## Kerr Newman Metric

English Version
Yukterez
Administrator
Beiträge: 195
Registriert: Mi 21. Okt 2015, 02:16

### Kerr Newman Metric

Kerr-Newman, second order differential equations of motion for a charged particle and photons. Animations by Simon Tyran, Vienna (Yukterez)
This is the english version.   Deutschsprachige Version auf kerr.newman.yukterez.net und Yukipedia.

↗
Animation Parameter: Bookkeeper time (t) and viewpoint (xy, zy). Charge of the BH: ℧=0.9, spin: a=0.4, charge of the testparticle: q=1, v0=vθ0=c/2

↗
Animation parameter: Bookkeeper coordinate time (t) and viewpoint angle (xy, zy). : FREFO, : ZAMO

↗
Animation parameter: Spinparameter a and elektric charge ℧. tmax=min(500, t(τplunge-10⁻⁶))

↗
Shadow of an extremal Kerr-Newman BH with a²+℧²=M², Angle of view: edge on. For other parameters see here. Raw material: Commons.

↗
Zoom with overlayed ergoshphere and horizon surfaces. Comparison with an uncharged Kerr black hole: click

Line element in Boyer Lindquist coordinates, metric signature (+,-,-,-):

Shorthand terms:

with the spin parameter â=Jc/G/M or in dimensionless units a=â/M, the specific electric charge Ω=·√(K/G) and the dimensionless charge ℧=Ω/M. Here we use the units G=M=c=K=1 with lengths in GM/c² and times in GM/c³. The relation between the mass-equivalent of the total energy and the irreducible mass Mirr is

For testparticles with mass μ=-1, for photons μ=0. The specific charge of the test particle is q. Transformation rule for co- and contravariant indices (superscripted letters are not powers but indices):

Co- and contravariant metric:

Elektromagnetic potential:

Covariant elektromagnetic tensor:

Contravarianter Maxwell-tensor:

Einstein-Tensor Ĝ:

Covariant components:

Contravariant components:

1. Constant of motion: Carter's constant

2. Constant of motion: Total energy

3. Constant of motion: axial angular momentum

The relation between the first proper time derivatives and the local velocity components is

and the total 3-velocity

for testparticles, and v=1 for photons. ω is the Frame-Dragging angular velocity observed at infinity:

Gravitative time dilatation, Lapse function:

Escape velocity for a neutral particle:

First proper time derivatives of the coordinates:

The equations of motion for a neutral particle (with μ=-1, q=0) and a photon (with μ=0, q=0) are therefore:

and those for an electrically charged test particle (with μ=-1, q≠0):

First proper time derivatives of the space coordinates, initial conditions in terms of the local 3-velocity:

Radial coordinates of the horizons and ergospheres:

Cartesian projection:

Simon Tyran aka Симон Тыран @ vk || wikipedia || stackexchange || wolfram

Yukterez
Administrator
Beiträge: 195
Registriert: Mi 21. Okt 2015, 02:16

### Kerr Newman Metric

Input: Line element and Maxwell tensor, Output: Einstein tensor, Christoffel symbols and equations of motion

Code: Alles auswählen

`(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* | Mathematica Syntax | GEODESIC SOLVER | geodesics.yukterez.net | Version 25.09.2017 | *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)ClearAll["Global`*"]                                               (* Input: kovariante metrische Komponenten *)gtt=1-(2r-℧^2)/Σ;grr=-Σ/Δ;gθθ=-Σ;gφφ=-Χ/Σ Sin[θ]^2;gtφ=a (2r-℧^2) Sin[θ]^2/Σ;                                                                           (* Abkürzungen *)Σ=r^2+a^2 Cos[θ]^2;Δ=r^2-2 r+a^2+℧^2;Χ=(r^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ]^2 Δ;                    (* Koordinaten, Dimensionen, magnetisches Monopol, elektrische Ladung *)x={t, r, θ, φ}; n=4; P=0; Ω=℧;                                                                         "Metrischer Tensor"metrik={{gtt, 0, 0, gtφ}, {0, grr, 0, 0}, {0, 0, gθθ, 0}, {gtφ, 0, 0, gφφ}};Subscript["g", μσ] -> MatrixForm[metrik]inversemetrik=Simplify[Inverse[metrik]];"g"^μσ -> MatrixForm[inversemetrik]                                                                            "Maxwell Tensor"A={(Ω r)/Σ+P/Σ Cos[θ] a, 0, 0, -(Ω r/Σ) Sin[θ]^2 a-P/Σ Cos[θ](r^2+a^2)};F=Simplify[Table[((D[A[[j]], x[[k]]]-D[A[[k]], x[[j]]])), {j, 1, 4}, {k, 1, 4}], Reals];Subscript["F", μσ] -> MatrixForm[F]f=FullSimplify[Table[Sum[inversemetrik[[i, k]] inversemetrik[[j, l]] F[[k, l]], {k, 1, 4}, {l, 1, 4}], {i, 1, 4}, {j, 1, 4}], Reals];"F"^μσ -> MatrixForm[f]                                                                           "Einstein Tensor"G=FullSimplify[Table[Sum[-2(inversemetrik[[k,l]] F[[i, k]] F[[j, l]] - metrik[[i, j]] F[[k, l]] f[[k, l]]), {k, 1, 4}, {l, 1, 4}], {i, 1, 4}, {j, 1, 4}], Reals];Subscript["G", μσ] -> MatrixForm[G]H=FullSimplify[Table[Sum[inversemetrik[[i, k]] inversemetrik[[j, l]] G[[k, l]], {k, 1, 4}, {l, 1, 4}], {i, 1, 4}, {j, 1, 4}], Reals];"G"^μσ -> MatrixForm[H]                                                                       "Christoffel Symbole"christoffel:=Simplify[Table[(1/2)Sum[(inversemetrik[[i, s]])(D[metrik[[s, j]], x[[k]]]+D[metrik[[s, k]], x[[j]]] -D[metrik[[j, k]], x[[s]]]), {s, 1, n}], {i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, n}]];christoffelsymbole=Table[If[UnsameQ[christoffel[[i, j, k]], 0], {ToString[Γ[i, j, k]], christoffel[[i, j, k]]}], {i, 1, n}, {j, 1, n}, {k, 1, j}];rplc[y_]:=(((((((y/.t->t[τ])/.r->r[τ])/.θ->θ[τ])/.φ->φ[τ])/.Derivative[1][t[τ]]-> t'[τ])/.Derivative[1][r[τ]]->r'[τ])/.Derivative[1][θ[τ]]->θ'[τ])/.Derivative[1][φ[τ]]->φ'[τ];rple[y_]:=(((((((y/.t->t[τ])/.r->r[τ])/.θ->θ[τ])/.φ->φ[τ])/.Derivative[1][t[τ]]->  t'[τ])/. r\.b4->r'[τ])/. θ\.b4->θ'[τ])/. φ\.b4->φ'[τ];list[y_]:=y[[1]]==y[[2]];list[christoffelsymbole[[1]][[2]][[1]]]list[christoffelsymbole[[1]][[3]][[1]]]list[christoffelsymbole[[1]][[4]][[2]]]list[christoffelsymbole[[1]][[4]][[3]]]list[christoffelsymbole[[2]][[1]][[1]]]list[christoffelsymbole[[2]][[2]][[2]]]list[christoffelsymbole[[2]][[3]][[2]]]list[christoffelsymbole[[2]][[3]][[3]]]list[christoffelsymbole[[2]][[4]][[1]]]list[christoffelsymbole[[2]][[4]][[4]]]list[christoffelsymbole[[3]][[1]][[1]]]list[christoffelsymbole[[3]][[2]][[2]]]list[christoffelsymbole[[3]][[3]][[2]]]list[christoffelsymbole[[3]][[3]][[3]]]list[christoffelsymbole[[3]][[4]][[1]]]list[christoffelsymbole[[3]][[4]][[4]]]list[christoffelsymbole[[4]][[2]][[1]]]list[christoffelsymbole[[4]][[3]][[1]]]list[christoffelsymbole[[4]][[4]][[2]]]list[christoffelsymbole[[4]][[4]][[3]]]                                                                      "Bewegungsgleichungen"geodäsie=Simplify[Table[-Sum[christoffel[[i, j, k]] x[[j]]' x[[k]]'+q f[[i, k]] x[[j]]' metrik[[j, k]], {j, 1, n}, {k, 1, n}], {i, 1, n}]];bewegungsgleichung=Table[{x[[i]]''[τ]==FullSimplify[rplc[geodäsie[[i]]], Reals]}, {i, 1, n}];bewegungsgleichung[[1]][[1]]bewegungsgleichung[[2]][[1]]bewegungsgleichung[[3]][[1]]bewegungsgleichung[[4]][[1]]ClearAll[Σ, Δ, Χ];                                                                            "Zeitdilatation"t'[τ]==rple[Simplify[Normal[Solve[-μ==gtt Т^2+grr r\.b4^2+gθθ θ\.b4^2+gφφ φ\.b4^2 + 2 gtφ Т φ\.b4, Т, Reals]]][[2]][[1]][[2]]]`

