Gravitation, Formelsammlung

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Yukterez
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Gravitation, Formelsammlung

Beitragvon Yukterez » Di 1. Dez 2015, 23:47

In Arbeit

1) Newton

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(* Gegeben *)

G  = 667384*^-16 m^3/kg/sek^2;   (* Newtons Konstante *)
M1 = 5972 10^21 kg;              (* Erdmasse *)
M2 = 1 kg;                       (* Testmasse *)
M  = M1 + M2;                    (* Gesamtmasse *)
R1 = 6371000 m;                  (* Erdradius *)
R2 = 1 m;                        (* Objektradius *)
R  = R1 + R2;                    (* minimaler Schwerpunktabstand *)
h  = 10 m;                       (* Fallhöhe *)
v0 = 0 m/sek;                    (* Initialgeschwindigkeit *)

(* Gesucht *)

t = f[\!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(R\), \(R + h\)]\(
\*FractionBox[\(1\),
SqrtBox[\(2\ G\ M\ \((
\*FractionBox[\(1\), \(r\)] -
\*FractionBox[\(1\), \(R + h\)])\) +
       v0\ Abs[v0]\)]] \[DifferentialD]r\)\)] (* Fallzeit, integriert *)

t = f[1/(-2 G M + (h + R) v0 Abs[v0])^(3/2) Sqrt[
   h + R] (-Sqrt[2 G h M + R (h + R) v0 Abs[v0]] Sqrt[-2 G M R +
       R (h + R) v0 Abs[v0]] + (h +
        R) (Sqrt[(h + R) v0] Sqrt[Abs[v0]]
          Sqrt[-2 G M + (h + R) v0 Abs[v0]] +
        2 G M (ArcSinh[Sqrt[-(R/(h + R)) + (R v0 Abs[v0])/(2 G M)]] -
           ArcSinh[
            Sqrt[-1 + ((h + R) v0 Abs[v0])/(
             2 G M)]])))] (* Fallzeit, analytisch *)
             
v = f[Sqrt[\!\(
\*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(R\), \(R + h\)]\(\((
\*FractionBox[\(2\ G\ M\),
SuperscriptBox[\(r\), \(2\)]] +
\*FractionBox[\(v0\ Abs[
         v0]\), \(h\)])\) \[DifferentialD]r\)\)]] (* insgesamte Geschwindigkeit, integriert *)

v = f[Sqrt[(2 G M h)/(R (R + h)) +
   v0 Abs[v0]]] (* insgesamte Geschwindigkeit, analytisch *)
   
v1 = v M2/(M1 + M2) (* Geschwindigkeit Erde *)
v2 = v M1/(M1 + M2) (* Geschwindigkeit Objekt *)

Zeit t, Integral:



Zeit t, analytisch:









Zeit t, numerisch:



Gesamtgeschwindigkeit v, Integral:



Gesamtgeschwindigkeit v, analytisch:



Gesamtgeschwindigkeit v, numerisch:



Einzelgeschwindigkeiten v1 & v2:



Strecke statt Ziel:



Hier ist h die initiale Höhe und H die bereits gefallene Strecke.

.nb
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