ΩΛ a^(-3 (w[a, w0] + 1))]; (* Density Function by Scalefactor *)
φ[z_, w0_] := Sqrt[ΩR (z + 1)^4 + ΩM (z + 1)^3 + ΩK (z + 1)^2 + ΩΛ ((1 + z)^(3 (w[1/(z + 1), w0] + 1))) ]; (* Density Function by Redshift *)
H[a_, w0_] := H0 F[a, w0]; (* Hubble Parameter by Scalefactor *)
ε[z_, w0_] := H0 φ[z, w0]; (* Hubble Parameter by Redshift *)

int[f_, {x_, xmin_, xmax_}] := Quiet[NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}, Method -> set, MaxRecursion -> n]];

ta[A_, w0_] := int[1/a/ H[a, w0], {a, 0, A}]; (* Time by Scalefactor *)
α[τ_, w0_]  := Quiet[A /.FindRoot[ta[A, w0] - τ, {A, 1}]] (* Scalefactor by Time *)

tz[Z_, w0_] := int[1/(1 + z)/ ε[z, w0], {z, Z, \[Infinity]}]; (* Time by Redshift *)
χ[τ_, w0_]  := Z /. Quiet[FindRoot[tz[Z, w0] - τ, {Z, 0}]] (* Redshift by Time *)

rH[τ_, w0_] := c/H[α[τ, w0], w0]; (* Hubble Radius *)


lC[τ_, w0_]     := int[-c α[τ, w0]/a^2/H[a, w0], {a, 1, α[τ, w0]}]; (* Light Cone of t0 *)
Lc[τ_, t_, w0_] := int[-c α[τ, w0]/a^2/H[a, w0], {a, α[t, w0], α[τ, w0]}]; (* Light Cone of t *)
eH[τ_, w0_]     := α[τ, w0] int[c/(α[time, w0]), {time, τ, tE}]; (* Event Horizon *)
pH[τ_, w0_]     := int[-α[τ, w0] c/a^2/H[a, w0], {a, α[τ, w0], 0}]; (* Particle Horizon *)
g[τ_, w0_]      := tc /. Quiet[FindRoot[pH[tc, w0]/c - τ, {tc, τ}]]; (* Conformal Time *)

ωR[τ_, w0_] := ΩR α[τ, w0]^-4/ρc[H[α[τ, w0]]]; (* Radiation Evolution *)
ωM[τ_, w0_] := ΩM α[τ, w0]^-3/ρc[H[α[τ, w0]]]; (* Matter Evolution *)
ωK[τ_, w0_] := ΩK α[τ, w0]^-2/ρc[H[α[τ, w0]]]; (* Curvature Evolution *)
ωΛ[τ_, w0_] := ΩΛ α[τ, w0]^(-3 (w[α[τ, w0], w0] + 1))/ρc[H[α[τ, w]]]; (* Dark Energy Evolution *)

t0[w0_] := ta[1, w0]/Gyr; (* Age of the Universe, now *)
"t0 in Gyr" -> t0[-1]

w0 = -1;
kr1[f_, cl_] := Quiet[{cl, Thickness[0.006], Circle[{0, 0}, f]}];
kr2[f_, cl_] := Quiet[{cl, Circle[{0, 0}, f]}];

Do[Print[Grid[{
    {Quiet[Graphics[{
         {Table[kr2[α[τ Gyr, -1] (3/2)^32/(3/2)^n, Lighter[Lighter[Gray]]], {n, 1, 42}]},
        {kr1[rH[τ Gyr, w0]/Glyr, Cyan]}, {kr1[pH[τ Gyr, w0]/Glyr, Green]},
        {kr1[eH[τ Gyr, w0]/Glyr, Magenta]},
        {kr1[(Quiet[FindMaximum[{Lc[Tm Gyr, τ Gyr, -1]/Glyr}, {Tm, 0}][[1]]]), Orange]}
        }, PlotRange -> {{-60, 60}, {-60, 60}},
             Frame -> True, PlotRangeClipping -> True, ImageSize -> 440]]},
    {Evaluate[N[τ, 8]]}}]], {τ, 1/10000, 25.6, 25.6/500.0}]

Wir befinden uns jetzt bei t=13.82 Gyr:

Bild
Omega Matter: 0.317, Omega Radiation: 5.48e-5, Omega Lambda: 0.683 minus Omega Radiation, Omega Total: 1
Farbcode und Beschreibung:

  • der Partikelhorizont zeigt die Entfernung in der sich Objekte deren Information uns heute im Limit unendlich rotverschoben erreicht derzeit befinden, bzw. zeigt er im Umkehrschluss die Entfernung, bis zu der sich ein Signal das zum Zeitpunkt des Urknalls von unserer Position aus ausgestrahlt wurde bis heute gekommen ist,
  • der Hubbleradius in welcher aktuellen Entfernung die Rezessionsgeschwindigkeit c überschreitet,
  • der Ereignishorizont aus welcher Entfernung uns Informationen die jetzt gesendet werden bis in die unendliche Zukunft noch erreichen können,
  • der Lichtkegel markiert den höchsten damaligen Abstand aus der uns jetzt Information aus der Vergangenheit erreichen kann, und
  • der Skalenfaktor misst wie schnell sich der Raum selbst ausdehnt.
Im weiteren Verlauf (ca. 100 Gyr nach dem Urknall) konvergiert dann auch noch der Lichtkegel auf den Hubbleradius und den Ereignishorizont zu nachdem der Hubbleparameter auf einen konstanten Wert zugeht (siehe auch das animierte Raumzeitdiagramm für die klassische Darstellung und das Standardwerk Expanding Confusion für ausführliche Erklärungen).
Cosmology Gif Animations FRW FLRW LCDM ΛCDM
Bild
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