Simulator code for photons, charged and neutral test particles

Code: Alles auswählen

`(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||| Mathematica | kerr.newman.yukterez.net | 06.08.2017 - 25.10.2018, Version 11 |||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) ClearAll["Global`*"] mt1={"StiffnessSwitching", Method-> {"ExplicitRungeKutta", Automatic}};mt2={"EventLocator", "Event"-> (r[τ]-1001/1000 rA)};mt3={"ImplicitRungeKutta", "DifferenceOrder"-> 20};mt4={"EquationSimplification"-> "Residual"};mt0=Automatic;mta=mt4;wp=MachinePrecision; (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 1) STARTBEDINGUNGEN EINGEBEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) A=a;                                   (* pseudosphärisch [BL]: A=0, kartesisch [KS]: A=a *) tmax=300;                                                                    (* Eigenzeit *)Tmax=300;                                                              (* Koordinatenzeit *)TMax=Min[Tmax, т[plunge-1*^-3]]; tMax=Min[tmax, plunge];              (* Integrationsende *) r0 = 7;                                                                    (* Startradius *)r1 = 7;                                                      (* Endradius wenn v0=vr0=vr1 *)θ0 = π/2;                                                                  (* Breitengrad *)φ0 = 0;                                                                     (* Längengrad *)a  = 9/10;                                                               (* Spinparameter *)℧  = 2/5;                                       (* spezifische Ladung des schwarzen Lochs *)q  =-1/10;                                          (* spezifische Ladung des Testkörpers *) v0 = 2/5;                                                       (* Anfangsgeschwindigkeit *)α0 = 0;                                                      (* vertikaler Abschusswinkel *)ψ0 = ArcTan[5/6];                                               (* Bahninklinationswinkel *) (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 2) GESCHWINDIGKEITS-, ENERGIE UND DREHIMPULSKOMPONENTEN ||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) vr0=v0 Sin[α0];                                     (* radiale Geschwindigkeitskomponente *)vθ0=v0 Cos[α0] Sin[ψ0];                      (* longitudinale  Geschwindigkeitskomponente *)vφ0=v0 Cos[α0] Cos[ψ0];                        (* latitudinale Geschwindigkeitskomponente *) x0[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Cos[φ0];                             (* Anfangskoordinaten *)y0[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Sin[φ0];z0[A_]:=r0 Cos[θ0]; ε=Sqrt[δ Ξ/χ]/j[v0]+Lz ω0; εζ:=Sqrt[Δ Σ/Χ]/j[ν]+Lz ωζ;   (* Energie und Impulskomponenten *)Lz=vφ0 Ы/j[v0]; Lζ:=vφ0 я/j[ν];pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0]; pθζ:=θ'[τ] Σ;pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];Q=Limit[pθ0^2+(Lz^2 Csc[θ1]^2-a^2 (ε^2+μ)) Cos[θ1]^2, θ1->θ0];        (* Carter Konstante *)Qζ:=pθζ^2+(Lz^2 Csc[θ[τ]]^2-a^2 (εζ^2+μ)) Cos[θ[τ]]^2;                (* Carter Parameter *)k=Q+Lz^2+a^2 (ε^2+μ); kζ:=Qζ+Lz^2+a^2 (εζ^2+μ);                               (* Carter k *)μ=If[Abs[v0]==1, 0, -1];                                     (* Baryon: μ=-1, Photon: μ=0 *)dri=Sqrt[2]Sqrt[NIntegrate[((a^2+℧^2+(-2+r) r) ((Csc[θ0]^2 (q r (a^2+r^2) ℧ Sin[θ0]^2+Sqrt[((a^2-2 r+r^2+℧^2) (r^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r^2)^2-a^2 (a^2-2 r+r^2+℧^2) Sin[θ0]^2)] ((a^2+r^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r-r^2-℧^2) Sin[θ0]^4)))/((a^2-2 r+r^2+℧^2) (r^2+a^2 Cos[θ0]^2))) (a^2 Cos[θ0]^2 (-q ℧+((Csc[θ0]^2 (q r (a^2+r^2) ℧ Sin[θ0]^2+Sqrt[((a^2-2 r+r^2+℧^2) (r^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r^2)^2-a^2 (a^2-2 r+r^2+℧^2) Sin[θ0]^2)] ((a^2+r^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r-r^2-℧^2) Sin[θ0]^4)))/((a^2-2 r+r^2+℧^2) (r^2+a^2 Cos[θ0]^2))))+r (q ℧ r+(℧^2-r) ((Csc[θ0]^2 (q r (a^2+r^2) ℧ Sin[θ0]^2+Sqrt[((a^2-2 r+r^2+℧^2) (r^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r^2)^2-a^2 (a^2-2 r+r^2+℧^2) Sin[θ0]^2)] ((a^2+r^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r-r^2-℧^2) Sin[θ0]^4)))/((a^2-2 r+r^2+℧^2) (r^2+a^2 Cos[θ0]^2))))))/(a^2 Cos[θ0]^2+r^2)^3, {r,r1,r0}]];   vri=(dri Sqrt[Ξ])/Sqrt[δ+dri^2 Ξ];vr1=((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) (q r1 (a^2+r1^2) ℧ Sin[θ0]^2+Sqrt[((a^2-2 r1+r1^2+℧^2) (r1^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r1^2)^2-a^2 (a^2-2 r1+r1^2+℧^2) Sin[θ0]^2)] ((a^2+r1^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r1-r1^2-℧^2) Sin[θ0]^4)) Sqrt[-1+((a^2-2 r1+r1^2+℧^2)^2 (r1^2+a^2 Cos[θ0]^2)^2 (q r0 (a^2+r0^2) ℧ Sin[θ0]^2+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)] ((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^4))^2)/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2)^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)^2 (q r1 (a^2+r1^2) ℧ Sin[θ0]^2+Sqrt[((a^2-2 r1+r1^2+℧^2) (r1^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r1^2)^2-a^2 (a^2-2 r1+r1^2+℧^2) Sin[θ0]^2)] ((a^2+r1^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r1-r1^2-℧^2) Sin[θ0]^4))^2)])/((a^2-2 r1+r1^2+℧^2) (r1^2+a^2 Cos[θ0]^2) (q r0 (a^2+r0^2) ℧ Sin[θ0]^2+Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)] ((a^2+r0^2)^2 Sin[θ0]^2+a^2 (-a^2+2 r0-r0^2-℧^2) Sin[θ0]^4)))                       (* vesc von r0 bis r1 bei q=0 *) (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 4) HORIZONTE UND ERGOSPHÄREN RADIEN ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) rE=1+Sqrt[1-a^2 Cos[θ]^2-℧^2];                                       (* äußere Ergosphäre *)RE[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[{Sqrt[rE^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rE^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rE Cos[θ]}, w1], w2];rG=1-Sqrt[1-a^2 Cos[θ]^2-℧^2];                                       (* innere Ergosphäre *)RG[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[{Sqrt[rG^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rG^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rG Cos[θ]}, w1], w2];rA=1+Sqrt[1-a^2-℧^2];                                                 (* äußerer Horizont *)RA[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[{Sqrt[rA^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rA^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rA Cos[θ]}, w1], w2];rI=1-Sqrt[1-a^2-℧^2];                                                 (* innerer Horizont *)RI[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[{Sqrt[rI^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rI^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rI Cos[θ]}, w1], w2]; (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 5) HORIZONTE UND ERGOSPHÄREN PLOT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) horizons[A_, mesh_, w1_, w2_]:=Show[ParametricPlot3D[RE[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},Mesh -> mesh, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Blue, Opacity[0.10]]],ParametricPlot3D[RA[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Cyan, Opacity[0.15]]],ParametricPlot3D[RI[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.25]]],ParametricPlot3D[RG[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.35]]]];BLKS:=Grid[{{horizons[a, 35, 0, 0], horizons[0, 35, 0, 0]}}]; (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 6) FUNKTIONEN ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];                                                    (* Lorentzfaktor *)mirr=Sqrt[2-℧^2+2 Sqrt[1-a^2-℧^2]]/2;                                (* irreduzible Masse *)я=Sqrt[Χ/Σ]Sin[θ[τ]];                                            (* axialer Umfangsradius *)яi[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Σi[τ]]Sin[Θ[τ]];Ы=Sqrt[χ/Ξ]Sin[θ0];Σ=r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2;                                    (* poloidialer Umfangsradius *)Σi[τ_]:=R[τ]^2+a^2 Cos[Θ[τ]]^2;Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;Δ=r[τ]^2-2r[τ]+a^2+℧^2;Δi[τ_]:=R[τ]^2-2R[τ]+a^2+℧^2;δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;Χ=(r[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2 Δ;Χi[τ_]:=(R[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[Θ[τ]]^2 Δi[τ];χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;Xj=a Sin[θ0]^2; XJ=a Sin[θ[τ]]^2; т[τ_]:=Evaluate[t[τ]/.sol][[1]];                        (* Koordinatenzeit nach Eigenzeit *)д[ξ_] :=Quiet[zt /.FindRoot[т[zt]-ξ, {zt, 0}]];         (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)T :=Quiet[д[tk]];                          ю[τ_]:=Evaluate[t'[τ]/.sol][[1]];γ[τ_]:=If[μ==0, "Infinity", ю[τ]];                                           (* totale ZD *)R[τ_]:=Evaluate[r[τ]/.sol][[1]];                                (* Boyer-Lindquist Radius *)Φ[τ_]:=Evaluate[φ[τ]/.sol][[1]];                             Θ[τ_]:=Evaluate[θ[τ]/.sol][[1]];ß[τ_]:=Sqrt[X'[τ]^2+Y'[τ]^2+Z'[τ]^2 ]/ю[τ]; ς[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Δi[τ]/Σi[τ]]; ς0=Sqrt[χ/δ/Ξ];                         (* gravitative ZD *)ω[τ_]:=(a(2R[τ]-℧^2))/Χi[τ]; ω0=(a(2r0-℧^2))/χ; ωζ=(a(2r[τ]-℧^2))/Χ;   (* F-Drag Winkelg *)Ω[τ_]:=ω[τ] Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2];            (* Frame Dragging beobachtete Geschwindigkeit *)й[τ_]:=ω[τ] яi[τ] ς[τ]; й0=ω0 Ы ς0;              (* Frame Dragging lokale Geschwindigkeit *) ж[τ_]:=Sqrt[ς[τ]^2-1]/ς[τ]; ж0=Sqrt[ς0^2-1]/ς0;                  (* Fluchtgeschwindigkeit *)vr[τ_]:=R'[τ] Sqrt[Σi[τ]/Δi[τ]];vθ[τ_]:=Θ'[τ] Sqrt[Σi[τ]];vφ[τ_]:=Φ'[τ] Σi[τ]/яi[τ]-й[τ] ю[τ];V[τ_]:=If[μ==0, 1, Re[Sqrt[-ς[τ]^2+ю[τ]^2]/ю[τ]]];        (* lokale Dreiergeschwindigkeit *)vd[τ_]:=Abs[Sqrt[(Δ Σ-Χ(ε-Lz ωζ)^2)/(μ Χ (ε-Lz ωζ)^2)]];v[τ_]:=If[μ==0, 1, Evaluate[vlt'[τ]/.sol][[1]]];ν:=If[μ==0, 1, Re[Sqrt[(Δ Σ-Χ(εζ-Lζ ωζ)^2)/(μ Χ (εζ-Lζ ωζ)^2)]]];dst[τ_]:=Evaluate[str[τ]/.sol][[1]];                                           (* Strecke *) pΘ[τ_]:=Evaluate[Ξ θ'[τ] /. sol][[1]];pR[τ_]:=Evaluate[r'[τ] Ξ/δ /. sol][[1]];sh[τ_]:=Re[Sqrt[ß[τ]^2-Ω[τ]^2]];epot[τ_]:=ε+μ-ekin[τ];                                             (* potentielle Energie *)ekin[τ_]:=If[μ==0, ς[τ], 1/Sqrt[1-v[τ]^2]-1];                       (* kinetische Energie *)                                                                (* beobachtete Inklination *)ink0:=б/. Solve[Z'[0]/ю[0] Cos[б]==-Y'[0]/ю[0] Sin[б]&&б>0&&б<2π&&б<δp[r0, a], б][[1]]; (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 7) DIFFERENTIALGLEICHUNG |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) dp= \!\(\*SuperscriptBox[\(Y\),\(Y\)]\); n0[z_]:=Chop[N[Simplify[z]]]; Φ10=(a(2r0-℧^2) ε+(Ξ-2r0)Lz Csc[θ0]^2)/(Ξ δ);Θ10=pθ0/Ξ;r10=pr0 δ/Ξ;t10=-((a (-℧^2+2 r0) Sin[θ0]^2 Φ10)/(Ξ+℧^2-2 r0))+\[Sqrt]((1/(δ (Ξ+℧^2-2 r0)^2))(Ξ (Ξ+℧^2-2 r0) (-δ μ+Ξ r10^2+δ Ξ Θ10^2)-δ χ (-Ξ-℧^2+2 r0) Sin[θ0]^2 Φ10^2+a^2 δ (℧^2-2 r0)^2 Sin[θ0]^4 Φ10^2)); DG1={ t''[τ]==(4 (((a^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]+2 (℧^2-r[τ]) r[τ]) (a^2+r[τ]^2) r'[τ] t'[τ])/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2)+a^2 (-℧^2+2 r[τ]) Sin[2 θ[τ]] t'[τ] θ'[τ]-(1/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))a (a^4+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4-3 a^2 r[τ] (-℧^2+r[τ])+a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+(℧^2-r[τ]) r[τ])) Sin[θ[τ]]^2 r'[τ] φ'[τ]-2 a^3 Cos[θ[τ]] (-℧^2+2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 θ'[τ] φ'[τ]))/(a^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]+2 r[τ]^2)^2, t'[0]==t10,t[0]==0, r''[τ]==(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3))(-((8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(a^2+℧^2-a^2 Cos[θ[τ]]^2) r[τ]-r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 (r'[τ])^2)/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+℧^2 r[τ]-r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) (t'[τ])^2+16 a^2 Cos[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 Sin[θ[τ]] r'[τ] θ'[τ]+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) (θ'[τ])^2-16 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+℧^2 r[τ]-r[τ]^2) (a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2 t'[τ] φ'[τ]+(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2 (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a^2-℧^2) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]]) r[τ]+16 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]^3+8 r[τ]^5-8 a^2 r[τ]^2 Sin[θ[τ]]^2+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) (φ'[τ])^2), r'[0]==r10,r[0]==r0, θ''[τ]==(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3))(-((16 a^2 Cos[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 Sin[θ[τ]] (r'[τ])^2)/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))-8 a^2 (℧^2-2 r[τ]) Sin[2 θ[τ]] (t'[τ])^2-32 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 r'[τ] θ'[τ]+16 a^2 Cos[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 Sin[θ[τ]] (θ'[τ])^2+16 a (℧^2-2 r[τ]) (a^2+r[τ]^2) Sin[2 θ[τ]] t'[τ] φ'[τ]+(a^4 (3 a^2-5 ℧^2+4 (a^2+℧^2) Cos[2 θ[τ]]+(a^2+℧^2) Cos[4 θ[τ]])+a^2 (11 a^2-8 ℧^2+4 (3 a^2+2 ℧^2) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]]) r[τ]^2+8 a^2 (2+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^4+8 r[τ]^6+8 a^4 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ] Sin[θ[τ]]^2+32 a^2 r[τ]^3 Sin[θ[τ]]^2) Sin[2 θ[τ]] (φ'[τ])^2), θ'[0]==Θ10,θ[0]==θ0, φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))(-((8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+℧^2 r[τ]-r[τ]^2) r'[τ] t'[τ])/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2))+8 a Cot[θ[τ]] (℧^2-2 r[τ]) t'[τ] θ'[τ]+((a^2 (3 a^2+8 ℧^2+4 a^2 Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]]) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) r'[τ] φ'[τ])/(a^2+℧^2-2 r[τ]+r[τ]^2)+Cot[θ[τ]] (a^2 (3 a^2-4 ℧^2+4 (a^2+℧^2) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+16 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]^2+8 r[τ]^4+16 a^2 r[τ] Sin[θ[τ]]^2) θ'[τ] φ'[τ]), φ'[0]==Φ10,φ[0]==φ0, str'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]/Max[1*^-16, Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]]],str[0]==0,vlt'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]],vlt[0]==0 };                                         DG2={ t''[τ]==-(((r'[τ] ((a^2+r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ]))+a (2 a^4 Cos[θ[τ]]^2+a^2 ℧^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]-a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+4 ℧^2 r[τ]^3-6 r[τ]^4) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+a^2 θ'[τ] (Sin[2 θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])-2 a Cos[θ[τ]] (℧^2-2 r[τ]) Sin[θ[τ]]^3 φ'[τ]))/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2), t'[0]==1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (Lz (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-(-q) ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)),t[0]==0, r''[τ]==((-1+r[τ])/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])-r[τ]/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)) r'[τ]^2+(a^2 Sin[2 θ[τ]] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3))(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (8 t'[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-q ℧+t'[τ])+r[τ] (q ℧ r[τ]+(℧^2-r[τ]) t'[τ]))+8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+8 a Sin[θ[τ]]^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (q ℧-2 t'[τ])+r[τ] (-q ℧ r[τ]+2 (-℧^2+r[τ]) t'[τ])) φ'[τ]+Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 (3 a^2+4 ℧^2+4 (a-℧) (a+℧) Cos[2 θ[τ]]+a^2 Cos[4 θ[τ]])+8 r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2), r'[0]==(pr0 δ)/Ξ,r[0]==r0, θ''[τ]==-((a^2 Cos[θ[τ]] Sin[θ[τ]] r'[τ]^2)/((a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)))-(2 r[τ] r'[τ] θ'[τ])/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)+(1/(16 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3))Sin[2 θ[τ]] (a^2 (-8 t'[τ] (2 q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2)+16 a (a^2+r[τ]^2) (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ]) φ'[τ]+(3 a^6-5 a^4 ℧^2+10 a^4 r[τ]+11 a^4 r[τ]^2-8 a^2 ℧^2 r[τ]^2+16 a^2 r[τ]^3+16 a^2 r[τ]^4+8 r[τ]^6+a^4 Cos[4 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+4 a^2 Cos[2 θ[τ]] (a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (a^2+2 r[τ]^2)) φ'[τ]^2), θ'[0]==pθ0/Ξ,θ[0]==θ0, φ''[τ]==-(1/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2))((r'[τ] (4 a q ℧ (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2)-8 a (a^2 Cos[θ[τ]]^2+(℧^2-r[τ]) r[τ]) t'[τ]+(a^2 (3 a^2+8 ℧^2+a^2 (4 Cos[2 θ[τ]]+Cos[4 θ[τ]])) r[τ]-4 a^2 (3+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^2+8 (a^2+℧^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3-16 r[τ]^4+8 r[τ]^5+2 a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]))/(a^2+℧^2+(-2+r[τ]) r[τ])+θ'[τ] (8 a Cot[θ[τ]] (q ℧ r[τ]+(℧^2-2 r[τ]) t'[τ])+(8 Cot[θ[τ]] (a^2+r[τ]^2)^2-2 a^2 (3 a^2+2 ℧^2+4 (-1+r[τ]) r[τ]) Sin[2 θ[τ]]-a^4 Sin[4 θ[τ]]) φ'[τ])), φ'[0]==1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+Lz (δ-a^2 Sin[θ0]^2)+q ℧ r0 a Sin[θ0]^2),φ[0]==φ0, str'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]/Max[1*^-16, Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]]],str[0]==0,vlt'[τ]==If[μ==0, 1, vd[τ]],vlt[0]==0 }; DGL=If[q==0, DG1, DG2]; (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 8) INTEGRATION |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) sol=NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ, vlt, str}, {τ, 0, tmax},WorkingPrecision-> wp,MaxSteps-> Infinity,Method-> mta,InterpolationOrder-> All,StepMonitor :> (laststep=plunge; plunge=τ;stepsize=plunge-laststep;), Method->{"EventLocator","Event" :> (If[stepsize<1*^-4, 0, 1])}]; (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 9) KOORDINATEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) X[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Cos[φ[τ]]/.sol][[1]];            (* kartesisch *)Y[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Sin[φ[τ]]/.sol][[1]];Z[τ_]:=Evaluate[r[τ] Cos[θ[τ]]/.sol][[1]]; x[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+A^2] Sin[θ[τ]] Cos[φ[τ]]/.sol][[1]];       (* Plotkoordinaten *)y[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+A^2] Sin[θ[τ]] Sin[φ[τ]]/.sol][[1]];z[τ_]:=Z[τ]; XYZ[τ_]:=Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2+Z[τ]^2]; XY[τ_]:=Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2];  (* kartesischer Radius *) Xyz[{x_, y_, z_}, α_]:={x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};      (* Rotationsmatrix *)xYz[{x_, y_, z_}, β_]:={x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_]:={x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]}; (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 10) PLOT EINSTELLUNGEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) PR=1.2r0;                                                                   (* Plot Range *)VP={r0, r0, r0};                                                     (* Perspektive x,y,z *)d1=10;                                                                    (* Schweiflänge *)plp=50;                                                            (* Flächenplot Details *)w1l=0; w2l=0; w1r=0; w2r=0;                                          (* Startperspektiven *)Mrec=100; mrec=10;                                       (* Parametric Plot Subdivisionen *)imgsize=380;                                                                 (* Bildgröße *) s[text_]:=Style[text, FontSize->font]; font=11;                            (* Anzeigestil *) (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 11) PLOT NACH KOORDINATENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) display[T_]:=Grid[{{s[" t coord"], " = ", s[n0[tk]], s["GM/c³"], s[dp]},{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[T]], s["GM/c³"], s[dp]},{s[" ṫ total"], " = ", s[n0[γ[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[ς[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},{s[" γ kinet"], " = ", s[n0[1/Sqrt[1-v[T]^2]]], s["dt/dτ"], s[dp]},{s[" r coord"], " = ", s[n0[R[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" φ longd"], " = ", s[n0[Φ[T] 180/π]], s["deg"], s[dp]},{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[Θ[T] 180/π]], s["deg"], s[dp]},{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},{s[" ℧ cntrl"], " = ", s[n0[℧]], s["Q/M"], s[dp]},{s[" q prtcl"], " = ", s[n0[q]], s["q/m"], s[dp]},{s[" M irred"], " = ", s[n0[mirr]], s["M"], s[dp]},{s[" E kinet"], " = ", s[n0[ekin[T]]], s["mc²"], s[dp]},{s[" E poten"], " = ", s[n0[epot[T]]], s["mc²"], s[dp]},{s[" E total"], " = ", s[n0[ε]], s["mc²"], s[dp]},{s[" CarterQ"], " = ", s[n0[Q]], s["GMm/c"], s[dp]},{s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},{s[" L polar"], " = ", s[n0[pΘ[T]]], s["GMm/c"], s[dp]},{s[" p r.mom"], " = ", s[n0[pR[T]]], s["mc"], s[dp]},{s[" R carts"], " = ", s[n0[XYZ[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" x carts"], " = ", s[n0[X[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" y carts"], " = ", s[n0[Y[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" z carts"], " = ", s[n0[Z[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[ω[T]]]], s["c³/G/M"], s[dp]},{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[Abs[й[T]]]], s["c"], s[dp]},{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Abs[Ω[T]]]], s["c"], s[dp]},{s[" v propr"], " = ", s[n0[v[T]/Sqrt[1-v[T]^2]]], s["c"], s[dp]},{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[T]]], s["c"], s[dp]},{s[" v escpe"], " = ", s[n0[ж[T]]], s["c"], s[dp]},{s[" v delay"], " = ", s[n0[sh[T]]], s["c"], s[dp]},{s[" v local"], " = ", s[n0[v[T]]], s["c"], s[dp]},{s[" "], s[" "], s["                   "], s["         "]}},Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}]; plot1a[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                     (* Animation *)Show[Graphics3D[{{PointSize[0.009], Red, Point[Xyz[xyZ[{x[T], y[T], z[T]}, w1], w2]]}},ImageSize-> imgsize,PlotRange-> PR,SphericalRegion->False,ImagePadding-> 1],horizons[A, None, w1, w2],If[a==0, {},Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[Xyz[xyZ[{Sin[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],Cos[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],z0[A]}, w1], w2]]}}]],If[tk==0, {}, If[a==0, {},ParametricPlot3D[Xyz[xyZ[{Sin[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],Cos[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],z0[A]}, w1], w2],{tt, Max[0, tk-199/100 π/ω0], tk},PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},PlotPoints-> Automatic,MaxRecursion-> mrec]]],Block[{\$RecursionLimit = Mrec},If[tk==0, {},ParametricPlot3D[Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, If[TMax<0, Min[0, T+d1], Max[0, T-d1]], T},PlotStyle-> {Thickness[0.004]},ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},Hue[0, 1, 0.5, If[TMax<0, Max[Min[(+T+(-t+d1))/d1, 1], 0], Max[Min[(-T+(t+d1))/d1, 1], 0]]]],ColorFunctionScaling-> False,PlotPoints-> Automatic,MaxRecursion-> mrec]]],If[tk==0, {},Block[{\$RecursionLimit = Mrec},ParametricPlot3D[Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, 0, If[Tmax<0, Min[-1*^-16, T+d1/3], Max[1*^-16, T-d1/3]]},PlotStyle-> {Thickness[0.003], Opacity[0.3], Gray},PlotPoints-> Automatic,MaxRecursion-> mrec]]],ViewPoint-> {xx, yy, zz}]; Quiet[Do[Print[Rasterize[Grid[{{plot1a[{0, -Infinity, 0, tk, w1l, w2l}],plot1a[{0, 0, Infinity, tk, w1r, w2r}],display[Quiet[д[tk]]]}}, Alignment->Left]]],{tk, TMax, TMax, TMax}]] (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 12) PLOT NACH EIGENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) display[T_]:=Grid[{{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[tp]], s["GM/c³"], s[dp]},{s[" t coord"], " = ", s[n0[т[tp]]], s["GM/c³"], s[dp]},{s[" ṫ total"], " = ", s[n0[γ[tp]]], s["dt/dτ"], s[dp]},{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[ς[tp]]], s["dt/dτ"], s[dp]},{s[" γ kinet"], " = ", s[n0[1/Sqrt[1-v[tp]^2]]], s["dt/dτ"], s[dp]},{s[" r coord"], " = ", s[n0[R[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" φ longd"], " = ", s[n0[Φ[tp] 180/π]], s["deg"], s[dp]},{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[Θ[tp] 180/π]], s["deg"], s[dp]},{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},{s[" ℧ cntrl"], " = ", s[n0[℧]], s["Q/M"], s[dp]},{s[" q prtcl"], " = ", s[n0[q]], s["q/m"], s[dp]},{s[" M irred"], " = ", s[n0[mirr]], s["M"], s[dp]},{s[" E kinet"], " = ", s[n0[ekin[tp]]], s["mc²"], s[dp]},{s[" E poten"], " = ", s[n0[epot[tp]]], s["mc²"], s[dp]},{s[" E total"], " = ", s[n0[ε]], s["mc²"], s[dp]},{s[" CarterQ"], " = ", s[n0[Q]], s["GMm/c"], s[dp]},{s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},{s[" L polar"], " = ", s[n0[pΘ[tp]]], s["GMm/c"], s[dp]},{s[" p r.mom"], " = ", s[n0[pR[tp]]], s["mc"], s[dp]},{s[" R carts"], " = ", s[n0[XYZ[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" x carts"], " = ", s[n0[X[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" y carts"], " = ", s[n0[Y[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" z carts"], " = ", s[n0[Z[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[ω[tp]]], s["c³/G/M"], s[dp]},{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[й[tp]]], s["c"], s[dp]},{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Ω[tp]]], s["c"], s[dp]},{s[" v propr"], " = ", s[n0[v[tp]/Sqrt[1-v[tp]^2]]], s["c"], s[dp]},{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[tp]]], s["c"], s[dp]},{s[" v escpe"], " = ", s[n0[ж[tp]]], s["c"], s[dp]},{s[" v delay"], " = ", s[n0[sh[tp]]], s["c"], s[dp]},{s[" v local"], " = ", s[n0[v[tp]]], s["c"], s[dp]},{s[" "], s[" "], s["                   "], s["         "]}},Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}]; plot1b[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                    (* Animation *)Show[Graphics3D[{{PointSize[0.009], Red, Point[Xyz[xyZ[{x[tp], y[tp], z[tp]}, w1], w2]]}},ImageSize-> imgsize,PlotRange-> PR,SphericalRegion->False,ImagePadding-> 1],horizons[A, None, w1, w2],If[a==0, {},Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[Xyz[xyZ[{Sin[-φ0-ω0 т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],Cos[-φ0-ω0 т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],z0[A]}, w1], w2]]}}]],If[tk==0, {}, If[a==0, {},ParametricPlot3D[Xyz[xyZ[{Sin[-φ0-ω0 т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],Cos[-φ0-ω0 т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],z0[A]}, w1], w2],{tt, Max[0, д[т[tp]-199/100 π/ω0]], tp},PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},PlotPoints-> Automatic,MaxRecursion-> 12]]],If[tk==0, {},Block[{\$RecursionLimit = Mrec},ParametricPlot3D[Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, If[tp<0, Min[0, tp+d1], Max[0, tp-d1]], tp},PlotStyle-> {Thickness[0.004]},ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},Hue[0, 1, 0.5, If[tp<0, Max[Min[(+tp+(-t+d1))/d1, 1], 0], Max[Min[(-tp+(t+d1))/d1, 1], 0]]]],ColorFunctionScaling-> False,PlotPoints-> Automatic,MaxRecursion-> mrec]]],If[tk==0, {},Block[{\$RecursionLimit = Mrec},ParametricPlot3D[Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, 0, If[tp<0, Min[-1*^-16, tp+d1/3], Max[1*^-16, tp-d1/3]]},PlotStyle-> {Thickness[0.003], Opacity[0.3], Gray},PlotPoints-> Automatic,MaxRecursion-> mrec]]],ViewPoint-> {xx, yy, zz}]; Do[Print[Rasterize[Grid[{{plot1b[{0, -Infinity, 0, tp, w1l, w2l}],plot1b[{0, 0, +Infinity, tp, w1r, w2r}],display[tp]}}, Alignment->Left]]],{tp, tMax, tMax, tMax}] (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||| 13) EXPORTOPTIONEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) (* Export als HTML Dokument *)(* Export["dateiname.html", EvaluationNotebook[], "GraphicsOutput" -> "PNG"] *)(* Export direkt als Bildsequenz *)(* Do[Export["dateiname" <> ToString[tk] <> ".png", Rasterize[...]   ], {tk, 0, 10, 5}]   *) (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||| http://kerr.newman.yukerez.net ||||| Simon Tyran, Vienna |||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)`

Converter for initial conditions and constants of motion

Code: Alles auswählen

`(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || CODE A: Lokale Geschwindigkeit nach Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q ||||||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) ClearAll["Global`*"] (* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) r0 = 7;θ0 = π/2;φ0 = 0;a  = 9/10;μ  =-1;℧  = 0;q  = 0; (* || Erhaltungsgrößen Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante eingeben |||| *) ε  = (72 Sqrt[3/2136769])/7+5 Sqrt[3581/105087];Lz = (2 Sqrt[105087/61])/35;Q  = 700/183; (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante  ||||||||||||| *) ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1-v0^2];L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2];Q0 = -((vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-1+v0^2))+Cos[θ0]^2 ((vφ0^2 (-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2))/((-1+v0^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))-a^2 (-1+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2/(1-v0^2))); (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) "Code A"Reduce[ε0==ε && L0==Lz && Q0==Q && vr0^2==v0^2-vφ0^2-vθ0^2 && v0>0, {v0,vr0,vφ0,vθ0}]N[%](* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || Syntax: Mathematica ||| http://kerr.newman.yukterez.net ||| Simon Tyran, Vienna  || *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) (* || *)    (* || *)        (* || *)            (* || *)                 (* || *)                      (* || *)                          (* || *)                              (* || *)                                  (* ||*)                                      (* || *)                                          (* || *)                                              (* || *)                                                   (* || *)                                                        (* || *)                                                            (* || *)                                                                (* || *)                                                                    (* || *)                                                                        (* ||*)                                                                            (* || *)                                                                                (* || *)                                                                                    (* || *)                                                                                   (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || CODE B: Lokale Geschwindigkeit nach ersten Eigenzeitableitungen  |||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) ClearAll["Global`*"] (* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) r0 = 7;θ0 = π/2;φ0 = 0;a  = 9/10;μ  =-1;℧  = 0;q  = 0; (* || Startwerte für die ersten Eigenzeitableitungen eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *) dt = (5 Sqrt[35029/10743])/7;dr = 0;dθ = 10/(7 Sqrt[1281]);dφ = (300 Sqrt[3/125438849])/7+40 Sqrt[3/2136769]; (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante  ||||||||||||| *) ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1-v0^2];L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2];Q0 = -((vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-1+v0^2))+Cos[θ0]^2 ((vφ0^2 (-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2))/((-1+v0^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))-a^2 (-1+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2/(1-v0^2))); (* || Benötigte Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;δ=r0^2-2r0+a^2;j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0]; dT=(-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2 Sqrt[-(((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))]+(a^2+r0^2) (q r0 Sqrt[1-v0^2] ℧+(a^2+r0^2) Sqrt[-(((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))]))/(Sqrt[1-v0^2] (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2));dR=-(vr0/((-1+v0^2) Sqrt[-((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)/((-1+v0^2) (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)))]));dΘ=vθ0/(Sqrt[1-v0^2] Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θ0]^2]);dΦ=(Csc[θ0] (a q r0 ℧ Sin[θ0]+(vφ0 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2]+(1/Sqrt[1-v0^2])a (2 r0-℧^2) Sin[θ0] (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)); (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) "Code B"Reduce[dT==dt && dR==dr && dΘ==dθ && dΦ==dφ && v0>0, {v0,vr0,vφ0,vθ0}]N[%] (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || Syntax: Mathematica ||| http://kerr.newman.yukterez.net ||| Simon Tyran, Vienna  || *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || *)    (* || *)        (* || *)            (* || *)                 (* || *)                      (* || *)                          (* || *)                              (* || *)                                  (* ||*)                                      (* || *)                                          (* || *)                                              (* || *)                                                   (* || *)                                                        (* || *)                                                            (* || *)                                                                (* || *)                                                                    (* || *)                                                                        (* ||*)                                                                            (* || *)                                                                                (* || *)                                                                                    (* || *)                                                                                   (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || CODE C: Erste Eigenzeitableitungen nach Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q ||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) ClearAll["Global`*"] (* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) r0 = 7;θ0 = π/2;φ0 = 0;a  = 9/10;μ  =-1;℧  = 0;q  = 0; (* || Erhaltungsgrößen Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante eingeben |||| *) ε  = (72 Sqrt[3/2136769])/7+5 Sqrt[3581/105087];Lz = (2 Sqrt[105087/61])/35;Q  = 700/183; (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante  ||||||||||||| *) ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1-v0^2];L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2];Q0 = -((vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-1+v0^2))+Cos[θ0]^2 ((vφ0^2 (-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2))/((-1+v0^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))-a^2 (-1+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2/(1-v0^2))); (* || Benötigte Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;δ=r0^2-2r0+a^2;j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0]; dT=(-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2 Sqrt[-(((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))]+(a^2+r0^2) (q r0 Sqrt[1-v0^2] ℧+(a^2+r0^2) Sqrt[-(((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))]))/(Sqrt[1-v0^2] (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2));dR=-(vr0/((-1+v0^2) Sqrt[-((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)/((-1+v0^2) (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)))]));dΘ=vθ0/(Sqrt[1-v0^2] Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θ0]^2]);dΦ=(Csc[θ0] (a q r0 ℧ Sin[θ0]+(vφ0 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2]+(1/Sqrt[1-v0^2])a (2 r0-℧^2) Sin[θ0] (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)); (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) "Code C"Solve[ε==ε0 && Lz==L0 && Q==Q0 && dt==dT && dr==dR && dθ==dΘ && dφ==dΦ && v0^2==vr0^2+vθ0^2+vφ0^2, {dt,dr,dθ,dφ}]N[%] (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || Syntax: Mathematica ||| http://kerr.newman.yukterez.net ||| Simon Tyran, Vienna  || *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || *)    (* || *)        (* || *)            (* || *)                 (* || *)                      (* || *)                          (* || *)                              (* || *)                                  (* ||*)                                      (* || *)                                          (* || *)                                              (* || *)                                                   (* || *)                                                        (* || *)                                                            (* || *)                                                                (* || *)                                                                    (* || *)                                                                        (* ||*)                                                                            (* || *)                                                                                (* || *)                                                                                    (* || *)                                                                                   (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || CODE D: Erste Eigenzeitableitungen nach lokalen Geschwindigkeiten ||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) ClearAll["Global`*"] (* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) r0 = 7;θ0 = π/2;φ0 = 0;a  = 9/10;μ  =-1;℧  = 0;q  = 0; (* || Startwerte für die ersten Eigenzeitableitungen eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *) vr0 = 0;vθ0 = 2/Sqrt[61];vφ0 = 12/(5 Sqrt[61]);v0  = Sqrt[vr0^2+vθ0^2+vφ0^2]; (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante  ||||||||||||| *) ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1-v0^2];L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2];Q0 = -((vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-1+v0^2))+Cos[θ0]^2 ((vφ0^2 (-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2))/((-1+v0^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))-a^2 (-1+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2/(1-v0^2))); (* || Benötigte Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;δ=r0^2-2r0+a^2;j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0]; dT=(-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2 Sqrt[-(((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))]+(a^2+r0^2) (q r0 Sqrt[1-v0^2] ℧+(a^2+r0^2) Sqrt[-(((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))]))/(Sqrt[1-v0^2] (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2));dR=-(vr0/((-1+v0^2) Sqrt[-((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)/((-1+v0^2) (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)))]));dΘ=vθ0/(Sqrt[1-v0^2] Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θ0]^2]);dΦ=(Csc[θ0] (a q r0 ℧ Sin[θ0]+(vφ0 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2]+(1/Sqrt[1-v0^2])a (2 r0-℧^2) Sin[θ0] (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)); (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) "Code D"Reduce[dT==dt && dR==dr && dΘ==dθ && dΦ==dφ, {dt,dr,dθ,dφ}]N[%] (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || Syntax: Mathematica ||| http://kerr.newman.yukterez.net ||| Simon Tyran, Vienna  || *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || *)    (* || *)        (* || *)            (* || *)                 (* || *)                      (* || *)                          (* || *)                              (* || *)                                  (* ||*)                                      (* || *)                                          (* || *)                                              (* || *)                                                   (* || *)                                                        (* || *)                                                            (* || *)                                                                (* || *)                                                                    (* || *)                                                                        (* ||*)                                                                            (* || *)                                                                                (* || *)                                                                                    (* || *)                                                                                   (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || CODE E: Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q nach lokalen Geschwindigkeiten |||||||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) ClearAll["Global`*"] (* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) r0 = 7;θ0 = π/2;φ0 = 0;a  = 9/10;μ  =-1;℧  = 0;q  = 0; (* || Startwerte für die ersten Eigenzeitableitungen eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *) vr0 = 0;vθ0 = 2/Sqrt[61];vφ0 = 12/(5 Sqrt[61]);v0  = Sqrt[vr0^2+vθ0^2+vφ0^2]; (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante  ||||||||||||| *) ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1-v0^2];L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2];Q0 = -((vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-1+v0^2))+Cos[θ0]^2 ((vφ0^2 (-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2))/((-1+v0^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))-a^2 (-1+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2/(1-v0^2))); (* || Benötigte Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;δ=r0^2-2r0+a^2;j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0]; (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) "Code E"Reduce[ε==ε0 && Lz==L0 && Q==Q0, {ε,Lz,Q}]N[%] (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || Syntax: Mathematica ||| http://kerr.newman.yukterez.net ||| Simon Tyran, Vienna  || *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || *)    (* || *)        (* || *)            (* || *)                 (* || *)                      (* || *)                          (* || *)                              (* || *)                                  (* ||*)                                      (* || *)                                          (* || *)                                              (* || *)                                                   (* || *)                                                        (* || *)                                                            (* || *)                                                                (* || *)                                                                    (* || *)                                                                        (* ||*)                                                                            (* || *)                                                                                (* || *)                                                                                    (* || *)                                                                                   (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || CODE F: Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q  nach ersten Eigenzeitableitungen  |||||||||||||| *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) ClearAll["Global`*"] (* || Startposition etc. eingeben  |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) r0 = 7;θ0 = π/2;φ0 = 0;a  = 9/10;μ  =-1;℧  = 0;q  = 0; (* || Startwerte für die ersten Eigenzeitableitungen eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *) dt = (5 Sqrt[35029/10743])/7;dr = 0;dθ = 10/(7 Sqrt[1281]);dφ = (300 Sqrt[3/125438849])/7+40 Sqrt[3/2136769]; (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante  ||||||||||||| *) ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1-v0^2];L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2];Q0 = -((vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-1+v0^2))+Cos[θ0]^2 ((vφ0^2 (-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2))/((-1+v0^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))-a^2 (-1+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2/(1-v0^2))); (* || Benötigte Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;δ=r0^2-2r0+a^2;j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0]; dT=(-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2 Sqrt[-(((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))]+(a^2+r0^2) (q r0 Sqrt[1-v0^2] ℧+(a^2+r0^2) Sqrt[-(((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/(-(a^2+r0^2)^2+a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2))]))/(Sqrt[1-v0^2] (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2));dR=-(vr0/((-1+v0^2) Sqrt[-((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)/((-1+v0^2) (a^2-2 r0+r0^2+℧^2)))]));dΘ=vθ0/(Sqrt[1-v0^2] Sqrt[r0^2+a^2 Cos[θ0]^2]);dΦ=(Csc[θ0] (a q r0 ℧ Sin[θ0]+(vφ0 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2-a^2 Sin[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1-v0^2]+(1/Sqrt[1-v0^2])a (2 r0-℧^2) Sin[θ0] (Sqrt[((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)]+(a vφ0 (2 r0-℧^2) Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2-2 r0+r0^2+℧^2) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))))/((a^2-2 r0+r0^2+℧^2) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)); (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten  ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *) "Code F"Solve[ε==ε0 && Lz==L0 && Q==Q0 && dT==dt && dR==dr && dΘ==dθ && dΦ==dφ, {ε,Lz,Q}]N[%](* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)(* || Syntax: Mathematica ||| http://kerr.newman.yukterez.net ||| Simon Tyran, Vienna  || *)(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)`

The comments in the codes are in german, but you can translate them with Google Translate or any other translation site if something remains unclear. Most of the code is self explanatory anyway.
Animations by Simon Tyran, Vienna (Yukterez) - reuse permitted under the Creative Commons License CC BY-SA 4.0

Simon Tyran aka Симон Тыран @ vk || wikipedia || stackexchange || wolfram

Zurück zu „Yukterez Notepad“

### Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 3 Gäste